运用导数解决三次函数问题

陈志国

三次函数及其相关的问题，近年来在各级各类考查试卷中经常出现，其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法，供参考.

一、三次函数的切线

例1 已知函数f（x）=x3-x+2，试求过点P（1，2）的曲线y=f（x）的切线方程.

解析 设切点P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，则f ′（x0）=3x20-1，过点P0的方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）， 即y-（x30-x0+2）=（3x20-1） （x-x0）. 又切线过点P（1，2）， 则2-（x30-x0+2）=（3x20-1） （1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.则f ′（-12）=-14， f ′（1）=2.故所求的切线方程为y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.

二、三次函数的单调性

例2 已知函数f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；②若f（x）在 （-1，1）上单调递减，求a的取值范围.

解析 f ′（x）=3x2-a.①依题意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a<3x2在R上恒成立，又3x2≥0，所以a<0.又当a=0时，f（x）=x3+b在R上是单调增函数，故a≤0. ②依题意，有3x2-a<0在（-1，1）上恒成立，而当x∈（-1，1）时，0<3x2<3，所以a≥3.

三、三次函数的极值

例3 已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c， 若当x ∈（0，1）时，f（x）取得极大值；x ∈（1，2）时，f（x）取得极小值；求b-2a-1的取值范围.

解析 f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由题意知，上述方程应满足：

一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内.

由y=f ′（x）的图象知f ′（0）>0，

f ′（1）<0，

f ′（2）>0b>0，

a+2b+1<0，

a+b+2>0.

图1在aOb坐标系中作出上述区域（如图1所示）.而b-2a-1的几何意义是：过两点P（a，b）与D（1，2）的直线斜率.而P（a，b）在区域内，由a+2b+1=0，

a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，

a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，

a+2b+1=0得C（-1，0）.由图知kDA

四、三次方程根的判定

例4 设a∈R，试讨论关于x的三次方程x3-3x2-a=0有相异实根的个数.

解析 将方程变形为x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，则y′=3x（x-2）， 令y′=0得x=0或x=2.

当x∈（-∞，0）时，y′>0；图2

当x∈（0，2）时，y′<0；

当x∈（2，+∞）时，y′>0.故f（x）的极大值是f（0）=0，极小值是f（2）=-4.

于是函数y=f（x）=x3-3x2的大致图象如图2.

因为方程（*）的相异实根的个数，是y= f（x）的图象和直线y=a的交点的个数，所以相异实根个数为：

（1）当a<-4或a>0时，有1个；

（2）当a=-4或a=0时，有2个；

（3） 当-4

五、与三次函数有关的应用题

例5 某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-15x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

解析 每月生产x吨时的利润为f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）内只有一个极值点x=200，且x∈（0，200）时，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）时，f ′（x） <0；故当x=200时，f（x）有最大值f（200）=3150000（元）

六、与三次函数有关的不等式问题

例6 已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|<1.

解析 由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1， 所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）时，f ′（x） <0；x∈（33，1）时，f ′（x） >0.所以当x=33时，f（x）有最小值f（33）=b-239.又当x=0或1时，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max- [f（x）]min=239<1，证毕.

三次函数及其相关的问题，近年来在各级各类考查试卷中经常出现，其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法，供参考.

一、三次函数的切线

例1 已知函数f（x）=x3-x+2，试求过点P（1，2）的曲线y=f（x）的切线方程.

解析 设切点P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，则f ′（x0）=3x20-1，过点P0的方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）， 即y-（x30-x0+2）=（3x20-1） （x-x0）. 又切线过点P（1，2）， 则2-（x30-x0+2）=（3x20-1） （1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.则f ′（-12）=-14， f ′（1）=2.故所求的切线方程为y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.

二、三次函数的单调性

例2 已知函数f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；②若f（x）在 （-1，1）上单调递减，求a的取值范围.

解析 f ′（x）=3x2-a.①依题意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a<3x2在R上恒成立，又3x2≥0，所以a<0.又当a=0时，f（x）=x3+b在R上是单调增函数，故a≤0. ②依题意，有3x2-a<0在（-1，1）上恒成立，而当x∈（-1，1）时，0<3x2<3，所以a≥3.

三、三次函数的极值

例3 已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c， 若当x ∈（0，1）时，f（x）取得极大值；x ∈（1，2）时，f（x）取得极小值；求b-2a-1的取值范围.

解析 f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由题意知，上述方程应满足：

一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内.

由y=f ′（x）的图象知f ′（0）>0，

f ′（1）<0，

f ′（2）>0b>0，

a+2b+1<0，

a+b+2>0.

