求解抽象函数解析式六法

2014-03-10 09:17郑玉琳
中学教学参考·理科版 2014年1期
关键词:奇函数奇偶性元法

郑玉琳

一、换元法:即用中间变量表示原自变量的代数式,从而求出f(x)

四、利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式

【例6】 已知y=f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=lg(x+1),求f(x).

解:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称,故先求x<0时的表达式.

∵-x>0,∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x).

∵f(x)为奇函数,∴lg(1-x)=f(-x)=-f(x),

∴当x<0时,f(x)=-lg(1-x).

五、赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出f(x)的表达式

【例8】 已知f(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,求f(x).

解:对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,

不妨令x=0,则有f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,

再令-y=x得函数解析式f(x)=x2+x+1.

【例9】 函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.求f(x)的解析式.

解:令x=1,y=0,代入得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)×1,整理得f(0)=2.

令y=0,得f(x+0)-f(0)=(x+0+1)x,

所以f(x)=x2+x+2.

六、方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式endprint

一、换元法:即用中间变量表示原自变量的代数式,从而求出f(x)

四、利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式

【例6】 已知y=f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=lg(x+1),求f(x).

解:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称,故先求x<0时的表达式.

∵-x>0,∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x).

∵f(x)为奇函数,∴lg(1-x)=f(-x)=-f(x),

∴当x<0时,f(x)=-lg(1-x).

五、赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出f(x)的表达式

【例8】 已知f(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,求f(x).

解:对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,

不妨令x=0,则有f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,

再令-y=x得函数解析式f(x)=x2+x+1.

【例9】 函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.求f(x)的解析式.

解:令x=1,y=0,代入得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)×1,整理得f(0)=2.

令y=0,得f(x+0)-f(0)=(x+0+1)x,

所以f(x)=x2+x+2.

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一、换元法:即用中间变量表示原自变量的代数式,从而求出f(x)

四、利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式

【例6】 已知y=f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=lg(x+1),求f(x).

解:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称,故先求x<0时的表达式.

∵-x>0,∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x).

∵f(x)为奇函数,∴lg(1-x)=f(-x)=-f(x),

∴当x<0时,f(x)=-lg(1-x).

五、赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出f(x)的表达式

【例8】 已知f(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,求f(x).

解:对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,

不妨令x=0,则有f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,

再令-y=x得函数解析式f(x)=x2+x+1.

【例9】 函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.求f(x)的解析式.

解:令x=1,y=0,代入得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)×1,整理得f(0)=2.

令y=0,得f(x+0)-f(0)=(x+0+1)x,

所以f(x)=x2+x+2.

六、方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式endprint

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