基于压缩感知的圆阵自适应数字波束形成算法

王 建 盛卫星 韩玉兵 马晓峰

（南京理工大学电子工程与光电技术学院，江苏 南京210094）

引 言

阵列天线的口径越大，波束越窄，增益越高，但所需的阵元数也越多，设备量也越大.大型阵列，特别是数字波束形成天线或固态有源相控阵天线，每个天线单元都有一个对应的T／R组件，因而阵列的阵面造价十分昂贵，是雷达耗资的主要部分.稀布阵技术可以以较少的阵列单元构造高方向性天线阵，降低制造成本，可以简化大规模天线阵的馈电网络复杂度，因此，稀布阵在大型阵列的设计中得到了较广泛的应用.但是阵列的周期性变稀会使方向图出现非常高的旁瓣或者栅瓣，为了获得尽量低的旁瓣电平，为了消除栅瓣，人们进行了大量的研究.

经过五十几年的研究，人们提出了很多有效的降低稀布阵旁瓣的方法，最常见的有：遗传算法［1］、粒子群算法［2］、蚁群算法［3］和模拟退火算法［4］等.这类算法虽然方法简单，但是随着阵列的增大，计算量会明显增大.文献［5］采用普通阵列与稀布阵相结合的方法，来降低波束旁瓣，该方法实现简单，但是减少的阵元数有限.最近，有作者提出通过凸优化的方法［6-7］来选择合成期望方向图所需的最少阵元数及其位置.文献［8-9］是一种基于贝叶斯压缩感知（Compressed Sensing，CS）算法的稀布阵方法.但是这些算法都是只针对静态方向图进行优化布阵，当波束扫描或者进行自适应干扰抑制时，很难保证波束的性能.

2004年，由Donoho与Candés等人提出的CS理论［10-11］是一个充分利用信号稀疏性或可压缩性的全新信号采集、编解码理论.该理论指出，只要信号是稀疏的或可压缩的（即在某个变换域上是稀疏的），就可以用一个与变换基不相关的采样矩阵将变换所得的高维信号投影到一个低维空间上，通过求解一个优化问题，从这些少量的投影中以高概率重构出原信号.CS理论突破了传统的奈奎斯特采样定理的束缚，实现了对未知信号的边感知边压缩.在一定条件下，只需采样远小于奈奎斯特采样定理所要求的数据，就可以通过重构算法精确地恢复出原信号.由于采样数据少，恢复数据精确，该技术已被广泛应用于数据采集、医学成像、雷达［12-14］和通信等领域.

通过对CS理论以及数字波束形成（Digital Beam Forming，DBF）技术的研究，提出了一种双基地系统的圆形DBF接收面阵下的基于CS的自适应数字波束形成算法.该方法适用于DBF接收阵的应用场合.由于发射能量的空间合成和发射方向图等原因，该方法尚不能适用于发射波束形成.该方法减少的阵元数远远大于其他方法减少的阵元数，而且所形成的波束性能与满阵时候波束性能几乎相同，具有波束旁瓣低、指向误差小、干扰方向零陷深，而且没有栅瓣等优点.该文提出的基于CS的数字波束形成算法利用目标在空域的稀疏性，根据CS理论，用压缩采样矩阵对空域稀疏信号进行压缩采样，用正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）［15］重构出满阵时的通道数据，最后，用重构的数据计算阵列的自适应权系数，形成需要的波束图.该波束在将主瓣对准期望信号方向的同时，在干扰信号方向形成零陷，从而有效地抑制干扰.

1 算法原理

1.1 信号模型

现在考虑一个阵列半径为R的圆形的天线面阵，满阵时阵元分布如图1所示，阵元按等边三角形均匀分布在圆形阵面内，相邻阵元之间的距离为λ／2（λ为雷达的工作波长）.为了方便计算，现将圆阵按一定顺序拉成一个线阵，即将所有阵元（N个）按从左到右从上到下的顺序依次排列并编号，记第i个阵元的坐标为（xi，yi）.

