“柯西不等式与排序不等式”教学建议与思考

☉甘肃省天水市第一中学 宫前长

“柯西不等式与排序不等式”教学建议与思考

☉甘肃省天水市第一中学 宫前长

不等式是高中数学教学的主要内容，柯西不等式与排序不等式是新课标中的新增内容，是不等式内容的一个重要部分，是一种基本不等式形式，有着结构简洁、形式精练和简单易记的独特外形及广泛的使用范围.数学学科教学的特征就是强调整体性和联系性，即从整体上把握不等式，联系相关的数学知识做好每一章节、每一节课的内容分配、清楚其地位和作用，尤其对重点、难点的恰当定位，才能有效地突出重点、突破难点，提升教学效果.

一、教材解读

柯西不等式和排序不等式是数学课程标准正式引入到高中数学教学中.综观教材编排发现“探究—猜想—检验—证明”的整体设计思路，反映了研究数学问题时使用的基本方法和通常的研究过程.整体性和联系性是新课标教材模块学习和专题结构学习的需要，也是学生系统认知、掌握不等式的需要，更是体现不等式的建模思想和算法思想渗透、形成的过程.

1.简析教材特征，凸显思想方法

柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.二维柯西不等式涉及三个定理及其证明，介绍了简单应用；按照从特殊到一般的认识方式，讨论了三维柯西不等式，进而讨论一般形式的柯西不等式并用三道例题介绍其简单应用.简单介绍排序不等式，抓住“序”字处理其简单问题的应用.

剖析教材做到：凸显数学思想方法就是抓住构建“基础知识网络”的核心；对数学知识的认知、认识深层次解读就是数学概念的“思想”灵魂，表现在架设从数学技能到数学能力的“数学素养”桥梁；数学解题的具体实施就是把握了“数学核心方法”处理一类问题的操作方法.

教材编写的重点要突出类比推理，从特殊到一般的推理，强化讨论的方法.让学生亲历发现的过程，增强认识上的直观性，渗透“数”“形”结合的思想方法.教材编写专家使用精练语言，多处设置“探究”栏目，其中蕴含了许多数学理念和思想方法，以激起学生自主学习、合作探究，钻研经典不等式.归纳总结教材涉及了“四、三、三、二”：

“四”个类比的过程：①从“a2+b2≥2ab”的推导过程依“作差、完全平方”类比得到“（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2”的推导过程；②从“（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2”依“公式的结构的维数形式”类比递推到“（a2+b2+c2）（b2+c2+a2）≥（ab+bc+ca）2”和“（a2b2+…+anbn）2”；③从“平面向量证明”二维柯西不等式依“向量法的证明”类比到“空间向量证明”三维柯西不等式；④从“二维三角不等式”依“公式结构的维数形式”类比到“三维三角不等式”和“n维三角不等式”.

“三”个从特殊到一般的推理过程：①柯西不等式的代数形式的“维数”从“二维”到“三维”和“n维”；②柯西不等式的三角形式的“维数”从“二维”到“三维”和“n维”；③排序不等式的“维数”从“三维”到“n维”.

“三”种数学思想方法：①柯西不等式的证明方法涉及向量法；②证明柯西不等式时体现了配方法；③柯西不等式的三角形式采用图形说明、排序不等式引用一个角的两边（射线）上的“有序点”直观形象处理，加强了数形结合思想.

“两”个重要的经典不等式：柯西不等式和排序不等式.这两个重要经典不等式具有形式优美、结构简单、应用方便、解题作用重要的特点.

教材必修5和选修4-5的编写，强调了解决不等式问题的通性通法，通过典型例题、习题的解法凸显出蕴藏着的比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，让学生在解题时有所体会并能初步加以应用.

