两层旋电磁介质球电磁散射的球矢量波函数解

程筱军 耿友林

（杭州电子科技大学电子信息学院，浙江 杭州310018）

引 言

在过去的数十年里，因各向异性在微波、天线以及电磁理论的实际和潜在应用受到广大研究者的高度重视，出现了很多研究各向异性介质电磁散射的解析和数值方法［1-9］.其中矩量法［1-2］，积分方程法［3］，谱域傅里叶变换法［4-5］，时域有限差分法［6］，模展开法［7-8］以及基于多极子的矢量有限元和矩量法等［9］都被广泛地应用到电磁波与各向异性介质相互作用的研究之中.

等离子体和铁氧体是两类各向异性介质，能够将这两种各向异性介质用统一的本构关系表示的各向异性介质称为旋电磁介质，等离子体和铁氧体介质是旋电磁介质的特殊形式，故研究各向异性旋电磁介质和电磁波的相互作用与等离子体、铁氧体介质和电磁波的相互作用相比更具有一般性，其研究比单独研究等离子体和铁氧体研究也更为复杂.在多重散射和T矩阵模式研究旋磁介质球电磁散射［10］基础上，李乐伟等对旋电和旋电磁介质的电磁散射开展了理论研究，给出了适合工程应用的数值计算结果［11-12］.

在用各向同性介质球矢量波函数展开的平面波因子［13］和傅里叶变换的基础上，本文作者之一和其合作者已经对等离子体介质球结构、单轴介质球、铁氧体涂覆导体球以及旋电磁介质球开展了理论研究，并发表在国际期刊［14-18］上.而对两层各向异性旋电磁介质球的电磁散射特性还没有见报道，本文即是开展这个方面的研究.本文讨论这个问题，即用球矢量波函数讨论两层各向异性旋电磁介质球的电磁散射特性，具有如下意义：分层各向异性介质球的电磁散射特性解析解是一个经典的研究问题，该研究是其中的一个方面，是对现有介质球电磁散射解析解理论的扩展和补充；其次，所得的数值计算结果，可为数值方法（如矩量法、时域有限差分法等）研究该类问题提供有效的建模依据.

在文献［18-19］的基础上，利用第一、二类球Bessel函数满足相同微分方程和递推的关系，得旋电磁介质球壳中的电磁场可用第一、第二类旋电磁介质的球矢量波函数表示.利用入射波和散射场用各向同性介质球矢量波函数展开的表达式以及在旋电磁介质球壳表面的电磁波切向连续的边界条件，可求出平面波入射情况下，散射场用波函数展开的展开系数，进而得出平面波入射情况下，两层各向异性旋电磁介质球的电磁散射特性，并实现数值计算.数值计算的结果与均匀旋电磁介质球的计算结果［12］进行了对比，两者符合的较好.

在本文中，所用时间因子为exp（-iωt）.

1 理论计算公式

本文所研究的问题如图1所示，两层各向异性旋电磁体介质球，直角坐标的原点位于圆心，入射平面波沿z轴方向入射，电场的幅度为1，其极化方向沿x轴方向.内部旋电磁介质球、旋电磁介质球壳与包围的媒质分别为区域2、区域1和区域0，球壳的外、内半径分别为a1和a2，区域1与2的旋电磁各向异性介质的介电常数和磁导率并矢分别为＝1，2）和ˉμp（p＝1，2），区域0为自由空间，媒质参数为ε0和μ0.区域1和2的介电常数与磁导率并矢可表示为［12，18］：

图1 两层各向异性旋电磁介质球电磁散射的几何图

区域1和2的电场矢量所满足的矢量波方程为［12，18］

利用傅里叶变 换［14，16，18］，用球矢量波函数展 开本征波矢量与平面波因子乘积的解析表达式［13］以及球Bessel函数的性质［19］，可得方程（2）在区域2（r≤a1，下标为2）中的电磁场表达式为［18］：

根据Bessel函数的性质，可得区域1（a2≤r≤a1，下标为1）的电磁场表达式为

式（4）～（7）中：n′和n是从0到＋∞的求和；m是从-n到n的求和；在球坐标系中，k指向（θk，φk）的方向；r是指向（θ，φ）方向的（r，k）和，k）为第l类球矢量波函数，在文献［10-18］中已经有其表达式；（cosθ）是 连 带Legendre函数；Gmn′q（q＝1，2）和（q＝1，2；l＝1，2）与文献［18］相似，是区域1和2用球矢量波函数展开电磁场的未知系数，为待求量；kpq（p＝1，2；q＝1，2）分别是旋电磁体区域1和2的本征值；（t＝e，h；p＝1，2）是该区域电磁参数和θk的函数，在文献［18］中已经给出其详细的表达式.

入射的电磁波幅度为1，沿正z轴方向传播，其极化沿正x轴方向，其用球矢量波函数展开，具体表达式如下［10-18］：

式（8）与（9）中下述表达式［14-18］成立：

根据所取的时间因子和电磁波在远区的辐射条件，散射场可表示为

现在已经给出了三个区域的电磁场解析表达式，所需要的是求解区域1与2内部场以及区域0的散射场用球矢量波函数展开的展开系数.展开系数的求取是通过旋电磁介质球壳内外边界上电磁场连续的边界条件，即

将区域0（自由空间）中入射波和散射波，区域1和区域2中电磁波代入上述边界条件，利用切向球矢量波函数的分量正交性（见文献［14］的附录2），可得以下的边界条件：

到此，本文给出了在平面波入射情况下，两层各向异性旋电磁介质球在各个区域电磁场的解析表达式.当两层旋电磁介质球的媒质参数相同时，即ε1＝和，可知其本征值和本征矢量以及球矢量的展开系数皆相同，从边界条件表达式（17）～（20）可 容易获得2，…，N，m＝±1.即两层各向异性旋电磁介质球电磁散射解可退化为均匀旋电磁介质球散射场的解.后面的数值计算结果也验证了这一点.