图1 满阵及稀布阵时阵元位置分布

现有K个远场回波信号入射到天线阵面上，其复幅度为sk（t），入射方向用uv坐标表示为（uk，vk）＝［sin（θk）cos（φk），sin（θk）sin（φk）］，k＝1，2，…，K，其中（θk，φk）分别为俯仰角与方位角，为了书写方便，记ωij＝（ui，vj）.假设K个回波信号中有一个为期望信号，其余K-1个为干扰信号.阵列天线各阵元的接收信号用一个N维的向量X（t）表示，X（t）＝［x1（t），x2（t），…，xN（t）］T.先 不 考 虑 接 收 机 噪声，则有

式中，α（ωkk）为阵列在ωkk＝（uk，vk）（k＝1，2，…，K）方向的方向性矢量

对uv方向分别进行Γ等分，将整个空域Γ2等分，得到ωij＝（ui，vj），其中i，j＝1，2，…，Γ，用这Γ2个方向性矢量构建变换矩阵H

式中，hi＝［α（ωi1），α（ωi2）…，α（ωiΓ）］.

将阵列接收信号向量X（t）写成用变换矩阵H表示的矩阵形式，有

式中，S（t）为阵元接收信号向量X（t）在变换矩阵H上的投影系数向量.不失一般性，ωkk（k＝1，2，…，K）为ωij＝（ui，vj）（i，j＝1，2，…，Γ）中之一.则投影系数向量S（t）有类似于S（t）＝［0，0，…，s1（t），0，…，0，…，sK（t），0，…，0］的形式.即向量S（t）中只有少数几个元素是非零的，其余均为零元素，也即S（t）是稀疏的.因此，根据CS理论，阵列接收信号向量X（t）可以在压缩采样之后通过重构算法精确恢复出来.

考虑接收机噪声时，式（4）所表示的阵列接收信号向量X（t）可改写成

式中，V（t）＝［v1（t），v2（t），…，vN（t）］T为由各个阵元通道的高斯白噪声组成的向量.

1.2 压缩采样与重构

压缩采样不是直接测量X（t），而是设计一个与变换矩阵H不相关的M×N（M≪N）维采样矩阵Φ，测量X（t）在Φ上的投影向量Y（t），即

式（6）中采样矩阵Φ表示天线对空域信号的压缩采样方式，这里选择行随机抽取矩阵，可由N×N的单位阵随机抽取M行得到，也即在原阵列的N个阵元中随机选取M个阵元进行空间采样即可.

式（6）中的矩阵P＝ΦH是一个M×Γ2的矩阵，称为观测矩阵.理论研究表明［11，16］，当观测矩阵P满足限制等容性（Restricted Isometry Property，RIP）条件时，便可通过求解投影系数向量S（t），由压缩采样向量Y（t）精确地重构满阵时的阵元接收信号向量X（t）.因此，在压缩采样中，采样矩阵Φ的设计非常重要.目前，用得比较多的采样矩阵有［17］：Hadamard矩阵、高斯随机矩阵、稀疏随机矩阵和部分傅里叶矩阵等，这里P＝ΦH满足RIP条件.

从满阵的N个阵元中随机抽取M个阵元作为压缩采样阵元.抽取的方法如下：先产生N个在［0，1］区间内均匀分布的随机数，按照产生的先后次序记下这N个随机数的序号，再将N个随机数按从小到大的次序排列，取其中前M个随机数所对应的原来的序号作为计划抽取的压缩采样阵元的序号.

将M个压缩采样阵元的输出（压缩采样向量）用向量Y（t）＝［y1（t），y2（t），…，yM（t）］T表示.