图1在aOb坐标系中作出上述区域（如图1所示）.而b-2a-1的几何意义是：过两点P（a，b）与D（1，2）的直线斜率.而P（a，b）在区域内，由a+2b+1=0，

a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，

a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，

a+2b+1=0得C（-1，0）.由图知kDA

四、三次方程根的判定

例4 设a∈R，试讨论关于x的三次方程x3-3x2-a=0有相异实根的个数.

解析 将方程变形为x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，则y′=3x（x-2）， 令y′=0得x=0或x=2.

当x∈（-∞，0）时，y′>0；图2

当x∈（0，2）时，y′<0；

当x∈（2，+∞）时，y′>0.故f（x）的极大值是f（0）=0，极小值是f（2）=-4.

于是函数y=f（x）=x3-3x2的大致图象如图2.

因为方程（*）的相异实根的个数，是y= f（x）的图象和直线y=a的交点的个数，所以相异实根个数为：

（1）当a<-4或a>0时，有1个；

（2）当a=-4或a=0时，有2个；

（3） 当-4

五、与三次函数有关的应用题

例5 某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-15x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

解析 每月生产x吨时的利润为f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）内只有一个极值点x=200，且x∈（0，200）时，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）时，f ′（x） <0；故当x=200时，f（x）有最大值f（200）=3150000（元）

六、与三次函数有关的不等式问题

例6 已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|<1.

解析 由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1， 所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）时，f ′（x） <0；x∈（33，1）时，f ′（x） >0.所以当x=33时，f（x）有最小值f（33）=b-239.又当x=0或1时，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max- [f（x）]min=239<1，证毕.

三次函数及其相关的问题，近年来在各级各类考查试卷中经常出现，其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法，供参考.

一、三次函数的切线

例1 已知函数f（x）=x3-x+2，试求过点P（1，2）的曲线y=f（x）的切线方程.

解析 设切点P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，则f ′（x0）=3x20-1，过点P0的方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）， 即y-（x30-x0+2）=（3x20-1） （x-x0）. 又切线过点P（1，2）， 则2-（x30-x0+2）=（3x20-1） （1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.则f ′（-12）=-14， f ′（1）=2.故所求的切线方程为y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.

二、三次函数的单调性

例2 已知函数f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；②若f（x）在 （-1，1）上单调递减，求a的取值范围.

解析 f ′（x）=3x2-a.①依题意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a<3x2在R上恒成立，又3x2≥0，所以a<0.又当a=0时，f（x）=x3+b在R上是单调增函数，故a≤0. ②依题意，有3x2-a<0在（-1，1）上恒成立，而当x∈（-1，1）时，0<3x2<3，所以a≥3.

三、三次函数的极值

例3 已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c， 若当x ∈（0，1）时，f（x）取得极大值；x ∈（1，2）时，f（x）取得极小值；求b-2a-1的取值范围.

解析 f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由题意知，上述方程应满足：

一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内.

由y=f ′（x）的图象知f ′（0）>0，

f ′（1）<0，

f ′（2）>0b>0，

a+2b+1<0，

a+b+2>0.

图1在aOb坐标系中作出上述区域（如图1所示）.而b-2a-1的几何意义是：过两点P（a，b）与D（1，2）的直线斜率.而P（a，b）在区域内，由a+2b+1=0，

a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，

a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，

a+2b+1=0得C（-1，0）.由图知kDA

四、三次方程根的判定

例4 设a∈R，试讨论关于x的三次方程x3-3x2-a=0有相异实根的个数.

解析 将方程变形为x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，则y′=3x（x-2）， 令y′=0得x=0或x=2.

当x∈（-∞，0）时，y′>0；图2

当x∈（0，2）时，y′<0；

当x∈（2，+∞）时，y′>0.故f（x）的极大值是f（0）=0，极小值是f（2）=-4.

于是函数y=f（x）=x3-3x2的大致图象如图2.

因为方程（*）的相异实根的个数，是y= f（x）的图象和直线y=a的交点的个数，所以相异实根个数为：

（1）当a<-4或a>0时，有1个；

（2）当a=-4或a=0时，有2个；

（3） 当-4

五、与三次函数有关的应用题

例5 某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-15x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

解析 每月生产x吨时的利润为f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）内只有一个极值点x=200，且x∈（0，200）时，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）时，f ′（x） <0；故当x=200时，f（x）有最大值f（200）=3150000（元）

六、与三次函数有关的不等式问题

例6 已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|<1.

解析 由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1， 所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）时，f ′（x） <0；x∈（33，1）时，f ′（x） >0.所以当x=33时，f（x）有最小值f（33）=b-239.又当x=0或1时，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max- [f（x）]min=239<1，证毕.