内圆外正四边形同轴线内TEM波的场结构及其特性阻抗*

王福谦

(长治学院电子信息与物理系，山西长治046011)

为了传输微波功率，人们提出并实现了各种结构形式的传输线(即特种截面同轴传输线)，例如，由圆柱体和正N边形组成的同轴传输线，它可以与普通同轴线实现宽带匹配，用它作定向耦合器比普通同轴线更便于工程设计。由于圆柱和正N边形不属于同一正交坐标系，所以严格求解比较困难。目前文献［1-3］中多报道的是特种截面传输线特性阻抗的计算，而对其内部TEM波的场结构研究还未见涉及。鉴于特种截面传输线TEM波场结构在工程上的重要性，本文拟利用数值保角变换法研究内圆外正四边形同轴传输线内TEM波的分布规律，绘制出其横截面上的场结构图，并给出特性阻抗的计算公式。

1 内圆外正四边形同轴传输线横截面的变换

图1为内圆外正四边形同轴传输线的横截面，其几何结构尺寸如图中所示。在d/b不大时，可通过变换函数式(1)［4］，将z平面上的内圆外正四边形同轴传输线的横截面，变换为w平面上的两同心‘准圆’，图2中实线部分。

图1 变换前的内圆外正四边形同轴传输线的横截面

图2 变换后的内圆外正四边形同轴传输线的横截面

变换后w平面上内‘准圆’的半径为

由图1中的几何尺寸，可得正四边形的内切圆和外接圆的几何平均半径为

故变换后w平面上两同心‘准圆’中外‘准圆’的半径(与图2中圆周为灰色线的圆对应)为

经上述数值保角变换后，z平面上的半径为d/2的圆和内切圆半径为b/2的正四边形，就映射为w平面上半径为r1和平均半径为r2两同心‘准圆’(见图2)。由于在w平面上传输线内导体的横截面的形状近似为两同心圆，其内部电磁场在该截面上的分布近似呈中心对称性，故在w平面上可近似地按圆同轴传输线的情形来讨论TEM波的分布规律，再根据变换关系最终得到内圆外正四边形同轴传输线中TEM波的近似解。

2 TEM波的电场和磁场的分布

内圆外正四边形传输线中的TEM波的求解，可由静态场在相同边界条件下的解得到其电场在此传输线横截面上的分布，乘以波动因子e-jβz得到电场的解，再由麦克斯韦方程得到其磁场的解［5］。

设内圆外正四边形传输线内、外导体之间的电压为V0e-jβz，由于保角变换并不能改变内、外两导体之间的电压，故对静态场而言，变换后的近似同轴传输线(内、外半径近似为r1和r2)内、外两导体间的电压仍为V0。

对同轴传输线，其中的电场分布是径向的［6］，大小与半径成反比。即

式中er为同轴传输线横截面上的径向单位矢，A为与电场幅值有关的常数。

其中

因此，内圆外正四边形同轴线中的TEM波的电场强度为其中|w|为w平面上场点的矢径大小。

式(4)中的雅可比椭圆函数用傅里叶级数表达为［7］2)。对应于将

其中上述表达式及数据代入式(4)，且z=x+iy，有

其中

β为沿传播方向ez上的相位常数，对于TEM模，波数为工作频率)，ex、ey为圆内外正四边形同轴传输线横截面上沿横、纵轴方向的单位矢。

TEM波的电场与磁场由麦克斯韦方程组相互联系，满足如下规律［5］

由式(6)、式(8)，得

式(6)、式(9)为内圆外正四边形同轴传输线中为TEM的波近似表达式。利用式(6)、式(9)还可求得该传输线的传输功率［8］。

图3为利用数学软件MATLAB所绘制出的内圆外正四边形传输线横截面上的TEM波的场结构图。从该图可以看出，传输线内导体表面附近以外的电场在此传输线横截面上的分布呈现出中心对称，作出的图与预期结果(电场线与磁感线垂直)基本相符，将雅可比椭圆函数展开式中所取的项数再多些，边界处的场分布符合得会更好些。其中d=2 cm、b=4 cm。

图3 内圆外正四边形传输线横截面上TEM波的场结构图图

3 特性阻抗

传输线的特性阻抗Z0与单位长度电容C0的关系为［9］

式中ε和μ为传输线内填充介质的介电常数和磁导率。

经变换式(1)、式(2)和式(3)，内圆外正四边形同轴线的横截面已映射为半径分别为r1和r2两近似同心圆，由于映射前后传输线单位长度的电容量保持不变，这样就可由内、外半径分别为r1和r2同轴传输线的电容值，方便地求出此传输线的特性阻抗的近似值。需要说明的是，由于电荷的角效应，外导体内棱角处电荷密度小，而每边中点处的电荷密度大。对变换后的图2而言，内圆柱导体与无电荷角效应的外切圆弧之间的电容，要比其与内切圆弧之间的电容要小。所以，对于用内切圆和外切圆

将r1、r2的数值代入上式，得内圆外正四边形同轴传输线单位长度的电容量为的边界尺寸取几何平均来“逼近”变换后的多边形外导体边界，由于交替出现了电容增大和电容减小的情况，故对计算总平均电容来说，电荷角效应的影响很小。因此，用本文下面将给出的方法计算出的电容值，可作为内圆外正四边形同轴传输线电容的近似值，其精确度较高。

圆同轴传输线单位长C0度的电容为

则内圆外正四边形同轴传输线的特性阻抗为

当传输线内为真空或空气时，上式中的电磁参量分别取 ε0和 μ0。

式(13)即为内圆外正四边形同轴传输线的特性阻抗的近似计算公式。

4 结束语

本文采用数值保角变换法对内圆外正四边形同轴传输线进行了研究，给出了该传输线内TEM波的近似解析解，这种方法物理意义明确、计算简单，所得结论可用于计算该传输线的传输功率、计算其衰减常数及设计有关的有源器件等。再者，由于新的敏感材料的出现和生物医学工程的发展，也需要研究各种传输线所产生的电磁场，所以，本文所得结论具有一定的和理论价值和实际意义。

［1］曾令儒.特种截面传输线特性阻抗计算的一种方法［J］.物理学报，1982，31(6):709-721.

［2］马西奎.偏心特种截面传输线特性阻抗的分析计算［J］.电子科学学刊，1989，11(6):590-599.

［3］佘显烨，方汉平.结合保角变换的优化模拟镜像法解多种截面形状同轴线的特性阻抗［J］.电子科学学刊，1995，17(3):283-290.

［4］万长华，任伟，林为干.几种传输线的场分布［J］.电子科学大学学报，1992，21(3):265-271.

［5］沈熙宁.电磁场与电磁波［M］.北京:科学出版社，2006:375-381.

［6］路宏敏，赵永久，朱满座.电磁场与电磁波基础［M］北京:科学出版社，2006:322-325.

［7］王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论［M］北京:北京大学出版社，2000:556-559.

［8］沈熙宁.电磁场与电磁波［M］北京:科学出版社，2006:385-386.

［9］朱满座.数值保角变换及其在电磁理论中的应用.［DB/OL］.(2008-12-01):http//www.cnki.net/kcms/detail/detail/aspx.100-117.