取回波信号在时域的L次快拍，将压缩采样值Y（t）写成一个M×L维的矩阵，满阵接收信号向量X（t）写成一个N×L维的矩阵，将式（6）改写成多次快拍的形式得

得到M个阵元的压缩采样值YM×L后，采用OMP算法［15，18］估计投影系数向量SΓ2×L，然后根据式（8）重构满阵接收信号向量XN×L为

1.3 自适应数字波束形成

整个阵列的回波数据用CS方法重构得到之后，用得到的数据计算自适应权系数，形成自适应数字波束，将天线主瓣对准期望信号方向，在干扰的来波方向形成天线波束的零陷，从而在探测目标的同时抑制干扰.这里采用的自适应数字波束形成算法为基于迭代的线性约束的最小方差估计（Linearly Constrained Minimum Variance，LCMV）算法.

LCMV算法是通过求解如下的线性约束方程，使阵列输出功率最小，从而求得最佳权系数w［19］为

这里只约束了期望信号方向，式（9）中y（t）＝wHx（t）是DBF处理之后的输出信号，R是阵列输出信号的协方差矩阵，α（ωs）是期望方向的方向性矢量，w是权矢量.求解式（9）可得最佳权系数为

式（10）中的最佳权重系数可以通过下边的迭代公式计算［20］

式中：μ是迭代步长；k是迭代次数；A＝I-α（ωs）［αH（ωs）α（ωs）］-1αH（ωs）；F＝α（ωs）［αH（ωs）α（ωs）］-1.

在用式（8）重构得到满阵接收信号向量X（t）之后，代人式（11）就可以通过迭代方式自适应计算阵列权重系数向量.当满足‖｜w（k＋1）‖-‖w（k）‖｜＜ε时（ε是一个预先设定的误差系数），迭代结束，就可以得到LCMV准则下的最佳权重系数.

2 实验仿真结果

2.1 不同压缩比下的算法性能比较

CS理论指出，在一定条件下只需采样少量的数据就可以恢复原始信号，但不同的压缩比对信号恢复效果不同，下面给出不同压缩比下的信号恢复情况的分析结果.

取圆阵半径R＝6λ，阵元按1.1节所说的方式排列，该圆阵满阵时共有N＝1 051个阵元，面阵口径D＝12λ，则该圆阵的uv分辨率约为0.08，所以取Γ＝25，将uv分别25等分，从而将整个空域625等分.按照1.2节的方法从这N个阵元中随机选取100、200、500、1 000个阵元，分别比较一个目标两个干扰在不同信噪比RSN下信号恢复情况，取RSN＝-10～40dB，信干比RSI＝-30dB，单个快拍依次恢复数据.

图2为不同压缩比下信号恢复误差随信噪比的变化曲线.由图2可以看出：信噪比越大恢复误差越小；选取的阵元越多，信号的恢复误差也越小.但是阵元越多雷达的造价就越昂贵，在信噪比较高时，100个阵元恢复的信号误差已可以作为后续信号处理，所以折中之后选取100个阵元.下面对100个阵元情况下的波束性能进行分析.

2.2 波束性能分析

取上述同样大小圆形面阵，按照1.2节的方法从这N个阵元中随机选取M＝100个阵元，稀疏的阵元分布如图1所示.取信号与干扰方向的uv坐标分别 为（0.44，0.52），（0.60，-0.58），（-0.36，-0.36），信噪比RSN＝10dB，干噪比RIN＝40dB，单个快拍依次恢复数据.

图2 不同压缩比下信号恢复误差

压缩采样得到100个阵元的数据之后，先用CS方法恢复出所有通道的数据，然后利用恢复得到的数据用基于迭代的LCMV算法计算自适应权系数，形成自适应波束图，将得到的波束图与稀布阵下直接得到的波束图及满阵时的波束图进行比较.三种情况下的波束图如图3所示，由图3可知，在天线口径不减小的前提下，当阵元数从1 051减少到100之后，用文中提出的方法所得到的波束图（图3（a））旁瓣明显低于普通稀布阵方法得到的波束图（图3（b）），图3（a）的 波 束 图 干 扰 方 向 零 陷 分 别 为-94dB和-105dB，该波束的性能与满阵（1 051阵元）时的波束性能（图3（c））几乎相同.