2 数值计算的结果及讨论

本节对第1节所推导的公式开展对应的数值计算，据作者所知，没有发现两层各向异性旋电磁介质球的电磁散射特性的数值计算结果.为了验证本文理论和数值计算结果的正确性，计算了两层各向异性旋电磁介质球的电磁参数相同的结果，并和均匀各向异性旋电磁介质的数值计算结果［12］进行了对比，如图2所示，因该解析解收敛的速度较快，此时式（17）～（24）中n′的最大值N＝4.由图2能够看出：两种解析方法所计算的结果符合的比较好，这说明本文理论和对应的Fortran程序是正确的.当电磁参数相同时，两层各向异性旋电磁介质球可退化到均匀旋电磁介质球，均匀旋电磁介质球是两层各向异性旋电磁介质球的特例.本节还计算了一般情况下的结果，如图3～5所示.

图2 本文方法的计算结果和文献［12］计算结果对比

图3计算了一个小尺寸两层无耗各向异性旋电磁介质球的雷达散射截面，其介电常数和磁导率并矢的的分量取为：ε11＝3ε0，ε21＝iε0，ε31＝2ε0和μ11＝2μ0，μ21＝iμ0，μ31＝3μ0；ε12＝4ε0，ε22＝iε0，ε32＝2ε0和μ12＝2μ0，μ22＝iμ0，μ32＝4μ0；对应的电尺寸为k0a1＝π和k0a2＝0.8π；N＝10.同时我们还计算了中等尺寸情况下，有耗的两层旋电磁各向异性介质球的雷达散射截面，如图4所示，此时的介电常数和磁导率并矢的分量分别为：ε11＝（3＋i）ε0，ε21＝iε0，ε31＝（2＋2i）ε0和μ11＝（2＋i）μ0，μ21＝iμ0，μ31＝（3＋i）μ0；ε12＝（4＋i）ε0，ε22＝iε0，ε32＝（2＋2i）ε0和μ12＝（2＋i）μ0，μ22＝iμ0，μ32＝（4＋i）μ0；电尺寸为k0a1＝1.5π和k0a2＝π；N＝8.

图3 中等尺寸两层无耗旋电磁介质球的雷达散射截面

图4 中等尺寸两层有耗旋电磁介质球的雷达散射截面

图5 两层电大尺寸有耗旋电磁介质球的雷达散射截面

最后，计算了一个电大尺寸有耗的两层旋电磁介质球的雷达散射截面，如图5所示，此时的两层各向异性旋电磁介质球的介电常数和磁导率并矢的分量分别为：ε11＝（3＋0.5i）ε0，ε21＝iε0，ε31＝（2＋0.4i）ε0和μ11＝（2＋0.5i）μ0，μ21＝iμ0，μ31＝（3＋0.5i）μ0；ε12＝（4＋0.5i）ε0，ε22＝iε0，ε32＝（2＋0.4i）ε0和μ12＝（2＋0.5i）μ0，μ22＝iμ0，μ32＝（4＋i）μ0；电尺寸为k0a1＝4π和k0a2＝3.5π；N＝18.

由这几个数值计算的结果可以得出以下结论：

1）数值计算时所取的项数基本上随着电尺寸的增加而增大，所得的雷达散射截面也随之有所增加.所有的计算时间在微机上的时间不到1min.图4的电尺寸比图3的大，而其收敛的速度比图3快，说明两层旋电磁介质球有耗的比无耗的收敛快.

2）由图3～5可以看出，在前向（散射角是0°）开始，有一部分电场面的散射截面和磁场面的散射截面几乎重合，随着电尺寸的增大，重合的部分越来越多，但都不超过45°.在电大尺寸情况下，如图5，磁场面的散射截面大于电场面的散射截面.

3）随着电尺寸的增大，E面和H面都有振荡现象，电尺寸越大，振荡的峰和谷越多，这说明随着电尺寸增加，散射截面所包含旋电磁介质球本身信息越多.

3 结 论

本文是文献［18］近一步的扩展，是在前期所推导出的旋电磁介质球矢量波函数的工作基础上.利用均匀各向异性旋电磁介质球波函数理论、二阶线性微分方程的解特性、球Bessel函数特性、辐射条件以及电磁场切向连续的边界条件，给出了平面波入射情况下，两层各向异性旋电磁介质球本征球矢量解析解的表达式，进而对两层各向异性旋电磁介质球的电磁散射开展了相应的理论研究，并对其进行了相应的数值计算，和文献中均匀旋电磁介质球［12］的计算结果进行了比较，符合较好.说明了本文的理论和所编的Fortran程序是正确的.用此方法通过递推关系，可求出径向不均匀旋电磁介质球的电磁散射特性，结合新型人工材料的研究，可进一步研究各向异性旋电磁介质的隐身特性，为实际工程制作的新型介质提供了理论上的支持.

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