利用LED灯演示简谐振动的合成和光的5种偏振态

董永奇，阮海军，蔡天芳，彭继迎，王 伟，王 飞

（北京交通大学 电子信息工程学院，北京100044）

1 引 言

通过对学生和物理教师的走访调查，发现在大学物理课堂上教师讲解简谐振动的合成时［1］，尽管有Flash动画辅助教学，但效果不太理想，对于抽象的振动合成，同学们理解起来很困难［2］.另外，在大学物理课堂上教师讲解光的5种偏振态时，初学者对于线偏振光合成的圆偏振光和椭圆偏振光的光矢量运动理解起来也较困难.

现在市场上的振动合成演示仪，一般是激光模拟或机械直接演示［1-2］.机械传动类演示仪器，体积较大，成本较高，虽可演示一些简谐振动合成的过程，但演示时间较长且不可调整，若在课堂上演示将会耽误上课时间.激光模拟类演示，只是给人1幅图画，让人无法感受合成的过程［3-4］.

现在许多高校都在进行偏振光演示的研究［5］，但总体上都是基于光的线偏振化，然后进行直接演示，但这样得到的仅仅是个图像［6］，并不能演示偏振光的矢端运动过程.另外，对于光的5种偏振态比较分析的演示，几乎没有研究.

现在许多研究者实现了用Visua1C＋＋，Matlab编程来演示简谐振动的合成［7-9］，但是这种方式并不能演示简谐振动的合成过程，更无法演示光的5种偏振态［10-11］.

针对现行演示仪器的不足，本文提出了用LED灯来演示简谐振动的合成和光的5种偏振态的方法，并设计出了相应的演示仪.采用连续、动态的图形效果，可以加深学生对各种简谐振动合成和光的5种偏振态的理解.

2 原 理

2.1 简谐振动合成的原理

简谐振动是最基本最简单的振动，两相互垂直方向上简谐振动的合成分为频率相同和频率不同2种情形.

1）相互垂直、同频率的简谐振动的合成

2个简谐振动的表达式分别为：

其中A1，A2，φ10，φ20，f 分别表示两者振动的振幅、初相位和频率［7］.消去t，得轨迹方程：

2）相互垂直、不同频率的简谐振动的合成

若2个振动的频率相差很大，并有简单的整数比值关系，可得到稳定的运动轨迹曲线即李萨如图形.在该图形中，作与x和y轴平行的直线，两线与李萨如图形最大交点的个数比与对应的频率比成反比，由此可求一振动的未知频率［12］.

2.2 光的5种偏振态

电磁波是横波，光波作为电磁波具有偏振性，如果光矢量只沿垂直于波线方向的一个固定方向振动，则该光波称为线偏振光，图示中常用波线上短线或点来表示线偏振光.

2个沿z方向传播的同频率的线偏振光，如果振动面相互垂直（设为x，y方向），则在xy平面内合成的光振动的矢端轨迹为李萨如图，当这2个线偏振光的初相位差为π的整数倍时，矢端轨迹为直线，即为线偏振光；2个线偏振光的振幅相等且初相位差为π／2的奇数倍时，矢端轨迹为圆，即为圆偏振光，若它们的振幅不相等，则矢端轨迹为椭圆，即为椭圆偏振光［13］.椭圆和圆偏振光的特点是光矢量的端点绕光波的传播方向作螺旋形旋转，根据光矢量在垂直于光传播的平面内的旋转方向（迎着光的前进方向看）可分为右旋和左旋偏振光，顺时针旋转时为右旋偏振光.

在垂直于光传播方向的平面内，各个方向的光振动均匀分布，各方向振幅和强度都相同的光称为自然光，自然光为完全非偏振光；如果各方向光强不相等的光称为部分偏振光，部分偏振光可看成是自然光与完全偏振光的叠加.

线偏振光、圆偏振光、椭圆偏振光为完全偏振光，它们都可等效地用2个振动方向相互垂直、频率相同、具有确定相位差的线偏振光来合成［13］.

3 LED灯的控制实现

演示仪包括硬件和软件2部分，硬件电路包括驱动控制电路和键盘电路；软件程序分为2部分，一部分是扫描程序，利用人的视觉暂留，显示LED屏上1幅完整的画面；另一部分是改变显示内容、显示演示颜色部分及改变合成频率部分.演示仪整体硬件结构和软件系统如图1所示.

图1 演示仪整体控制图

4 LED灯的模拟实现

4.1 简谐振动合成的实现

红色LED灯从左到右按顺序亮，再从右到左按顺序亮，且运动速度矢量函数为正弦函数，从而模拟出x方向的简谐振动；同理，使绿色LED灯的“明暗”运动模拟y轴方向的简谐振动；使用黄色LED灯的运动模拟合成的简谐振动.当x和y轴上LED灯运动时，即x和y轴上有简谐振动时，合成出的黄色LED灯就会跟着运动，于是简谐振动的合成过程就表现出来了.