图3 基于迭代的LCMV算法得到的波束图（RSN＝10dB，RIN＝40dB）

图4给出了不同方法下输出信干噪比收敛情况.由图4可知，经过多次迭代之后，输出信干噪比收敛，当输出信干噪比收敛之后，文中方法的输出信干噪比略低于满阵时候的输出信干噪比.所以，由以上分析可知，用压缩感知方法得到的波束性能接近满阵时波束性能，输出信干噪比只是略低于满阵时输出信干噪比，所以该方法适用于基于迭代的LCMV算法.

图4 不同方法下输出信干噪比收敛情况

2.3 蒙特卡罗分析

对于一个DBF雷达系统，我们不但关心波束的指向、旁瓣电平和干扰零陷深度等，还有一项重要指标就是输出信干噪比.文中提出的圆阵下的基于压缩感知的自适应波束形成算法，是通过重构算法恢复得到满阵的回波信息，当用OMP算法估计稀疏向量SΓ2×L时，若RSN较低，则重构得到的回波信号XN×L中有可能丢失期望方向信号，使得DBF输出信号没有期望信号.为了表示输出信号丢失的程度，定义如式（12）所示的输出信号误差：

式中：YT×1是DBF系统归一化之后的输出；ST×1是不含噪声的归一化之后期望信号.

为了验证该方法在不同信噪比、不同干噪比及不同角度时该算法的正确性，在阵元位置固定不变的前提下，随机选取期望信号方向和干扰信号方向（干扰在主瓣外），对下面情况分别做100次蒙特卡罗分析：

情况1：RSN＝-20～30dB，RSI＝-30dB；

情况2：RSN＝10dB，RSI＝-60～-10dB；

图5（a）是RSI＝-30dB时，DBF输出信号误差随RSN变化的曲线.从图5（a）可以看出，当RSN较小时，恢复信号的误差与RSN不在成正比，因为小信噪比情况下恢复的信号中期望信号有可能丢失，RSN越小丢失的概率越大.图5（b）是RSN＝10dB时，DBF输出信号误差随RSI变化的曲线.从图5（b）可以看出，当期望信号足够强时，不管干扰多大，都能精确恢复缺失通道信号，而不丢失期望信号，且输出信号的精度不随干扰的增大而减小.

图5 不同情况下输出信号误差

下面用恢复得到的数据计算自适应权系数，得到自适应数字波束图，然后分析波束性能.

图6为基于迭代的LCMV算法下波束的蒙特卡罗分析结果，RSI＝-30dB，旁瓣电平和零陷电平都是迭代稳定之后得到的.由图6可知，用恢复之后的数据计算自适应权系数，形成的波束图旁瓣都较低，干扰方向零陷都比较深，波束性能良好，接近满阵波束性能.

图6 波束旁瓣电平、干扰方向零陷深度图

虽然信噪比较低时波束图的性能依旧很好，但由于期望信号太弱，它在变换矩阵上的投影系数太小，恢复的时候可能被噪声淹没，使恢复信号误差较大，甚至可能丢失了期望信号，使恢复的数据中不包含期望方向信号，所以此时的数据已经不能作为信号处理的数据了，但在信噪比较高时，即在保证了恢复的通道数据中包含期望方向信号时，波束的旁瓣及干扰方向的零陷深度都能得到保证，即波束性能良好，且期望方向信号依然可以高概率恢复，所以在信噪比较高时该方法可行.

3 结 论

该文提出的圆阵下的基于压缩感知的数字波束形成算法，是一种新的稀布阵方法.在不减小天线口径的前提下，大大减少了实际阵元数目，减少了射频前端数量.它利用回波信号在空域的稀疏性，用100个随机分布的阵元接收信号，用压缩感知的方法精确恢复出满阵（1 051阵元）时候各通道的数据，然后用恢复的通道数据计算自适应权系数，形成波束图，实验仿真结果证明了该方法的正确性.仿真结果表明，用该方法所得到的波束性能良好，与满阵时候的波束性能相近，但是该方法有一定适用范围，即在期望信号太弱时，不能精确重构期望方向信号，甚至有可能丢失期望信号，该方法失效.

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