简单递推数列通项的求法

独志荣

〔关键词〕 数学教学；递推数列；通项；求解方法

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）03—0089—01

递推数列是高考的重点也是难点，也是高考的重要题型.这些题型既体现了转化思想的运用，又要求具有较强的归纳、总结以及运算能力.从历年高考的命题趋势来看，数列题的难度平稳上升，而且几乎都是以递推数列来命题的.下面，笔者举例谈谈递推数列的常用解法.

题型一：型如an+1=an+f（n） （其中数列{f（n）}是可求和的）的数列，可以选用叠加法. 此法是等差数列的拓展，所以做法与推导等差数列公式的过程相似.

例1 设数列{an} 中，a1=2，an+1=an+n+1，求数列{an}的通项公式.

分析：由于an+1=an+n+1符合题型一中数列的特征，故可以选用叠加法，通过前、后项相消得到通项公式.

解：因为 a1=2，an+1=an+n+1，所以an=an-1+（n-1）+1

an-1=an-2+（n-2）+1 … a2=a1+1+1

将以上各式相加得：

an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1

=■+n+1=■ +1

即 an=■ +1

题型二：型如an+1=f（n）an（其中数列{f（n）}是可求积的）的数列，可以选用累积法. 此法是等比数列的拓展，做法与推导等比数列求和公式的过程相似，它体现了高考题源于课本而高于课本的思想.

例2 已知数列{an}满足a1=2，■=■.求数列{an}的通项公式.

分析：因为■=■ ， 符合题型二中数列的特征，故可以选用累积法，通过累乘前后项相消得到通项公式.

解：由题意，得■=■.

即■=■，…，■=■ ，■=■，

将以上各式相乘，得■=■×…×■×■=■，

即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.

题型三：型如an+1=can+d（c，d为常数，c≠1，cd≠0）（一阶线性递推数列）的数列，可以选用待定系数法. 一阶线性递推数列里蕴含着一个等比数列，所以利用待定系数法能使问题很快得到解决.

例3 在数列{an}中，若an=1，an+1=2an+3（n≥1），求该数列的通项公式.

分析：因为an+1=2an+3（n≥1）符合题型三中数列的特征，故可以选用待定系数法.

解： 令an+1+x=2（an+x）（n≥1） ，则an+1=2an+x，（n≥1），

由题意得 x=3.

故{an+3} 是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以 an=2n+1-3.

例4 已知数列{an}中，a1=2，an+1=（■-1）（an+2），n=1，2，3… 求数列{an}的通项公式.

解： 令 an+1+x=（■-1）（an+x），（n≥1），则an+1=2an+x，（n≥1），

由题意，得 x=-■，

故{an-■} 是以（2-■）为首项，（■-1）为公比的等比数列， 所以 an=1+■-（■-1）n.

总之，对于递推数列的问题，主要是求数列的通项公式.要具体情况具体处理，但必须理解并掌握基本题型，并能将一些非基本题型经过适当的变形转化为基本题型，然后用基本题型的常用方法处理.有时也要用到猜想方法获得通项公式.笔者认为，掌握以上方法是解决递推数列问题的关键.

编辑：谢颖丽endprint

〔关键词〕 数学教学；递推数列；通项；求解方法

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）03—0089—01

递推数列是高考的重点也是难点，也是高考的重要题型.这些题型既体现了转化思想的运用，又要求具有较强的归纳、总结以及运算能力.从历年高考的命题趋势来看，数列题的难度平稳上升，而且几乎都是以递推数列来命题的.下面，笔者举例谈谈递推数列的常用解法.

题型一：型如an+1=an+f（n） （其中数列{f（n）}是可求和的）的数列，可以选用叠加法. 此法是等差数列的拓展，所以做法与推导等差数列公式的过程相似.

例1 设数列{an} 中，a1=2，an+1=an+n+1，求数列{an}的通项公式.

分析：由于an+1=an+n+1符合题型一中数列的特征，故可以选用叠加法，通过前、后项相消得到通项公式.

解：因为 a1=2，an+1=an+n+1，所以an=an-1+（n-1）+1

an-1=an-2+（n-2）+1 … a2=a1+1+1

将以上各式相加得：

an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1

=■+n+1=■ +1

即 an=■ +1

题型二：型如an+1=f（n）an（其中数列{f（n）}是可求积的）的数列，可以选用累积法. 此法是等比数列的拓展，做法与推导等比数列求和公式的过程相似，它体现了高考题源于课本而高于课本的思想.

例2 已知数列{an}满足a1=2，■=■.求数列{an}的通项公式.

分析：因为■=■ ， 符合题型二中数列的特征，故可以选用累积法，通过累乘前后项相消得到通项公式.

