个数

有一列数，第1 个数是1，但从第2 个数起，每个数与它前面那个数的差等于它的序号。例如：第2 个数与第1 个数的差是2；第3 个数与第2 个数的差是3……请你说一说，第100 个数是奇数还是偶数？”这道题果真比数数难多了，美猴王感到身上的汗越出越多。但他很快镇定下来，心想：我历经万水千山来到这里，可不能知难而退，而要知难而进！美猴王又想：还好只有100 个数，不行我就用最笨的方法把整个数列都写出来。不过，他并没有真的用笨办法列出整个数列，而是列了几个数后，

猜：（1）第28个数是几？（2）这28个数的和是多少？（1）仔细观察数列，可以发现这列数是以“2，3，1”为一组重复出现的，一组里包含3 个数。28÷3＝9（组）……1（个），28 个数包含9组还多1个数，所以第28个数就是每组的第1个数，是2。（2）要求这28 个数的和是多少，先算出一组数的和是多少，再算出一共有多少组，进而解决问题。一组数的和是2＋3＋1＝6，28 个数中有9 组还多一个数2，所以这28 个数的和是6×9＋2＝56。例题4 李老师又在黑

一共有1000 个数字，所有的数的个位为3×1000=3000 个。显然，0、1、2……9 的个数是相同的，因此，000～999 含“1”的个数为3000÷10=300 个。加上1000中所含的1 个“1”，1～1000 中“1”的个数就是301 个。密码就是301。

计算方法：将第1个数与倒数第1个数相加，将第2个数与倒数第2个数相加，以此类推，每一对数之和都等于101，一共有50对。因此从1到100全部数之和应等于101×50=5050。 現在请用这个方法算出组成从1至1 000 000 000的全部数的所有数字之和。注意这里说的不是数之和，而是组成全部数的所有数字之和！

对应方程组的解的个数为n.其余符号和术语与文献［1］［2］一致.定义1 Z2上的线性方程组指形式为的方程组，其中 x1，x2，…，xn代表 n 个未知量，s为方程的个数，并且 aij，bi∈Z2，（i=1，2，…，s，j=1，2，…，n）.定义2（1）式中当bi=0（i=1，2，…，s）时的方程组称为 Z2上的齐次线性方程组.2 Z2上的齐次线性方程组的解定理1Z2上的n元单个线性方程的解的个数为个2n-1（n≥1）.证明：（i）当n=1时，结论显然.（i

约数个数是9且不大于200的自然数的个数是？【分析】由于约数个数是奇数个，可知是不大于200的自然数中的平方数，依此分析求解。【解答】解：约数个数为9，且不大于200 的自然數有三个，分别是：22×32 =36，22×52 =100，22×72 =196。故约数个数是9且不大于200的自然数的个数是3。

…（1）第130个数是多少？ （2）这130个数中有几个5？（3）这130个数相加的和是多少？【伙伴出手】晶晶说：“这组数，从排列上可以看出，是按5、6、3、4这4个数为一组，依次不断重复排列的。由130÷4=32……2，可知130个数中一共有32组这样的排列，还多2个，所以第130个数是每组的第2个，也就是6。”欢欢说：“由130÷4=32……2，可知130个数中一共有32组这样的排列，每组中有1个5，所以有32×1=32（个），还多2个，分别是5、6。

续报数，可以说一个数或两个数，然后又轮到小明，再接着连续报数，同样可以说一个数或两个数，这样两人反复轮流，但不可以不说，谁先抢到30谁就得胜.问：谁将最终获胜？制胜策略是什么？【分析】这是一个经典游戏，其中蕴含了丰富的数学知识与思想方法.常见的解题方法是逆推法.具体分析如下：要想抢到30，必先抢到27，要想抢到27，必先抢到24，…，要想抢到6，必先抢到3.因此，这个游戏的制胜策略是“抢到3的倍数”.那么，这个结果是否可以进行推广呢？下面不妨对游戏进行推广