2.读懂教材编排，拓展学生思维

教材选修4-5主体编排和编写从不同的视角揭示不等式的背景：不等式和不等式组刻画着平面的某些“区域”、图形的变化揭示重要不等式的几何特征、不等式证明的目标盯着“逻辑思维能力”等，利用典型的不等式证明例题凸显不等式证明方法的特征，学生通过学习不等式会有新的感想和启示.

本单元的编写意图不仅仅介绍两个经典不等式及其证明方法，更重要的是通过运用经典不等式，提升学生运用数学结论的推理论证能力.即在理解经典不等式的基础上，发现有关不等式的数学问题与经典不等式之间的内在联系，善于应用这种联系来解决问题，更要关注学生在学习经典不等式时掌握认识事物规律的方法、思维空间的拓展及思维能力的提升.

不等式在高中数学的必修与选修教材编写中，有意在教材编写时编排了一个“观察”、一个“阅读与思考”、三个“思考”和七个“探究”等栏目设置问题，给学生课堂进行探究性学习提供了广阔的平台，涉及了一些新的知识，有利于学生的兴趣培养、钻研精神的培养，提升学生的阅读能力和探究方向，让学生从数、形两个视角加深对经典不等式的理解，也为教师因材施教配置更多的资源.如“观察”栏目的安排，就是让学生在平面直角系，依据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何视角发现二维形式的三角不等式，再进一步地采用代数方法证明，体会二维柯西不等式的应用.因此一旦学生选定“不等式选讲”作为选修课程，教师就要通过简单不等式问题引导学生主动学习，积极探究，提升学生的思维能力.

3.仔细推敲教材，感悟思想方法

认真阅读教材，解读教材编写脉络，理清“一.2”中的“四、三、三、二”和本单元全部内容（包含习题、观察和思考栏目，以及旁白内容），深挖例（习）题功能，确立和把握教学设计思想，读懂教材这样编写的意图以及对教学的指导意义，弄清新课程中已删去的内容、清楚新课程中已降低难度的不等式内容、明白哪些不等式内容是新课程重视和加强的内容、哪些不等式内容是新课程关注的新增内容，才能更好地对例题、习题进行变式拓展（控制难度），才能感悟专题中所含的丰富数学思想方法，应用经典不等式解决具体问题时体现了优化思想，在两个经典不等式的呈现过程中凸显了数形结合思想、向量思想，在证明柯西不等式时体现了配方法等，对于这些数学思想方法，在学习时一定要归纳、总结，通过数学题的解答来加深理解和体会.

对教材中的观察”、“阅读与思考”、“思考”和“探究”等栏目作深层次地解读，弄清这些栏目设计的目的、意图和作用，进一步组织和设计数学问题提升课堂教学效益，让学生亲身经历数学学习活动，主动思维、从特殊到一般、从简单到复杂、从具体到抽象的数学活动中增强数学素养，加深对数学概念的理解和掌握，彰显教材的每一块地方所蕴含的数学思想方法.

二、教学目标、重点与难点

提高课堂效益，帮助学生获得数学知识和提升学习能力，需要从每一节课做起.教学时引导学生从整体上认识章节内容，把握教材的编写意图，培养由特殊到一般规律并进而证明一般规律的能力.教学中一定要狠抓“教材之脉络”、紧扣“章节之主干”和把握“核心方法”，才能在教与学中注重概念发生、衍变过程，抓住“核心概念”，使得各概念融为一个整体，整体性和联系性就会凸显出来，达到数学知识、思想方法的学习融会贯通.

1.教学目标、重点与难点

“柯西不等式与排序不等式”单元新课标教学目标定位：了解柯西不等式的三种不同形式，理解这些不等式的几何意义，并会证明.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况，会用向量递归方法讨论排序不等式，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.根据教材和学情制定本单元的数学学习目标：

（1）通过平方数a2≥0，引导学生亲历类比（ac-bd）2≥0来推导二维柯西不等式，感悟a2≥0在不等式证明中的作用；再一次亲历采用向量的数量积推导柯西不等式，体会向量法在不等式证明的作用；从二次函数的视角推导柯西不等式的一般形式，进一步凸显了二次函数性质的重要意义.

