二维分立单原子FPU晶格中的q呼吸子存在及稳定性分析

田 强，徐 权

(1.北京师范大学 物理系，北京 100875；2.大庆师范学院 物理与电气信息工程学院，黑龙江 大庆 163712)

0 引言

非线性晶格振动的研究源于奇异的FPU统计难题。对于非线性晶格振动能量不均分以及回归现象，Ford在1961年及Jackson在1963年做了进一步的验证[1-2]，由此非线性晶格振动的研究围绕FPU难题拉开了帷幕。首先比较圆满地解释FPU现象的是Zabusky和Kruskal，他们采用连续极限方法研究了一维低序、长波情况下的非线性晶格的振动行为[3-4]，得到了这一晶格系统的振动可用KdV方程来描述， KdV方程的解为孤子。而Chirikov等人则用动力学混沌阈值[5]圆满地解释了在什么条件下非线性晶格振动的能量才能满足统计力学的性质——能量按自由度平均分配。同时，他们还指出，这个阈值与晶格的非线性和能量的大小有关。也就是说当所选定非线性和能量的初始值低于这个阈值时，非线性晶格的振动出现稳定的局域模；而高于这个阈值则局域模出现不稳定最后达到混沌状态。接下来人们把目光都集中在空间非线性居于性，能量模式局域被遗忘在角落里。直到2005年Flach等人又研究了能量模式局域的问题，即真正的FPU问题。但只是从普适性给出了FPU模型中q呼吸子的存在及稳定特性[6-10]。2010年徐权等人利用特殊函数讨论了一维FPU晶格中的q呼吸子问题，让人们更直观地看到了q呼吸子存在的行为。本文则利用特殊函数讨论二维FPU晶格q呼吸子存在的行为。

1 分立的二维单原子α-FPU晶格中的q呼吸子

对于二维单原子α-FPU晶格，在最近邻相互作用近似下系统的哈密顿为：

(1)

(2)

这里取M=1，我们考虑各向同性正方晶格，对于固定边界条件u0=uN+1=0，方程的解可以写成如下简正坐标形式：

(3)

这里我们只考虑单个q呼吸子情况，即，ql=qm=q0，Qq0(t)≠0，ql≠q0，qm≠q0，Qqlqm(t)=0，式(3)可改写为：

(4)

将式(4)代入到方程(2)有

(5)

这里

(6)

方程(5)有解的条件是方程右边与(l+m)的值无关，即为零，所以有，q0=(2k+1)(N+1),k=0,1,2,…方程(5)变为

(7)

方程(7)的数值解如图1所示

图1 方程(7)的数值解

通过图1我们可以知道二维单原子α-FPU晶格中存在三种q呼吸子，一种是周期q呼吸子如图1(a)所示，其中K=1；一种是准周期q呼吸子如图1(b)所示，其中K=0.1×[1-0.8cos(2.236t)]；一种是混沌q呼吸子如图(c)所示，其中K=1.1×[1-0.8cos(2.236t)]。

2 分立的二维单原子β-FPU晶格中的q呼吸子

对于二维单原子β-FPU晶格，在最近邻相互作用近似下系统的哈密顿为：

(8)

(9)

将式(4)代入到方程(9)有

(10)

这里

(11)

方程(10)有解的条件是方程右边与(l+m)的值无关，即为零，所以有，q0=(2k+1)(N+1),k=0,1,2,…方程(10)变为

(12)

方程(12)的数值解也如图1所示。通过图1我们可以知道二维单原子β-FPU晶格中存在三种q呼吸子，一种是周期q呼吸子如图1(a)所示，其中K=1；一种是准周期q呼吸子如图1(b)所示，其中K=0.1×[1-0.8cos(2.236t)]；一种是混沌q呼吸子如图(c)所示，其中K=1.1×[1-0.8cos(2.236t)]。

3 结语

通过特殊函数的方法我们将FPU模型分解为纯空间和纯时间两个空间。并得到了对于q0取特定单值的情况下，时间微分方程才有解。并利用数值方法，得到了K取常数和周期函数时不同解的形式。q0取特定单值表示能量空间的局域性，即说明有q呼吸子的存在。而K取值决定q呼吸子的稳定性，当K取常数而且小量的时候，是周期q呼吸子，当K取周期函数且小量时是准周期q呼吸子，当K取周期函数且比较大的时候是混沌q呼吸子。可见K取值直接决定q呼吸子的稳定性问题，由此我们得到可以通过控制K取值来控制q呼吸子稳定性问题，在实验中可以通过在两原子之间加上线性周期作用来实现。这样就可以实现系统非线性局域行为的控制。

[参考文献]

[1] Ford J.J. Equipartition of energy for nonlinear systems[J].Math. Phys. 1961, 2: 387-393.

[2] Jackson E.A. Nonlinear coupled oscillators. I. Perturbation theory: ergodic problems[J].Math. Phys., 1963, 4: 551-558 .

[3] Zabusky N. ，Kruskal M..Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states [J].Phys. Rev. Lett. ，1965, 15: 240-243 .

[4] Zabusky N.J..Solitons and energy transport in nonlinear lattice [J]. Comput. Phys. Commun.，1973, 5: 1-10 .

[5] Izrailev F.M. ，Chirikov B.V..Statistical properties of a nonlinear string [J]. Sov. phys. Dokl.，1966, 11: 30.

[6] Flach S., Ivanchenko M.V. ，Kanakov O.I.q-Breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem[J]. Phys. Rev. Lett.，2005 95: 064102.

[7] Ivanchenko M. V., Kanakov O.I., Mishagin K.G.，et al.q-Breathers in finite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices[J].Phys. Rev. Lett.，2006, 97: 025505.

[8] Flach S., Ivanchenko M.V. ，Kanakov O.I..q-Breathers in Fermi-Pasta-Ulam chains: Existence, localization, and stability[J]. Phys. Rev. E 2006 73: 036618.

[9] Flach S..q-Breathers in FPU lattices scaling and properties for large system[J].Int. J. Mod. Phys. B 2007, 21(23&24): 3925-3932.

[10] Mishagin K.G., Flach S., Kanakov O.I.，et al.q-Breathers in discrete nonlinear Schrodinger lattices[J].N. J. Phys.，2008(10): 073034.