解：由题意，得■=■.

即■=■，…，■=■ ，■=■，

将以上各式相乘，得■=■×…×■×■=■，

即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.

题型三：型如an+1=can+d（c，d为常数，c≠1，cd≠0）（一阶线性递推数列）的数列，可以选用待定系数法. 一阶线性递推数列里蕴含着一个等比数列，所以利用待定系数法能使问题很快得到解决.

例3 在数列{an}中，若an=1，an+1=2an+3（n≥1），求该数列的通项公式.

分析：因为an+1=2an+3（n≥1）符合题型三中数列的特征，故可以选用待定系数法.

解： 令an+1+x=2（an+x）（n≥1） ，则an+1=2an+x，（n≥1），

由题意得 x=3.

故{an+3} 是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以 an=2n+1-3.

例4 已知数列{an}中，a1=2，an+1=（■-1）（an+2），n=1，2，3… 求数列{an}的通项公式.

解： 令 an+1+x=（■-1）（an+x），（n≥1），则an+1=2an+x，（n≥1），

由题意，得 x=-■，

故{an-■} 是以（2-■）为首项，（■-1）为公比的等比数列， 所以 an=1+■-（■-1）n.

总之，对于递推数列的问题，主要是求数列的通项公式.要具体情况具体处理，但必须理解并掌握基本题型，并能将一些非基本题型经过适当的变形转化为基本题型，然后用基本题型的常用方法处理.有时也要用到猜想方法获得通项公式.笔者认为，掌握以上方法是解决递推数列问题的关键.

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〔关键词〕 数学教学；递推数列；通项；求解方法

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）03—0089—01

递推数列是高考的重点也是难点，也是高考的重要题型.这些题型既体现了转化思想的运用，又要求具有较强的归纳、总结以及运算能力.从历年高考的命题趋势来看，数列题的难度平稳上升，而且几乎都是以递推数列来命题的.下面，笔者举例谈谈递推数列的常用解法.

题型一：型如an+1=an+f（n） （其中数列{f（n）}是可求和的）的数列，可以选用叠加法. 此法是等差数列的拓展，所以做法与推导等差数列公式的过程相似.

例1 设数列{an} 中，a1=2，an+1=an+n+1，求数列{an}的通项公式.

分析：由于an+1=an+n+1符合题型一中数列的特征，故可以选用叠加法，通过前、后项相消得到通项公式.

解：因为 a1=2，an+1=an+n+1，所以an=an-1+（n-1）+1

an-1=an-2+（n-2）+1 … a2=a1+1+1

将以上各式相加得：

an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1

=■+n+1=■ +1

即 an=■ +1

题型二：型如an+1=f（n）an（其中数列{f（n）}是可求积的）的数列，可以选用累积法. 此法是等比数列的拓展，做法与推导等比数列求和公式的过程相似，它体现了高考题源于课本而高于课本的思想.

例2 已知数列{an}满足a1=2，■=■.求数列{an}的通项公式.

分析：因为■=■ ， 符合题型二中数列的特征，故可以选用累积法，通过累乘前后项相消得到通项公式.

解：由题意，得■=■.

即■=■，…，■=■ ，■=■，

将以上各式相乘，得■=■×…×■×■=■，

即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.

题型三：型如an+1=can+d（c，d为常数，c≠1，cd≠0）（一阶线性递推数列）的数列，可以选用待定系数法. 一阶线性递推数列里蕴含着一个等比数列，所以利用待定系数法能使问题很快得到解决.

例3 在数列{an}中，若an=1，an+1=2an+3（n≥1），求该数列的通项公式.

分析：因为an+1=2an+3（n≥1）符合题型三中数列的特征，故可以选用待定系数法.

解： 令an+1+x=2（an+x）（n≥1） ，则an+1=2an+x，（n≥1），

由题意得 x=3.

故{an+3} 是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以 an=2n+1-3.

例4 已知数列{an}中，a1=2，an+1=（■-1）（an+2），n=1，2，3… 求数列{an}的通项公式.

解： 令 an+1+x=（■-1）（an+x），（n≥1），则an+1=2an+x，（n≥1），

由题意，得 x=-■，

故{an-■} 是以（2-■）为首项，（■-1）为公比的等比数列， 所以 an=1+■-（■-1）n.

总之，对于递推数列的问题，主要是求数列的通项公式.要具体情况具体处理，但必须理解并掌握基本题型，并能将一些非基本题型经过适当的变形转化为基本题型，然后用基本题型的常用方法处理.有时也要用到猜想方法获得通项公式.笔者认为，掌握以上方法是解决递推数列问题的关键.

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