基于快速傅里叶变换的遥测信号载波估计算法

冯 欣，唐晓峰，孙发鱼，李建立

（1.机电动态控制重点实验室，陕西 西安 710065；2.西安机电信息技术研究所，陕西 西安 710065）

0 引言

近年来，随着数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）及软件技术的不断发展，传统的遥测技术也不可避免地逐渐向软件化平台转变。在软件环境下，对比传统遥测系统中的非相干解调，相干解调的优势大大体现出来。而相干解调带来一个很重要的问题，就是信号的同步问题［1］。

在目前的遥测体制下，遥测信号往往会出现较大的载波频偏。特别地，在遥测系统设计测试阶段，信号载波频偏甚至可达数兆赫兹。在这种情况下，传统锁相环路由于受环路捕获带宽的限制，无法实现快速同步［2］。因此，需要在锁相环前加入对载波频率的估计的环节。目前广泛使用的基于参数模型的谱估计方法，由于运算复杂度较高，并不适用于实时接收的遥测系统。而目前基于离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的频谱估计算法，主 要 应 用 于 相 移 键 控 （Phase Shift Keying，PSK）等信号［3］，并不能直接适用于以脉冲编码调制（Pulse Code Modulation，PCM）的遥测信号。本文针对此问题，提出了基于快速傅里叶变换的遥测信号载波估计算法。

1 频谱估计及PCM信号原理

1.1 基于DFT的载波频谱估计原理

设载波的解析信号离散采样序列为：

其中a，f0，φ0分别表示信号的振幅、频率、初相，Δt表示信号采样时间间隔。

其DFT（所得多项式）系数为

其中

由式（2）、（3）可知，vk中包含了f0的信息。因此，对原信号进行DFT后，搜索出最大谱线，其对应的频率，便是载波频率的估计值。

可见，基于DFT的直接频谱估计方法，物理意义明确，且借助快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）后计算量也相对较小。因而可广泛应用于工程实践中。但DFT中存在能量泄漏和栅栏效应［4］，且在算法精度上依赖于采样率及采样长度，也使得该方法具有很大的限制。

1.2 信号频谱细化算法［4］

设采样频率为fs，信号x（t）经采样后得到离散信号x（n），则其DFT可表示为：

其频谱分辨率为Δf＝fs／N，即存在量化误差。若要降低量化误差，必须降低采样率fs或提高点数N。然而采样率受乃奎斯特采样定律限制；而提高采样点数N则会大大增加数据处理量，不仅会增加硬件成本，而且会影响信号处理的实时性。因此亟待研究信号频谱算法，使得在数据处理量不变或增加相对较低的情况下，提高频谱分辨率，降低量化误差。

由DFT的导出可以看出，其实质是对原信号频谱一个周期的采样。若对原信号平移1／2倍量化频率后，再进行DFT后得到的频谱，正好是对原信号DFT的插值。如图1所示。若将两组信号DFT的结果合并起来，其频谱分辨率会比原信号DFT的结果提高一倍。

图1 原序列与平移序列Fig.1 The original sequence and Thetranslational sequence

同理，若分别对信号平移1／m、2／m、…、（m －1）／m倍量化频率后，在分别进行DFT并将结果进行合并，其频谱分辨率将为原信号DFT的1／m倍。

应用FFT算法，该频谱算法可表示为：

其中FFT［x（n）］表示对x（n）的快速傅里叶变换。

对于N点的FFT算法，总共需要（Nlog2N）／2次复数乘法运及Nlog2N 次复数加法运算［5］。可见，该频谱算法的复数乘法运算量和复数加法运算量仅为同样频谱分辨率的FFT算法的50%。

1.3 PCM信号频谱特点

对于PCM调制信号，其数学表达式为

其中：A为载波幅度，fc为载波频率，f（t）为调制信号，Kd为频偏常数。若码速率为Rb，对于不归零码，码元“0”和“1”对应的载波频率分别为：

Δf又称为调制频偏。对于PCM数字信号，存在一个最佳的调制频偏，位于：

式（9）中n越大，误码率越小，但需要的信道带宽也越大，因此一般情况取n＝0［6］。

以中频载波信号频率＝70MHz，码速率＝2 Mbps为例，PCM调制信号频谱如图2所示。

图2 PCM调频信号频谱示意图Fig.2 PCM－FM signal spectrum diagram

2 针对PCM遥测信号的载波估计算法

对于PCM调制体系的遥测信号，由于其频谱为双峰，基于DFT的频谱算法显然不能直接适用。但注意到PCM遥测信号的频谱实际相当于两个单音信号频谱的叠加。这两个信号的载波频率分别为f0和f1。对式（8）进行移项，并带入式（7），可得

