贴近课堂主线，促进学生发现——“勾股定理（第1课时）”学程设计与反思

☉江苏省连云港外国语学校 胡晓伟

贴近课堂主线，促进学生发现
——“勾股定理（第1课时）”学程设计与反思

☉江苏省连云港外国语学校 胡晓伟

勾股定理是数形结合的典范，完美地将三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系；是直角三角形特有的性质；是初中数学教学内容重点之一.

一、“勾股定理（第1课时）”学程设计

1.教学目标

（1）知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.

（2）数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.

（3）解决问题：通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维；获得勾股定理后能解决简单的“已知直角三角形两边求第三边”问题.

（4）情感态度：通过对勾股定理的了解，感受数学文化，激发学习热情；在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识与探索精神.

2.教学重点

探索和证明勾股定理.

3.教学难点

用拼图的方法探索勾股定理的证明.

4.学程设计

（1）故事引入，引发思考.

相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来.原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的（如图1），黑白相间，非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系.

图1

你知道他发现的三个正方形之间存在着怎样的关系吗？

设计说明：教师给出一个历史小故事，设置悬念，引发学生思考，点燃学生的求知欲，以景激情，以情激思，为本节课的课堂教学和评价做好充分铺垫.

（2）自主探索，合作交流.

探究活动一：数一数.

在图2~4所示的正方形网格中，请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子，完成表格，探究规律.

正方形A的面积（单位面积）正方形B的面积（单位面积）正方形C的面积（单位面积）观察、探究图2观察、探究图3观察、探究图4正方形A、B、C 的 面积的关系直角三角形三边的数量关系得出结论：等腰直角三角形的三边满足a2＋b2=c2的数量关系.

设计说明：语言激励评价-师生评价.通过小组内的合作交流，搭建本节课小组竞争的平台.小组之间的比赛开始了！鼓励学生合作、竞争，积极参与到课堂评价的活动中.鼓励学生重点讲出正方形C的面积的求解方法，挖掘小组学习过程中涌现的“导学小老师”.

探究活动二：议一议.

在图5～6所示的正方形网格中，你还能数出图中正方形A、B、C各占多少个小格子吗？完成表格，探究规律.

正方形A的面积（单位面积）正方形B的面积（单位面积）正方形C的面积（单位面积）得出结论：等腰直角三角形的三边满足a2＋b2=c2的数量关系.观察、探究图5观察、探究图6正方形A、B、C 的 面积的关系直角三角形三边的数量关系

设计说明：小组内评价、分层评价、奖励评价－师生评价、生生评价.鼓励学生重点讲出正方形C的面积的求解方法，鼓励学生的多种思路和多种解法，自然地强调重点、突破难点，渗透割补思想，重点培养“导学小老师”.

（3）归纳结论，探究证明.

探究证明：拼图游戏——我们一起来验证！

已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.求证：a2+b2=c2.

预设：（老师发给每个同学提前准备好的两组三角形学具）你能分别用这两组图片（如图7），拼出两个既无缝隙又不重叠的正方形吗？

图7

学生活动（有趣地拼图）.

设计说明：通过使用直角三角形模具完成拼图过程，让学生体会应用图形“割补拼接”面积不变的特点来验证直角三角形三边数量关系的猜想，培养学生由数到形再由形到数的数学思想以及转化的能力.在实验拼图探究的过程中发展学生的空间想象力和合情推理能力.

老师让学生把作品展示在黑板上，并让最快的小组来谈谈当时是如何考虑拼接的，然后引导学生通过拼好的图形来发现勾股定理.

学生活动(展示作品，谈拼接理由，并在老师的引导下，自主探索、合作交流、师生互动获得勾股定理证明的推导过程).

证法1：将四个全等的直角三角形围成如图8所示的正方形.

图8

证法2：将四个全等的直角三角形围成如图9所示的正方形.

图9

归纳总结：上面得到直角三角形三边之间的数量关系，并学会用数学符号表示这种关系.

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号语言：如图10，在Rt△ABC中，∠C=90°，有a2+b2=c2.

图10

我国是最早发现勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载：公元前1100年人们已经知道“勾广三，股修四，径隅五”，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，将此定理命名为勾股定理.

设计说明：通过归纳，培养学生的数学语言和符号语言的表达能力，感受勾股定理的作用.

（4）实践应用一：应用定理.

①在△ABC中，∠C=90°.若a=6，b=8，则c=______.

②在△ABC中，∠C=90°.若c=13，b=12，则a=_____.

③若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ）.

A.25 B.14 C.7 D.7或25

设计说明：小组内评价、分层评价、奖励评价－师生评价、生生评价.语言激励评价－师生评价.开展小组竞技.

（5）实践应用二：探索情境.

①如图11，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处.大树在折断之前高多少？

图11

②如图12，有一个长方形盒子，长、宽、高分别为4厘米、3厘米、12厘米，一根长为13厘米的木棒能否放入？为什么？

设计说明：分层评价、师生评价、生生评价.

（6）回顾反思，提炼精华.

①你这节课的主要收获是什么？

②该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？

③在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？

④你最有兴趣的是什么？你有没有感到困难的地方？设计说明：引导学生反思，完整认知，让知识建构完整化.

（7）布置作业，课后延伸.（略）

图12

二、三点反思

1.定位于“学程设计”

学程设计不同于教学设计，不仅是教案，指向学生，包括三个方面：一是学习内容（学什么），二是学习过程（怎么学），三是学习标准（学到什么程度），就是以过程为核心，以内容为载体，以目标为导向.学程预设时就是把学生获取知识和能力的过程预设出来，教师要站在学生的角度研究琢磨学生学习知识的路径（学路）、方法和规律.可以发现，本课时在情境引入、发现性质、定理证明、简单应用、反思提升等环节，都精心预设了学情，让师生在学习时有一个很好的抓手，围绕“核心主线”［1］有序展开，渐入佳境.

2.基于“再创造”发现式的理念

本课时以弗赖登塔尔“再创造”［2］发现式理念为指导，鼓励学生经历合情推理、归纳推理、演绎推理，“发现”勾股定理，并进行十分简单的应用（稍难的应用将在后续课时完成），重在激发兴趣，让学生感悟数形结合思想、积累基本活动经验等“四基”特色.特别地，由于勾股定理的证法十分多，课堂上的时间有限，因此课堂上教者的驾驭将发挥极大的作用，因为弗氏倡导的“再创造”、“发现式”教学并不是“原生态”的“复古”数学家们当初的努力，而是在教师的引导下、参与下、帮助下完成的.

3.融入HPM的一次努力

由于勾股定理的史料十分丰富，本课是践行HPM（数学史与数学教学关注的研究领域，具体可参见文3）最佳教学内容.从上面的学程设计可以发现，情境引入、定理发现与证明等环节都体现了数学史内容.事实上，很多同行在教学勾股定理时，都会追求数学史融入的教学设计，这也说明教师们都十分重视数学史在勾股定理教学中的体现.需要指出的是，实际授课时，我们提倡的是数学史与所授知识的融入式“无缝对接”，而不能仅仅满足于那种无厘头的嵌入式讲解数学史.

1.李善良.理清核心主线，优化教学过程［J］.中学数学月刊，2011（10）.

2.汉斯·弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.

3.汪晓勤.HPM研究的内容与方法［J］.数学教育学报，2006（1）.