时频域分析中几种傅里叶变换的比较

王益艳

(四川文理学院 物理与机电工程学院，四川 达州 635000)

时频域分析中几种傅里叶变换的比较

王益艳

(四川文理学院 物理与机电工程学院，四川 达州 635000)

在时频域分析中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，尤其是在快速傅里叶算法FFT出现以后，它在信号分析和处理中得到了广泛的应用.从频谱分析的角度，对常见的四种傅里叶变换进行了对比研究，厘清了它们之间的内在联系，以使人们加深对傅里叶变换本质的理解.

时频域分析；傅里叶变换；频谱分析；采样；周期延拓

0 引言

在时频域分析课程(如《信号与系统》，《数字信号处理》)中，[1-8]涉及到的傅里叶变换大致包括：连续周期信号的傅里叶级数(CTFS)、连续非周期信号的傅里叶变换(CTFT)、离散时间序列的傅里叶变换(DTFT)和离散傅里叶变换/级数 (DFT/DFS)等.现有的教材讨论这些傅里叶变换时，都是由CTFS推出CTFT，由线性差分方程推出DTFT，由DTFT推出DFT/DFS.四种形式的傅里叶变换各有不同的理论依据和不同的推导基础，尽管它们的物理意义明确，但是公式繁多、过程冗长，使得它们的关系复杂，给初学者带来了很大难度，不利于傅里叶变换的实际应用.即使学过《信号与系统》和《数字信号处理》的人，面对傅里叶变换的多种形式，还是弄不懂它们之间的联系.本文从频谱分析的角度，探讨了这四种傅里叶变换之间的关系，可使人们对其本质有更深刻的理解.

1 四种傅里叶变换的内在联系

为了便于比较，本文首先给出几种傅里叶变换对的数学表达式.连续周期信号的傅里叶级数(CTFS)公式如下：

(1)

连续非周期信号的傅里叶变换(CTFT)公式如下：

(2)

离散时间序列的傅里叶变换(DTFT)公式如下：

(3)

离散傅里叶级数(DFS)公式如下：

(4)

离散傅里叶变换(DFT)公式如下：

(5)

1.1 CTFS和DFT/DFS的关系

(6)

将t=nT代入上式，得

(7)

注意到当且仅当n是模N时，ej2kπn/N才是唯一的.式(7)可进一步改写为:

(8)

(9)

(10)

1.2 CTFT和DTFT的关系

假定连续时间信号x(t)，其离散时间形式x[n]=x(nT).作为联系x(t)和x[n]的桥梁，考虑x(t)的采样间隔或者周期为T.

xa(t)=x(t)δT(t)，

(11)

(12)

这表明Xd(Ω)=DTFT{x[n]}和Xa(ω)=CTFT{xa(t)} 本质上是一样的，通过变量代换ω=Ω/T即可由Xa(ω)得到Xd(Ω).另一方面，Xa(ω)=CTFT{xa(t)} 是以X(ω)=CTFT{x(t)}形式表示的，即

(13)

Xd(Ω)=Xa(ω)|ω=Ω/T

(14)

其中ω和Ω分别称为模拟频率和数字频率.

这意味着，x[n]=x(nT)的DTFT本质上就是x(t)的CTFT的周期延拓(模拟频率ω周期为2π/T，数字频率Ω周期为2π)，或者说是无穷多的CTFT平移之后的和.这也可解释由于频率混叠，导致了从CTFT求出的DTFT会有所偏差，除非CTFT频谱X(ω)在低频带(-π/T,π/T)是严格带限的，其中T是x[n]=x(nT) 时的采样间隔.

1.3 CTFT和CTFS以及DTFT和DFT/DFS的关系

Xk=X(ω)|ω=kω0=2πk/P.

(15)

X(k)=Xd(Ω)|Ω=κΩ0=2πk/N.

(16)

2 四种傅里叶变换的转化关系和比较

下图1给出了CTFT、CTFS、DTFT和DFT/DFS之间的全部转化关系图.

图1 CTFT、CTFS、DTFT和DFT/DFS的转化关系图

图2通过举例说明，给出了一个连续时间(离散时间)矩形脉冲(波)的CTFT、CTFS、DTFT和DFT/DFS频谱图.

图2 CTFT、CTFS、DTFT和DFT/DFS的频谱对应关系举例

从图1和图2观察可知，在四种傅里叶频谱中，CTFT和CTFS比DTFT和DFT/DFS更有用，因为所有的物理信号都是连续时间信号.在CTFT和CTFS中，一般更希望用CTFT，因为假定CTFS包含CTFT的采样值，那么CTFT具有CTFS的全部信息(见式(15)，图2(b1)和图2(b4)).另外，CTFS不是很实用，因为噪声的影响使得找到周期信号的周期很难，甚至找不到周期信号.因此，当需要比较频谱(描述给定信号的频率内容)的准确性时，一般以CTFT作为标准.