LED灯开始亮的起始位置不同表示初相位不同，当x轴上从0处开始振动，y轴上也从0处开始振动，则它们的相位差为0，在频率相同时合成的图形为直线；当x轴上从0.5π开始振动，y轴上从0开始振动，这时它们的相位差为0.5π，在频率相同时合成的图形为圆，合成过程如图2所示.当x轴上从0.25π处开始振动，y轴上从0开始振动，这时它们的相位差为0.25π，在频率相同时合成的图形为扁平圆.同理可合成频率相同相位差为0.75π的扁平圆.

图2 圆合成过程图

LED灯的振动速度不同来表现频率的不同，频率相同则x和y轴上LED灯运动1周期的时间相同；频率为2:1时则x轴上LED灯运动2周期的时间和y轴上LED灯运动1周期的时间相同；同理可使用LED灯表现频率为3:1和3:2的简谐振动的合成.

4.2 光的5种偏振态的演示实现

使用LED灯表示自然光的图示，红、绿两色LED灯均匀分布，黄色LED灯箭头表示自然光，由于任何光都可以分解为相互垂直方向上的线偏振光，红色LED灯表示在显示平面垂直自然光的线偏振光，绿色LED灯表示垂直于显示平面的线偏振光，自然光分解为两垂直方向上的偏振过程如图3所示.同理，红、绿两色LED灯不均匀分布时，表示部分偏振光的图示.

图3 自然光偏振过程图

使用黄色LED灯显示合成的线偏振光，其矢端运动轨迹为一斜线，可由相互垂直的x和y轴上的线偏振光合成.x轴上用3个点的运动表现x轴的线偏振光的光矢端的运动，y轴上用3个点的运动表现y轴的线偏振光的光矢端的运动，当x和y轴的光矢端同时运动，在合成的线偏振光上叠加绿色LED灯的运动，用以表示合成线偏振光的光矢端的运动，两传播方向相同偏振方向相互垂直的线偏振光合成过程见图4.

图4 线偏振光合成过程图

LED灯开始亮的位置不同就表示初相位不同，当x轴上从0处开始振动，y轴上也从0处开始振动，则它们的相位差为0，合成的图形为线偏振光；当x轴上从0.5π向右开始振动，y轴上从0开始振动，这时它们的相位差为0.5π，合成的图形为圆偏振光，且此时为右旋圆偏振光；当x轴上从0.5π向左开始振动，y轴上从0开始振动，合成的圆偏振光为左旋圆偏振光；当x和y轴上线偏振光的振幅不同时，如果它们的相位差为0.5π，合成的图形为椭圆偏振光，和圆偏振光一样LED灯的运动也可表现出右旋和左旋椭圆偏振光.两传播方向相同，偏振方向相互垂直，相位差为0.5π的线偏振光合成为椭圆偏振光的光矢端运行轨迹如图5所示，中心方点表示偏振光的方向，椭圆为偏振光的矢端运行轨迹.

图5 椭圆偏振光的光矢端运行轨迹图

5 演示仪的功能分析

利用LED点阵灯制作了简谐振动的合成和光的5种偏振态的智能演示仪，演示仪操作简单，使用方便.

5.1 数据的输入

独立按键作为主控键，分别用于选择简谐振动合成过程、简谐振动合成图、光的5种偏振态的演示；16个矩阵键盘用于具体选择演示内容.界面交互性好，便于使用者操作.

5.2 图形的显示

简谐振动合成过程：可动态地演示频率比分别为1:1，1:2，1:3，2:3，相位差分别为π／4，π／2，3π／4，π的简谐振动的合成过程.

简谐振动合成图：可演示频率比分别为1:1，1:2，1:3，2:3，相位差分别为π／4，π／2，3π／4，π的简谐振动的合成图.

光的5种偏振态图：可演示光的5种偏振态的图示以及偏振光的合成过程，并可动态地演示圆偏振光的左旋和右旋过程.

由主界面设置，选择相应的菜单按键进入不同参量下简谐振动合成结果图形的展示，并可选择展示李萨茹图像.

6 结束语

使用LED灯模拟演示简谐振动的合成和光的5种偏振态，可更形象、生动地显示简谐振动合成和光的5种偏振态.当通过输入控制模块来动态的改变2个分振动的初相差时，可实现合成图形的动态变化.简谐振动、偏振光合成的综合智能演示仪创新性地将物理知识点融于电子产品的设计，实现了物理知识与电子设计的结合，可直观地演示出简谐振动合成和偏振光合成的过程，让初学者更好地理解振动合成和偏振光合成这一方面抽象的物理知识.

感谢北京交通大学理学院大学生创新实验室对本文工作的支持.

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