再谈四面体的十二点共球定理

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(赣南师范学院 江西赣州 341000)

再谈四面体的十二点共球定理

●熊曾润

(赣南师范学院 江西赣州 341000)

1863年,法国人普鲁海将三角形的九点圆定理类比引申到垂心四面体中,得到了如下的“十二点球定理”[1]:

2004年,拙文[2]应用坐标法,定义了四面体的“k号心”及“k+1号球面”等概念,将定理1多方位地类比推广到任意四面体中,得到了如下的更为一般化的“十二点球定理”:

定理2四面体V的k+1号球面必通过12个特殊点,即

(1)各顶点Aj与k号心P连线的k+1等分点Mj(j=1,2,3,4);

(2)各一级顶点子集Vj的k+1号心Qj(j=1,2,3,4);

(3)自点Qj引直线与直线AjP垂直相交的垂足Hj(j=1,2,3,4).

不难验证,在定理2中令V为垂心四面体,且令k=2,就得到定理1.由此可知,定理1是定理2的特例,后者是前者的推广.

本文拟应用向量方法,建立四面体的“广义k号心”及“广义k+1号球面”概念,对定理2作进一步推广,导出一个新的、更具普遍性的“十二点球定理”.为此，本文约定：

(1)A1A2A3A4为任意一个四面体；

(2)以点O为球心、长度R为半径的球面记作S(O，R)；

(3)k是任意给定的正整数.

定义1设四面体A1A2A3A4内接于球面S(O，R)，对异于点O的任一点H，若点P满足

则点P称为四面体A1A2A3A4的广义k号心.

根据以上定义，我们可以推得

依题设，点Bj分线段AjP成AjBj∶BjP=k∶1,因此由线段定比分点的向量表示可得

又依题设可知点P满足式(1)，将式(1)代入上式可得

据此，注意到点Q满足式(2)，则有

又依题设可知点M是四面体A1A2A3A4的广义k+2号心，由定义1得

代入上式，得

据此，注意到点Q满足式(2)，则

故

由定理3和定理4的证明可知，点Bj和点Cj分别满足式(3)和式(4)，从而

故

综合定理3～定理5，可得

定理6设四面体A1A2A3A4内接于球面S(O，R)，对异于点O的任一点H，这四面体的广义k号心和广义k+2号心依次为P和M，则这四面体的广义k+1号球面必通过以下12个特殊点：

(1)内分线段AjP成AjBj∶BjP=k∶1的点Bj(j=1,2,3,4);

(3)过点Cj作直线与直线AjP垂直相交的垂足Dj(j=1,2,3,4).

[1] 沈康身.数学的魅力(一)[M].上海：上海辞书出版社，2004：278.

[2] 熊曾润.关于四面体的十二点共球定理[J].中学教研(数学),2004(6):41-43.