CTFT和CTFS的问题是由于要积分，计算很困难.相比而言，DTFT更容易计算，因为它只有乘法和加法运算.但是对x(t)的采样(采样间隔为T)会使x[n]=x(nT)的CTFT频谱X(ω)产生周期延拓，周期为2π/T，如果在主瓣模拟频率带[-π/T,π/T]之外有非零频率成分，就会产生频率混叠现象.这就是计算DTFT的方便性所要付出的代价.通过减少采样间隔T，[-π/T,π/T]将包含更多的频率分量，这样就可以降低频谱混叠(对比图2(b2)(T=1)和图2(b5)(T=0.5)的DTFT频谱和虚线画的CTFT).

x[n]的DTFT频谱Xd(Ω)在计算性能上优于CTFT或CTFS，但是由于频率Ω是连续的，并且在求IDTFT(DTFT逆运算)还是需要积分运算，所以仍不方便.为了计算的高效性，要在DTFT频域kΩ0=2πk/N，k=0:N-1处采样得到N点DFT系数X(k) .但是，这也使得不论原始x[n]是否是周期的，亦或x[n]是周期的，其原始周期是多少，x[n]都将以周期N(DFT的长度)进行周期延拓.如果在整个时间[0,N-1]不能充分地包含原始信号，那么就会产生时域混叠，当DFT长度不符合信号的真实周期时，就会出现频谱泄漏问题.

通过增加整个时间间隔P=NT，可以提高模拟分辨频率ω0=Ω/T=2π/NT=2π/P.增大DFT长度(如补零)，可使DFT频谱更接近DTFT频谱.减少采样间隔T，可使CTFT频谱周期延拓后的周期2π/T变大(见式(14))，同样地，扩大模拟主瓣频带[-π/T,π/T]，频率混叠的程度和几率就会减少.

一般而言，实际中可以选择DFT长度N和采样间隔T，那么信号测量、采样和一系列N个数据点的采集时间P=NT就确定了.因此，很难保证NT正好等于信号的真实周期.由于这个原因，将P=NT称为整个时间区间比根据CTFS定义所说的周期更合理一些.

3 总结

连续时间信号的傅里叶变换是一种积分变换，而离散傅里叶变换只是为了适应利用计算机分析而规定的一种专门运算，它可看成是对连续时间信号频谱分析的逼近.周期信号的傅里叶变换的频谱呈离散分布，非周期信号的傅里叶变换的频谱呈连续分布，连续变量信号的频谱呈非周期分布，离散变量信号的频谱呈周期分布.从频谱分析的角度出发，本文重点探讨了四种傅里叶变换的相互联系，旨在帮助人们理解对各种傅里叶变换的模糊认识，从而对其本质有更深入的理解，以利于后续课程的学习.

[1] Alan V Oppenheim, Alan S Willsky,Nawab S Hamid.信号与系统[M].刘树棠，译.西安：西安交通大学出版社,1998:2-3.

[2] 郑君里.信号与系统[M].北京:高等教育出版社, 2001:5-6.

[3] 余成波,张 莲,邓 力. 信号与系统[M].北京：清华大学出版社,2004:12-13.

[4] Won Y Yang.SignalsandSystemswithMATLAB[M].北京:电子工业出版社，2012:163.

[5] Vinary K Ingle.DigitalSignalProcessingUsingMatlab[M].北京:科学出版社，2003:140-141.

[6] 胡广书.数字信号处理理论、算法与实现[M].北京:清华大学出版社,2003:133-135.

[7] 程佩青.数字信号处理教程[M].北京:清华大学出版社,2007:117-118.

[8] 高西全,丁玉美.数字信号处理教程[M].西安:西安电子科技大学出版社，2008:101-102.

[责任编辑邓杰]

AComparisonofFourierTransformsinTime-frequencyDomainAnalysis

WANG Yi-yan

(Physics and Electronic Engineering Department of Sichuan University of Arts and Science，Dazhou Sichuan 635000,China)

In the field of time-frequency domain analysis, the Fourier transform plays an important role. Especially, when its fast and efficient algorithm FFT is given, it is widely used for signal analysis and processing. The comparison is made of the four common Fourier transforms and the relationship is analyzed by an example in order to understand the essence of four kinds of Fourier transform deeply.

time-frequency domain analysis;fourier transform;spectral analysis;sampling;periodic extension

2013-03-08

四川省教育厅一般科研项目(13ZB0098);四川文理学院重点科研项目(2012Z002Z)

王益艳(1982—)，男，湖北咸宁人.讲师，博士研究生，主要从事信号与图像处理研究.

O59

A

1674-5248(2013)05-0028-05