（2）学会类比推理的思维方法，体会类比思想，能够演化柯西不等式从二维推广到一般形式，掌握柯西不等式的三种不同形式，理解其几何意义，深化理解数学的特殊性与一般性的关系.

（3）知道排序不等式的推导过程和推导方法，掌握和理解排序不等式及其简单的应用.

单元重点：

（1）二维、三维柯西不等式的推导过程及其简单应用，用向量递推法讨论排序不等式.

（2）运用两个经典不等式解决经典问题，体会运用经典不等式的通性通法，即观察、思考不等式问题与经典不等式联系，再依据经典不等式解决不等式问题.

单元难点：柯西不等式的应用，排序不等式的推导过程及简单的应用.

2.突破重点，分散难点

不等式的重点剖析：认识柯西不等式的几种形式，理解运用几何意义、用向量递归方法讨论排序不等式、通过运用这两个经典不等式解决一些简单问题、体会运用经典不等式的一般方法（寻找具体问题与经典不等式之间的联系性，经过适当的变“形”，用经典不等式结论解决具体问题中的不等关系的系列方法），形成对不等式运用经典不等式解题的整体认识和围绕核心内容（柯西、排序不等式）的内在联系进行深层次地理解.

不等式的难点剖析：抓住一般形式的柯西不等式和排序不等式的证明思路，掌握运用两个经典不等式来证明不等式的方法处理策略和变形策略.注意把握问题的难度，重点放在两个经典不等式的基本的、经典的应用，有意强调解决不等式问题的通性通法，明确提出不要过分追求不等式求解、证明中的技巧.

3.重视引导教与学方式的改进

教学时要重视引导学生学习方式和教学方式的改进，积极鼓励学生主动探究，引导学生通过类比提出问题、寻找解决问题的策略和方法，对于两个经典不等式结论进行特殊化、再作进一步的推广：对比二维形式、三维形式的柯西不等式，鼓励学生猜一猜一般的n维形式的柯西不等式，如何应用一般的n维形式的柯西不等式证明一般的n维形式的三角不等式？只有通过自己探究，才能深深体会数学思想方法的灵活性.

学习经典不等式（柯西、排序）时要帮助学生认清结构特征，到达便于记忆，弄清本质.对柯西不等式要弄清对应项“相乘”、“求和”和“平方”的顺序特征：先自身“平方”、再“求和”、后“相乘”，结果不小于“配对积的和的平方”；对于排序不等式也要弄清“顺序和”、“乱序和”和“反序和”的顺序特征.其中的结构特征表征：如“对应配对”“妙凑系数”“因式配置”“数据大小”等充满着数学机智.

在教学中，不仅要通过不等式的数学背景，而且要从本质上帮助学生掌握重要的、经典的不等式，切忌形式记忆和生搬硬套，更要做到：把握教学要求、重视思想方法和重视学生学习方式和教学方式的改进.同时也要强调学习过程和解题过程、强化数形结合、形成模型意识、关注经典不等式解题运用，更要注意：不随意拓展和延伸；不随意加深难度；不过于追求技巧性；抓住重点、难点.

三、备考建议

选修4-5内容属于指定选考部分，对学生来说，依据自己的能力和特长做出选择.虽然柯西不等式、排序不等式在高考中属于删除部分，但这部分内容确实能开阔学生的不等式视野和提升对不等式的理解、认识，只要能够系统地学习不等式（含选修4-5），整体把握不等式的知识结构特征和相互（包含知识点、方法等）联系，就会对不等式有了整体认识和方法的系统联系.高考考试说明上有“会用不等式证明一些简单问题”，给各位教师提供了很大的空间，也给命题的形式提供了多样性的呈现机会.怎么考？只有在高考试题中，从不同的视角寻找答案.如2013年的全国新课标卷Ⅱ的不等式选讲选考题采用柯西不等式或排序不等式证明起来很简单，足以说明不等式教学一定要把握：整体性和联系性，在不等式学习时尽量系统学习.

