刍议机械产品设计中的数学方法

王燕萍

（海南师范大学，海南 海口 570100）

数学作为基础学科，具有抽象性强、逻辑性强等特点。并且数学在解决实际问题上的作用较其他学科更为明显。工业作为我国的支柱产业，其机械产品的设计应做到精确，数学知识的应用必不可少。科技的发展与数学教学之间存在着相互影响的关系，数学是促进科技发展的重要因素，而机械产品设计中数学的应用则是科技进步的重要表现。为了明确这一问题，文章对机械产品设计中数学的应用进行了具体的分析。

1 概率法在机械产品公差设计中的应用

1.1 应用原理分析

概率法在机械产品公差设计中的应用主要为间隙范围的控制。由于零件尺寸的误差通常为正态分布，因此可根据概率原理进行零件删除。通过截尾的正态曲线便可显示组成环尺寸分布情况，从而求出标准差与固有偏差。得到产品配合间隙的理论范围，由于实际安装过程中很难达到理想状态，因此最终安装间隙的确定小于理想范围。设固有偏差U’小于设计值，零件设计尺寸按照下偏差范围确定，从而根据主要设计公式求出方差和标准差，按照概率论下的误差分布曲线确定实际偏差。其具体应用如下。

1.2 应用举例

概率法是一种重要的数学方法，以研究随机事件的概率为主，应用广泛。而在机械产品设计过程中，公差配合与技术测量对设计过程的要求较高，概率法是分析其产品尺寸、设计误差和配合间隙等参数的主要方法。例如对间隙配合Φ60H7/h6，其公差带如图所示。

假设零件的实际尺寸可以达到极限，则其间隙范围为0～+49μm。而在实际工业产品生产中，能够达到极限尺寸的概率极低。在机床规格相同或者刀具尺寸固定的情况下，被加工工件的实际尺寸大小或偏差将呈正态分布。也就是说，对于间隙配合Φ60H7/h6的工件来说，其孔、轴的平均偏差和平均间隙分别表示为：可表示为：

而孔、轴的均方差表示为：σx=30/6=5μm σy=19/6=3.2μm；从而根据存在的偏差可计算出零件间隙范围为：+6.5～+42.5μm。其中最小间隙为+6.5μm，最大间隙为+42.5μm。与理想状态下的间距范围相比，范围缩小。通过其发生概率和更多实验证明，大多数零件在设计时其实际配合间隙尺寸范围小于理想状态下，从而说明了概率法在公差配合中的应用具有实际意义。另外，在特殊情况下，孔、轴的实际尺寸将呈非正态分布，根据实验证明，此种情况下可按三角形分布或者梯形分布处理，此时将影响以上结果。因此在设计时应控制孔轴尺寸呈正态分布。

2 最小公倍数在齿轮齿数设计中的应用

齿轮通过与蜗杆、齿条等零件之间的传动实现扭矩和转速的改变。在机械工业中应用广泛，实现了传动效率的提高和传动功率范围的扩大。因此，作为机械产品中的重要传动零件，齿轮的设计要求较高，尤其是轮齿参数的设定。轮齿是指齿轮上的凸起咬合部分，轮齿参数设计不合理将导致性能下降，从而出现破损。机械产品齿轮齿数的选择上应在的确定确保最小分度圆直径的前提下增加齿数提高重合度。数学中最小公倍数可用于计算和确定轮齿数。

例如：设齿轮主从动轮的齿数分别为Z1和Z2且Z1=40，Z2=70，由于40与70之间的最小公倍数为280，也就是说，主动轮每转过7圈，就要和从动轮重合一次。这样，咬合次数过多易造成齿轮磨损。因此依据最小公倍数原理，我们采取改变齿轮齿数，增加最小公倍数，改变传动比的方法，如将该齿轮的齿数改为主动轮 41，从动轮 72，此时其传动比为 72/41=1.75，满足条件。而两齿轮齿数之间的最小公倍数为41×72=2952。此时由于最小公倍数增大，说明当主动轮转动72圈时才能与从动轮重合。因而降低磨损概率，提高齿轮的使用时间。并且，传动比仍为1.75左右，我们在设计时也可尽量降低传动比，实现齿轮性能提高。

3 总结

机械产品零件在设计时要求较高，原因在于其应用范围广泛且影响较大。一旦出现设计误差或设计错误，将影响工业甚至军事生产。因此，对于机械零件的设计过程应具备一定的方法。数学原理在解决实际问题的同时也在机械行业起到积极的作用。如文章提到的概率法在公差配合中的应用、最小公倍数在齿轮传动比和轮齿数确定上的应用，都解决了机械产品设计不合理问题，也使机械产品的设计更容易，提高了设计效率和产品使用寿命。当然，数学在机械产品中的应用不仅限于此，在机床、模具甚至塔吊等大部分机械产品设计中应用广泛。因此要求机械产品设计者包括维修人员懂得更多的数学知识，在产品设计上以及产品出现故障时，能够及时根据数学原理采取一定的方案。

[1] 陈大春.浅谈中等职校《机械制图》课教学[J].职业技术.2009(06).

[2] M.F.SPOTTS.实用公差指南［M］.杨青，译.中国计量出版社.