粘弹性流体偏心环空螺旋流的速度分布

周万富，蔡 萌，刘崇江，梁福民

(大庆油田有限责任公司 采油工程研究院，黑龙江 大庆 163453)

0 引言

在聚驱螺杆泵井采油工况下，螺杆泵采油井产出液是含有聚合物溶液的油水混合物复杂体系，这种产出液在螺杆泵采油井的抽油杆和油管所形成的环空中的流动，可视为粘弹性流体偏心环空螺旋流。研究粘弹性流体偏心环空螺旋流的速度分布对聚驱螺杆泵采油井生产参数的优化提供理论依据。

关于流体偏心环空螺旋流，Ballal等[1]给出了忽略惯性力下Newton流体偏心环空螺旋流的流函数和轴向速度的解析解。张海桥等[2-3]推导了幂律流体环空螺旋流的视黏度和速度分布函数的解析表达式及流量的计算公式。崔海清等[4]推导并计算了幂律流体同心环空层流螺旋流的压降，并通过实验验证了该流动的压降方程和计算方法的正确性。张景富等[5]推导了在倾斜同心环空中幂律流体螺旋流层流流场的流动压降的解析式，并引入当量间距的概念，给出了偏心环空中幂律流体螺旋流层流压降的计算公式。崔海清等[6-7]采用有限差分法对幂律流体偏心环空螺旋流的二次流和速度分布进行了数值计算。季海军等[8]推导了Newton流体在内外管同时旋转的偏心环空螺旋流的稳定性参数的数学表达式，并以水为例，对影响稳定性参数分布及其峰值出现区域的因素进行了分析。蔡萌[9]利用待定系数法对幂律流体偏心环空螺旋流的压力梯度进行了数值计算，并分析了环空内管自转速度、偏心距及流量对其的影响。

本文将在上述文献的基础上，用变系数二阶流体描述粘弹性流体的流变性，建立粘弹性流体偏心环空螺旋流的控制方程，利用有限差分法对上述控制方程进行数值求解，得到该流动的轴向速度分布及切向速度分布，并分析环空内管自转速度、偏心度及压力梯度对其的影响。

1 假设条件

不可压缩粘弹性流体在无限长垂直偏心环空中做等温层流流动。环空内、外管半径分别为Ri和Ro，其轴线平行且相距为e。外管静止，内管绕其自身轴线以等角速度Ωi自转。作用于流体上的压力梯度为P，且平行于环空内、外管轴线。

图1 流体偏心环空螺旋流

2 控制方程

2.1 本构方程

(1)

(2)

(3)

这里粘度函数η，第一法向应力差系数θ1及第二法向应力差系数θ2都是一阶Rivlin-Ericksen张量的第二不变量I2的函数，其表达形式为

(4)

θ1=A1I2n1

(5)

θ2=A2I2n2

(6)

式中：n为流性指数；k为稠度系数；A1、n1、A2、n2分别为第一、二法向应力差系数θ1、θ2的物质常数。

(7)

c=chξcosζ-1

(8)

s=shξsinζ

(9)

(10)

式中：ψ为流函数，m2·s-1；w为轴向速度函数，m·s-1。

2.2 连续性方程

▽·v=0

(11)

2.3 运动方程

(12)

(13)

2.4 边界条件方程

ψ(ξi,ζ)=0

(14)

(15)

(16)

(17)

w(ξi,ζ)=0

(18)

w(ξo,ζ)=0

(19)

(20)

其中：

(21)

3 切向速度分布

粘弹性流体偏心环空螺旋流的切线速度分布为

(22)

4 数值计算

利用有限差分法对控制方程式(1)～(21)进行数值求解，其具体方法为：

10)输出流函数ψi,j、轴向速度wi,j；

11)由式(22)数值计算切向速度vζi,j。

5 算例

质量百分比浓度为0.1%HPAM水溶液的密度ρ=9.992×102kg·m-3，流性指数n=0.7861，稠度系数k=0.1289Pa·s0.7861，第一法向应力差系数θ1、θ2的物质常数分别为A1=0.4728N·sn1+2·m-2，n1=-1.500，A2=0.0946N·sn1+2·m-2，n2=-1.500；