因此，只要分别估计出两个单音信号的载波频率，就可得到PCM遥测信号的载波估计。结合频谱算法后，可以进一步减少算法计算量，提高估计算法的实时性。

而对PCM遥测信号的载波估计主要应用于同步锁相环节，以协助完成载波快速同步。对于频谱算法，由于等式（11）的成立。

非常类似常用同步锁相环节同相正交环（Costas环）中的同相及正交环节。因此，该算法可以很方便地作为外环嵌入锁相环中，其原理框图如图3所示。

图3 频谱算法嵌入Costas环原理框图Fig.3 The spectrum algorithm embedded in Costas loop block diagram

具体算法实现过程如下：

1）采样：在中频端对信号进行采样，并应用式（5）的频谱细化算法，令m＝2进行一倍插值，得到信号的频谱序列 Gk2。

2）频谱排序：对序列 Gk2进行搜索，搜索出20个最大值，并按由大到小顺序进行排列，得到新的序列Zkik，其中ki为与Zkik相对应的原序列的频谱号。

3）频谱分组：令k0＝ ［max（ki）＋min（ki）］／2，以k0为基准，对Zkik进行分组，第一组ki≤k0，第二组ki＞k0。

4）频谱搜索：找出各组最大值，分别记作Z1和Z2，Z1和Z2即为PCM的两个单载频信号频谱的最大值。

5）频谱计算：对Z1和Z2在序列 Gk2中的对应序列，乘以频谱分辨率，分别得到两个单载频的估计值f0和f1，带入式（10），即可得到PCM信号的载波频率估计值。

3 仿真分析

在Matlab仿真平台上对该算法进行建模。设PCM遥测信号中频载波频率为（70±5）MHz，码元速率为2Mbps，调制频偏为0.7MHz。设采样率为200MHz，采样点数为1024点，则理论频谱分辨率约为200kHz。应用频谱算法后，频谱分辨率应提高至100kHz，即估计出的载波频率与实际载波频率误差应在±50kHz之间。一般来说，在测试系统中，信号信噪比一般会大于0dB，为更全面验证算法的有效性，分别对信噪比为－4dB到10dB的信号进行仿真分析。

图4给出了在不同信噪比下对载波频率估计的误差的仿真结果。

图4 不同信噪比下估计误差仿真结果Fig.4 Simulation result of estimation error on different SNR

从图4可以看出，在信噪比较高（大于－2dB）的情况下，该算法估计误差较小，基本在150kHz以内，估计误差小于3%，略高于无噪声干扰的理论值；随着信噪比的提高，估计性能也随之提升。当信噪比大于4dB的时候，频率估计误差基本稳定在50kHz以内，估计误差小于1%，和无噪声的理论值吻合。而对于一般锁相环路，其环路捕捉带宽均可设计达到300kHz左右［7］。因此，该估计算法完全可以满足锁相环环路捕获带宽的要求，从而达到协助锁相环完成快速同步目的。

而在实际应用中，该算法可以通过一个判决环节（如框图3中的判决器）进行控制。使得只有当锁相环节出现失锁时，才控制该算法进行工作；未出现失锁时，该算法处于屏蔽状态。这样一来，更好地节省了系统的资源。

表1具体给出了信噪比分别等于－2dB、0dB、2dB、4dB时的仿真结果。

表1 SNR＝－2dB、0dB、2dB、4dB时的仿真结果Tab.1 Simulation result when SNR＝－2dB，0dB，2dB，4dB MHz

4 结论

本文提出了基于FFT的PCM遥测信号频谱估计算法。该算法针对PCM遥测信号频谱呈现双峰的特点，以FFT算法原理为基础，结合频移技术，实现了针对常规兵器遥测调制信号的实时载波频谱估计。同时，该算法还可作为同相正交环的外环嵌入到锁相环节中，以协助锁相环完成载波信号快速同步。仿真结果表明，该算法在信噪比较高的情况下，估计误差基本稳定在50kHz以内，完全满足锁相环环路捕获带宽的要求，以达到快速同步的目的；同时，该算法具有实现简单、实时性强、频谱估计范围宽等优点，有较强的工程实用性。但在低信噪比的情况下，如何提高估计精度，需要进行进一步的研究。

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