“柯西不等式与排序不等式”虽然不属于高考范畴（部分省市高考考试说明明确删除对此部分的考查），但在平时教学时狠抓教材中“柯西、排序不等式的脉络”，弄清“柯西不等式与排序不等式的类比和推理主干部分”和重点把握“不等式证明、求解的重要方法”，深刻体会教材编写不等式的意图和新课标对不等式的要求，形成不等式知识体系，强化凸显不等式的整体性和联系性，学生自然能够领略柯西不等式、排序不等式的“奇异”作用，有利于高考时不等式问题求解和证明.

四、教学思考与建议

柯西不等式与排序不等式是数学的重要工具，是本单元学习的重要知识.结合教材内容编排、高考考试说明和高考试题来综合思考.

1.高考考试说明，为何删除

高考考试说明中将“柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式及贝努利不等式”等内容删除，其原因一方面是使用这些不等式时涉及的技巧性强，另一方面能够用柯西不等式解决的最值问题也可以用均值不等式来解决.考试说明中删除这部分内容既降低了解题难度，又减轻了学生高考复习负担，同时进一步强化了基本不等式“重要”，需要在应用过程中深层理解基本不等式解题和证明作用.由于选修4-5“不等式选讲”是指定“三选一”的选考之一，自然是对选定的学生来说，需要加强和提升复习不等式的整体性和联系性，注意解决数学问题难度和不等式涉及的范围.

2.高考试题出现，导向何方

3.选修选定之后，如何教学

选修4-5“不等式选讲”一旦选定，其高考题就会与必考（必修五）中的不等式考查融合命制，其表征是明显的，意图也是清晰的.教学时，准确把握教学要求，二维、三维柯西不等式的推导和应用是重点解决的，还要让学生熟悉柯西不等式的同维三种质同形异表示形式，亲历柯西不等式从不同角度的解释，体会数学知识的产生、发展的认识规律：从特殊到一般.

例题教学时，强调两个经典不等式的结构特征、关键（柯西不等式涉及指数“2”，排序不等式涉及大小“序”）和注意事项（柯西不等式涉及多项式乘积与不等号，排序不等式涉及顺序和、反序和及乱序和）.柯西不等式与排序不等式又是不等式放缩的一种方式方法，对于学有余力的学生适当提高要求（补充课外题，能够用两个经典不等式证明），提升学生的理解能力和欣赏水平.

重视著名不等式的应用和背景：二维或三维柯西不等式（包含二维或三维均值不等式）应用求最值问题.明确提出对超过三维的均值不等式、柯西不等式；排序不等式和贝努利不等式的应用不作要求.只要了解几个著名不等式（柯西、排序）的数学意义和几何背景，力求直观理解几个著名不等式的数学本质.总之，要抓住教学重点，抓住基本思想基本方法的教学，力求以简驭繁.

重视为优等生提供发展平台：部分学生对经典不等式（柯西、排序）掌握的比较好时，对这些学生及时提供一些通过探究能够弄懂的例题（能够用柯西不等式和排序不等式可以解决的中档问题）拓展思维，或查阅资料、独立思考，进一步探讨不等式的应用，帮助学生搭建能力发展的平台.

认真研究课程标准、弄清教材内容、依学情定位教学目标（包含重点、难点和关键点），制高点上抓知识重点的深度、强调核心概念的理解和深化、揭示新课标关注的重要内容和思想方法，让教、学方法由“教”到“悟”自然过渡，概括数学本质、总结方法、提炼思想，彰显教学“艺术”魅力，充分体现新课程理念.只有读懂、读透、读精教材，着眼于学科整体性和联系性的高度俯瞰全局，才能对教材“深入”“浅出”，准确把握教材，更好地“用教材”教学，真正让教学从有效到达高效.