水的密度ρ=9.994×102kg·m-3，粘度μ=1.060×10-3Pa·s；

环空内管半径Ri=1.600×10-2m，外管半径Ro=3.500×10-2m；

图2 不同内管自转速度情况下的切向速度分布图 图3 不同偏心度情况下的切向速度分布

图4 不同内管自转速度情况下的轴向速度分布图 图5 不同偏心度情况下的轴向速度分布

图6 不同压力梯度情况下的轴向速度分布

由图2可以看出：在环空偏心度相同的情况下，环空中出现二次流(vζ<0)，且自转速度对二次流区域的影响不大。

由图3可以看出：在内管自转速度相同的情况下，环空中出现二次流(vζ<0)，且二次流的区域随着环空偏心度的增大而增大。

由图4可以看出：在环空偏心度和压力梯度相同的情况下，在环空宽间隙(ζ=0)处，内管自转速度对轴向速度的影响不大，且轴向速度的最大值偏向环空外管；在环空窄间隙(ζ=π)处，轴向速度随着内管自转速度的增大而略有增大，且轴向速度的最大值偏向环空外管。

由图5可以看出：在内管自转速度和环空压力梯度相同的情况下，在环空宽间隙(ζ=0)处，轴向速度随着环空偏心度的增大而增大，且轴向速度的最大值偏向环空外管；在环空窄间隙(ζ=π)处，轴向速度随着环空偏心度的增大而减小，且轴向速度的最大值偏向环空外管。

由图6可以看出：在内管自转速度和环空偏心度相同的情况下，无论在环空宽间隙(ζ=0)处，还是窄间隙(ζ=π)处，轴向速度均随着环空压力梯度的增大而增大，且轴向速度的最大值均偏向环空外管。

6 结语

1)建立了用变系数二阶流体本构方程描述粘弹性流体特性的偏心环空螺旋流的控制方程。

2)利用有限差分法对变系数二阶流体偏心环空螺旋流的控制方程进行了数值计算，得到了该流动的轴向速度分布和切向速度分布；结果表明：在环空宽间隙和窄间隙处，该流动的切向速度与内管自转速度、环空偏心度有关；轴向速度与内管自转速度、环空偏心度及压力梯度有关。

3)粘弹性流体偏心环空螺旋流速度分布的数值计算为聚驱螺杆泵井生产参数的优化提供了必要的理论依据。

[参考文献]

[1] Ballal B Y , Rivlin R S．Flow of a Viscoelastic Fluid Between Eccentric Rotating Cylinders [J]．Transactions of the Society of Rheology，1976，20(1)：65-101．

[2] 崔海清，张海桥．幂律液体环形空间螺旋流的视粘度和速度分布[J]．大庆石油学院学报，1984，8(3)：25-33．

[3] 张海桥，崔海清．幂律液体环形空间层流螺旋流的流量计算[J]．大庆石油学院学报，1984，8(4)：159-168．

[4] 崔海清，张海桥．幂律液体环形空间层流螺旋流的压降计算[J]．石油学报，1985，6(3)：105-112．

[5] 张景富，李邦达．幂律液体偏心环空螺旋流层流压降计算[J]．石油钻采工艺，1992，14(3)：13-20．

[6] 崔海清，刘希圣．幂律流体偏心环空螺旋流中的二次流问题[J]．水动力学研究与进展，1995，10(6)：610-620．

[7] 崔海清，刘希圣．非牛顿流体偏心环形空间螺旋流的速度分布[J]．石油学报，1996，17(2)：76-83．

[8] 季海军，张新，崔海清，等．流体在内外管同时旋转的偏心环空中螺旋流的稳定性参数[J]．大庆石油学院学报，2005，29(4)：29-32．

[9] 蔡萌．幂律流体偏心环空螺旋流压力梯度的数值计算[J]．石油钻采工艺，2010，32(2)：11-14．