一维等离子体非分裂场PML吸收边界条件研究

郑召文，杨利霞，，蔡志超，孔 娃，施卫东

(1.江苏大学计算机科学与通信工程学院，江苏镇江212013;2.江苏大学流体机械工程技术研究中心，江苏镇江212013)

用FDTD方法仿真开域的电磁散射时受到计算机容量的制约，因此在计算区域的截断边界处必须给出吸收边界条件.Taylor等首次提出用吸收边界来吸收外向行波，当时采用的吸收边界为简单插值方法，G.Mur［1］提出了在计算区域截断边界处的一阶和二阶吸收边界条件，把这种方法称为Mur边界，这是一种比较有效的吸收边界.J.P.Bérenger［2］提出了将麦克斯韦方程扩展为场分裂形式的完全匹配层(PML)，Z.S.Sacks等［3-5］提出了单轴各向异性介质的PML(UPML).吸收边界的效果越来越好，应用的范围也越来越广泛.

S.A.Cummer［5］提出了近似完全匹配层(nearly perfectly matched layer，NPML)吸收边界，经Hu Wenyi等［6］证实NPML是一种完全匹配层吸收边界.该吸收边界相对于分裂场的PML吸收边界简单，有重要的应用价值，尤其在截断色散介质方面相对于UPML吸收边界简单而易于实现.笔者通过直接对麦克斯韦方程组中空间变量的坐标拉伸，而且不需要对辅助方程引入额外变量，使辅助方程在吸收边界中具有和介质中相同的迭代式，从而使编程过程更为简洁.杨利霞等［7］研究了一般介质三维非分裂场的NPML吸收边界，验证了NPML吸收边界的正确性.杨利霞等［8］给出了计算磁化等离子体电磁散射的理论公式的推导，在此基础上，笔者推导基于截断色散磁化等离子体介质的NPML吸收边界，同时通过与解析解进行对比，验证该吸收边界实现算法的有效性.

1 截断磁化等离子体FDTD递推式

在磁化碰撞磁化等离子体中，Maxwell方程组和相关的本构方程为

式中:E为电场强度;H为磁场强度;J为电流体密度;ε0为真空中的介电常数;μ0为真空中导磁率;ωp为等离子体频率;ωB为电子旋转频率矢量，ωB=为外部静态磁场矢量，C和m分别为电荷量和电子质量;ν为电子碰撞频率.

对于一维情况下的 TEM波，设外磁场方向为 +z向，ωB=ωbz^，在直角坐标系下，式 (1)，(2)可写为

式(3)可写为

由式(4)-(7)可知，磁场的FDTD迭代为

由式(8)可知，Jx和Jy相互耦合，其迭代公式用文献［8］提出的方法进行处理，对式(3)进行拉普拉斯变换可得

对式(14)进行逆拉普拉斯变换可得

结合指数差分可得离散时域的J的FDTD迭代式为

其中:

故式(18)可以写成:

由以上公式可知，若 ωp，ωb，ν都为0，则Jx和Jy也为0，等离子体递推式便可退化为普通介质递推式，即

2 NPM L吸收边界FDTD递推式

根据 NPML的坐标变换规则，将∂z变换为，其中:σ(z)，d为zNPML层的厚度，z0为NPML层靠近FDTD区的界面位置，q为整数.则式(4)-(7)可化为

根据文献［6］可知:

令，则式(26)-(29)变换为

由式(30)-(33)可得磁场的FDTD迭代为

根据式(32)和(33)可知，Jx和Jy在数学表述形式上没有对空间的偏导，因此NPML吸收边界递推式中Jx和Jy的表达式同式(21)相同.同理，参数 ωp，ωb，ν都取0时，则Jx和Jy也为0，截断等离子体的吸收边界递推式便可以退化为截断普通介质的吸收边界递推式.

将式(42)进行整理得

将式(44)进行中心差分离散，可得

同理，有

文献［4］研究表明:当q=4时最佳，σmax最佳值可取为，其中:εr为相对介电常数;δ为FDTD元胞尺寸.

