一种高精度低复杂度波达方向估计新方法

杨小凤

(玉林师范学院电子与通信工程学院，广西玉林 537000)

0 引言

DOA估计在波束形成、信号检测和定位等领域有着广泛的应用。波束形成和信号检测技术采用实时DOA估计，二者对估计精度的要求并不高。定位技术是在移动自主网(Mobile Ad-hoc Network)中实现频谱共享和分配的关键，它需要高精度的DOA估计［1－3］;另一方面，移动自主网中的节点存在资源有限的特点，因此定位机制采用的DOA估计又必须满足低复杂度的要求。

为此，诸多DOA估计算法被提出来，比如，延迟相加法(Delay-and-Sum，DAS)［4］、多重信号分类算法(Multiple Signal Classification，MUSIC)［5］和求根MUSIC 算法(Root-MUSIC)［6］。DAS 对不同的扫描方向形成不同的权值，将阵列天线各阵元的输出进行加权求和，从阵列输出功率峰值点判定DOA。DAS的DOA估计精度不高，然而，它的低复杂度性能使得它适合用于实时粗略的DOA估计。此法运算简单，易于在FPGA系统上实现。MUSIC通过对阵列接收数据的数学分解，将数据划分为2个正交的子空间:信号子空间和噪声子空间，利用2个子空间的正交特性构造出“针状”空间谱峰，大大提高了DOA估计的分辨力。Root-MUSIC是MUSIC的多项式求根形式，利用噪声子空间构造一个多项式，通过求解多项式最接近单位圆的根来估计DOA。相比于 MUSIC，Root-MUSIC具有更高的精度和分辨力［7］，适合用于精准的DOA估计，而复杂度较DAS高得多，实现难度较大。总体而言，现有的DOA估计算法未能同时具备高精度和低复杂度的特点，直接应用于移动自主网中定位节点的效果并不理想。

为了解决现有定位方法难以同时达到高精度和低复杂度的问题，提出了一种新颖方法，即将DAS和Root-MUSIC进行联合DOA估计，分别用于定位过程的粗略检测和精准定位2个阶段:第1阶段的估计结果为第2阶段估计的基础，并为降低后者的复杂度服务，最终以1+1＜2的复杂度获得了1+1≥2的精度。给出了该方法的实现步骤，并通过Matlab仿真实验证明了其良好的估计性能。

1 DAS和Root-MUSIC算法

1.1 阵列信号模型

假设信号源为窄带远场信号，信号到达角度为θ;采用阵元数为M的均匀线阵，阵元间距d=λ/2，λ为波长;噪声序列为零均值高斯过程，各阵元间噪声相互独立，噪声与信号也相互独立。

第i个阵元上接收到的信号的相对于第1个阵元的相移为:

第i个阵元上接收到的信号可表示为:

式中，s为信号源;n为噪声。

M个阵元接收到的信号表示为矢量的形式，即

式中，φ为信号导向矢量(steering vector);L为快拍数。

1.2 DAS算法的SDR实现

DAS的输出信号是各阵元输出的线性加权和:

式中，A为接收信号的幅值;ω为其中心频率;θ'为其随机相位;φi(θ)见式(1)。

θt为［－90°，+90°］之间以 Δθt为间隔的扫描角度，在每一个扫描角度测量输出信号的功率:

其最大值对应的角度即为信号入射方向，即

由于接收信号受高斯噪声的影响，所以式(7)的DOA估计结果包含误差。为了减小误差，对输出功率进行T次独立测量，采用最大似然估计准则估计包含噪声影响的输出功率:

由于该法的估计分辨力为Δθt，为了改善估计精度，采集空间功率谱最大值这一点及其附近几个数据点，使用最小二乘法求这些数据点的二次拟合多项式，再求使得该多项式取得最大值的角度即为DOA。

1.3 Root-MUSIC算法的SDR实现

阵列信号的协方差矩阵为:

式中，L为快拍数。

对RX进行特征分解，由小特征值对应的特征矢量张成的噪声子空间VN和信号导向矢量φ正交，即

该特性使得MUSIC空间谱产生峰值:

Root-MUSIC将式(11)的分母改写成一个关于Z的多项式:

式中，M为阵元数;Ck为矩阵C=第k条对角线上的元素之和，即

解出式(12)的2M－2个根，从其中位于单位元上的根的相位可求出DOA:

1.4 算法复杂度分析

以实现算法的过程中使用的乘法运算的个数(Number of Multiplications，NOM)作为算法复杂度的度量。

对于DAS(使用二次拟合多项式估算DOA)，其NOM为:

当阵元数 M=6、快拍数L=5、扫描角度间隔Δθt=5°、二次拟合多项式的数据点数Q=5时，DAS的NOM=4830。

对于Root-MUSIC，其NOM主要集中在求RX，对RX进行特征分解及求根这3步，分别对应NOMA，NOMB及NOMC:

将式(17)、式(18)和式(19)相加，得到实现Root-MUSIC所需NOM为:

