浅谈数学解题中的“凑”

李学春

(广东省海洋工程职业技术学校，广东 广州 510320)

在学习数学过程中，解题是一项基本功。一般来说，对于有现成公式可套的数学题，问题就会迎刃而解;而对于无现成公式可套的数学题，往往显得束手无策。其实学习数学，就是把未知的问题转化为已知的问题，即把新知识向旧有知识转化，从而利用已学过的知识来解决新问题。因此，解数学题对没有现成公式可套的题，需要设法转化为可以套公式解决的题。这种转化，很大程度上可以概括为数学上的“凑”。不断掌握凑的方法;提高凑的能力，是提高数学解题能力的一个途径。现试举几例加以说明。

(1)凑对数:解对数题，就是设法将对数中的真数，凑成以对数的底数为底的指数形式，或将指数的底数凑成对数的底数。

(2)因式分解中的凑:在因式分解中，将多项式经过恒等变换“凑”成平方差、完全平方、立方差、完全立方等，有助于问题的解决。这样的问题在解方程时也会遇到。

解:方程中根式较多，直接平方有困难，可先分解，原方程可写成

(3)凑自变量的函数。

(4)在微积分学中利用两个特殊极限计算函数极限时，可以把它们凑成两个重要极限的形式。

(5)在计算极限时，有时需要利用定积分的定义来求，这时就要求将它凑成一个和式的极限。

(6)在不定积分的计算中，存在大量的需要“凑”的问题，这在积分学中叫做第一换元积分法，也称为“凑微分法”。

(7)在求解微分方程过程中，一些微分方程的求解实质就是找出积分因子，设法“凑”成全微分方程。

例7:解微分方程:(y+x4)dx－xdy=0

(8)在计算曲线积分和曲面积分时，为了应用格林公式、斯托克斯公式和高斯公式，经常需要凑上一条线或一个面，使之成为闭曲线积分或闭曲面积分。

C 为由点(a，0)到点(0，0)的上半圆周，x2+y2= ax，y≥0 。如图

解:由于积分曲线C 并非闭曲线，所以不能直接用格林公式。为了利用格林公式，可加直线段凑成封闭曲线AMOA，这样所求积分

其中曲面S 为圆锥面x2+y2= (z－1)2(0 ≤x ≤1)的外侧面。

解:曲面S 是圆锥面的外侧面而不是圆锥体的外表面，所以S 是非封闭曲面，加辅助平面S1

S1:x2+y2≤1，z = 0，这样S+S1凑成封闭曲面，可利用高斯公式。

(9)在概率论中，也会遇到许多“凑”的问题，如在求随机变量的函数的期望时，我们总是设法将广义积分“凑”成已知的概率积分形式。

综上9 个方面，10 个例题，可以说明“凑”在数学中是被大量采用的，许多数学上的难题都是经过“凑”以后才解决的。学会凑的本领，提高凑的能力，是提高数学解题能力的一个重要途径。