3 算例分析

算例1 计算电磁波垂直入射普通介质板(ωb=0，ν=0，ωp=0时)的反射系数，电磁波垂直入射到充满另一种普通介质的半空间时的反射系数.介质占200个网格，紧邻的NPML为6个网格，其余为真空.仿真结果如图1所示，图中分别给出了NPML、UPML和解析解情况下，电磁波垂直入射普通介质板的反射系数，计算结果表明了NPML吸收边界在截断常规介质正确性和有效性.

图1 普通介质板的反射系数

算例2 验证NPML吸收边界截断色散等离子的正确性.计算电磁波垂直入射到充满等离子体的半空间的反射系数，并与解析解进行比较，入射电磁波为高斯脉冲的导数，峰值频率为50，100 GHz时下降10 dB.计算空间步长为75μm，时间步长为0.125 ps.等离子体占200个网格，紧邻的NPML为6个网格，其余为真空.计算中磁化等离子体的参数为 ωb=300 GHz，ν=200 GHz，ωp=2π ×28.7 ×109rad·s-1.图2，3给出了右旋圆极化(RCP)和左旋圆极化波(LCP)的磁化等离子体的FDTD和解析解的反射系数，FDTD和解析解完全吻合，验证了该算法的正确性.

算例3 非磁化等离子体反射系数验证.仿真计算中的各个等离子参数分别为ν=200 GHz，ωp=2π×28.7×109rad·s-1.图4给出了非磁化等离子体情况下的FDTD和解析解的反射系数，FDTD与解析解［9］完全吻合，表明了该算法的有效性.

图4 反射系数频谱图

4 结论

根据磁化等离子体电磁散射理论公式，对麦克斯韦偏微分方程中对空间偏导的变量进行坐标拉伸，由于变量Jx和Jy在数学表述形式上不存在对空间的偏导，因此不需要对它们进行坐标变换，故吸收边界中Jx和Jy具有同等离子体中相同的表达式，比UPML方法中对Jx和Jy采用中间变量进行迭代的方式更加简单，也使得编程复杂度大大降低，体现了该方法在截断色散介质时的优越性.又因为等离子体辅助方程只与参数ωp，ωb，ν有关，当这3个参数都为0时，等离子体的递推式和吸收边界的递推式都可以退化为普通介质时的递推式，因此可以采用同一个程序通过设定不同的参数来分析仿真等离子体和真空状态下的电磁波传播特性.

References)

［1］ Mur G.Absorbing boundary conditions for the finite difference approximation of the time-domain electromagnetic-field equations［J］.IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，1981，23(4):377-382.

［2］ Bérenger JP.A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves［J］.Journal of Computational Physic，1994，114:185-200.

［3］ Sacks Z S，Kingsland D M，Lee R，et al.A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition［J］.IEEE Transaction on Antennas and Propagation，1995，43(12):1460-1463.

［4］ Gedney SD.An anisotropic perfectly matched layer-absorbing medium for the truncation of FDTD lattices［J］.IEEE Transaction on Antennas and Propagation，1996，44(12):1630-1639.

［5］ Cummer SA.A simple，nearly perfectly matched layer for general electromagnetic media［J］.IEEE Microwave Wireless Components Letters，2003，13(3):128-130.

［6］ Hu Wenyi，Cummer SA.The nearly perfectly matched layer is a perfectly matched layer［J］.IEEE Microwave Wireless Components Letters，2004(3):137-140.

［7］ 杨利霞，梁 庆，于萍萍，等.三维新型非分裂场完全匹配层吸收边界条件［J］.电波科学学报，2011，26(2):67-72.Yang Lixia，Liang Qing，Yu Pingping，et al.A novel3D non-splitted field perfectly matched layer absorbing boundary condition in FDTD computation［J］.Chinese Journal of Radio Science，2011，26(2):67-72.(in Chinese)

［8］ 杨利霞，王祎君，王 刚.基于拉氏变换原理的三维磁化等离子体电磁散射 FDTD分析［J］.电子学报，2009，37(12):2711-2715.Yang Lixia，Wang Yijun，Wang Gang.A 3D FDTD implementation of electromagnetic scattering by magnetized plasma medium based on Laplace transfer principle［J］.Acta Electronica Sinica，2009，37(12):2711-2715.(in Chinese)

［9］ 袁敬闳，莫怀德.等离子体中的波［M］.成都:电子科技大学出版社，1990.