当阵元数M=6，快拍数 L=5时，Root-MUSIC的NOM=12019。而相同条件下，DAS的NOM要少得多。因此，DAS较低的复杂度使其适合用于实时粗略DOA估计;Root-MUSIC适合用于精准DOA估计，而复杂度较高，设法减少求根个数是降低复杂度的关键。

2 DAS和Root-MUSIC联合估计法

综合DAS低复杂度和Root-MUSIC高估计精度的优点，提出一种将DAS和Root-MUSIC联合估计法，实现了以较低的复杂度获得近似于单独采用Root-MUSIC所达到的高精度。该方法分为2个阶段:首先采用DAS进行粗略DOA估计。该结果为第2阶段进行精准定位的Root-MUSIC的基础，利用牛顿法［8］使Root-MUSIC仅需要求解多项式的一个根(常规Root-MUSIC需要求解2M－2个根)，从而降低了Root-MUSIC的复杂度。具体过程如下:

② 求f(Zi)，f(Z)见式(12);

③过这一点作多项式曲线的切线，斜率为f'(Zi);

④求切线的零点Zi+1=

⑤重复步骤②～步骤④，直至估计结果足够精确。

联合估计法中Root-MUSIC的NOM为:

当阵元数M=6、快拍数L=50时，联合估计法中 Root-MUSIC的 NOM=10742，而 DAS的 NOM=4830，二者之和NOM=15572，相比于相同条件下常规Root-MUSIC的NOM=18522要少。

3 Matlab仿真实验及性能分析

为了验证DAS和Root-MUSIC联合估计法相对于DAS和常规Root-MUSIC在性能(包括估计精度和复杂度)上的优越性，这里给出基于上述阵列信号模型的Matlab仿真实验结果及分析。将估计的均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE)作为估计精度的度量:

式中，T为独立实验的次数;θ^i为第i次实验估计的DOA;θ为实际DOA。

实验1探讨了联合估计法中第1阶段DAS的估计精度对第2阶段Root-MUSIC的估计精度的影响。实验条件:阵元数=6，信源数=1，快拍数=50，独立实验次数=500，SNR=15 dB。仿真结果如图1所示。从图1可以看出，第1阶段DAS的RMSE达到某一门限值后会导致第2阶段Root-MUSIC的RMSE急剧增大。DOA越大，联合估计法对DAS的RMSE要求越低，只要DAS的RMSE控制在2.5°以内，就能为Root-MUSIC提供有效的估计近似初始值，最终达到理想的估计精度。

图1 联合估计法中2种方法估计精度的关系

实验2比较了DAS、常规Root-MUSIC及联合估计法的估计精度随DOA变化的趋势。实验条件:阵元数=6，信源数=1，快拍数=50，独立实验次数=500，SNR=15 dB。仿真结果如图2所示。从图2可以看出，三者的估计精度随DOA变化的趋势呈碗底状，DAS的变化趋势更为陡峭。相同条件下联合估计法和常规Root-MUSIC的RMSE几乎完全相等，和DAS的RMSE相比少一半以上。

实验3比较了DAS、常规Root-MUSIC及联合估计法的估计精度随实现的复杂度(Complexity，#of Multiplications)变化的趋势。实验条件:阵元数=6，信源数 =1，DOA=30°，独立实验次数 =500，SNR=15 dB。仿真结果如图3所示。从图3可以看出，三者的RMSE随复杂度的增大而急剧下降，直至复杂度达到某一门限值后，再增大复杂度而RMSE基本不变。为达到相同的估计精度，联合估计法的复杂度比常规Root-MUSIC的低。

图2 3种方法的估计精度随DOA变化的趋势

图3 3种方法的估计精度随实现的复杂度变化的趋势

实验4探讨了联合估计法在多径传播条件下的估计精度。实验条件:假设接收信号为一路非视距(NLOS)与视距(Line-of-Sight，LOS)信号的叠加，二者的到达角度差(Direction Difference)为Δθ，功率比为PNLOS/PLOS;阵元数=6，视距DOA=30°，快拍数=50，独立实验次数=500，SNR=15 dB。仿真结果如图4所示。

图4 联合估计法在多径传播条件下的估计精度

从图4可以看出，联合估计法的估计精度随Δθ变化的趋势呈波浪状，这是因为NLOS信号频谱的主瓣和LOS信号频谱的旁瓣相干扰，当旁瓣的能量增至足够大时就被当作主瓣，就产生较大的估计误差。

4 结束语

在分析了延迟相加法和Root-MUSIC的实现复杂度的基础上，提出了一种应用于在移动自主网的节点定位的将二者进行联合DOA估计法，实现了以较低的复杂度获得近似于单独采用Root-MUSIC所达到的高精度。该方法分为2个阶段:首先采用DAS进行粗略DOA估计;该结果为第2阶段进行精准定位的Root-MUSIC的基础，利用牛顿法使Root-MUSIC仅需要求解多项式的一个根，从而降低了估计方法整体的复杂度。仿真实验证明了其良好的估计性能。 ■

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