续报数，可以说一个数或两个数，然后又轮到甲，再接着连续报数，同样可以说一个数或两个数，这样两人反复轮流，但不可以不说.谁先抢到30谁就得胜.问：此游戏是否有制胜策略？如果有，制胜策略是什么？这是一个经典游戏，其中蕴含了丰富的数学知识与思想方法.常见的解题方法是逆推法.具体分析如下：要想抢到30，必先抢到27，要想抢到27，必先抢到24，……，要想抢到6，必先抢到3.因此，这个游戏的制胜策略是抢到3的倍数.下面对游戏进行推广，将抢“30”改为抢“31”，如果

续报数，可以说一个数或两个数，然后又轮到小明，再接着连续报数，同样可以说一个数或两个数，这样两人反复轮流，但不可以不说，谁先抢到30谁就得胜.问：谁将最终获胜？制胜策略是什么？【分析】这是一个经典游戏，其中蕴含了丰富的数学知识与思想方法.常见的解题方法是逆推法.具体分析如下：要想抢到30，必先抢到27，要想抢到27，必先抢到24，…，要想抢到6，必先抢到3.因此，这个游戏的制胜策略是“抢到3的倍数”.那么，这个结果是否可以进行推广呢？下面不妨对游戏进行推广

至右的第2016个数是______，（2）根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左至右第n-1个数是_____（用含n的式子表示）.三、用心解一解18.请观察下列等式：根据你观察到的规律，解答下列问题：（2）猜想：第n（n是正整数）个等式可以表示为_______（3）证明（2）中你所写出的等式.＼参考答案及点拨1.C2.B点拨：（1）观察数阵的排列规律可知，第1行从左至右的第1个数是1，第2行从左至右的第2个数是2，第3行从左至右的第3个数是3

…你知道第100个数是多少吗？”“第100个数？我接着写那要写到什么时候！”雨嘉很为难。“可以不用都写出来，找出规律后再算出来。”爸爸提示说。“你看，这里的关键条件有两个，第一个数是1，从第二个数开始，后一个数比前一个数多3，根据这两个条件直接写出第100个数是有困难，但写出前几个数是很容易的。”说完，爸爸在纸上写出了下面几个式子：4=1+37=4+3=1+3×210=7+3=1+3×3“从写出的这几个数很快可以发现一个规律，你发现了吗？”爸爸问。“我知道

了，在不知道头两个数是多少的情况下，只知道第10个数的大小，不知道第9个数的大小，怎么能猜对第11个数的值呢？魔术揭秘：其实，仅凭借第10个数来推测第11个数的方法非常简单，你需要做的仅仅是把第10个数除以0.618，得到的结果四舍五入一下就是第11个数了。在上面的例子中，由于249÷0.618=402.913…≈403，因此你可以胸有成竹地断定，第11个数就是 403。而事实上，154与249相加真的就等于403。把头两个方格里的数换一换，结论依然成立：

能找出十字架内5个数的关系，并发现其中的规律吗？看着上面的题目，我很久也没想出答案，只好问妈妈。妈妈要我再动动脑筋。我把这5个数加起来：13+19+20+21+27=100，可还是没什么规律呀。于是，我自己在日历上又画了两个类似的十字架，我把这几个数也分别加了一遍：8+14+15+16+22=75，2+8+9+10+16=45。我把几个算式对比思考了一下，终于明白了：“十字架内正中间的数乘5就是这5个数的和，这个数正好是它们的平均数。”为什么是它们的平均数

|表示图G的顶点个数，而D为图G的直径.G的一个传送子图是一条路x0，x1，…，xk，使得在顶点x0上至少有2个pebble，且通过一系列的pebbling移动可以把一个pebble从x0传送到xk.在一个传送子图中，顶点xi上的一个pebble 等效于x0上放置2i个pebble.为了下文证明需要，我们引用下述4个引理：引理 1［1］在一条路x0，x1，…，xk上，设p（x0）+2p（x1）+…+2ip（xi）+…+2k-1p（xk-1）≥2k，则路x0

单啦!先算出●的个数：7×4=28(个)，○每行的个数比●少2个，每行是7-2=5个，有5行，一共有5×5=25(个)。28>25，所以●多一些。”大象老师请小熊把图形摆了出来：小熊摆好了数了数，发现●只有24个，这是为什么呢?小猴发现了其中的奥秘：“刚才四个角上的●被多算了一次!可以先算出两种圆圈的总个数：7×7=49(个)，然后减去○的个数，就能得到●的个数，49 25=24(个)。24＜25，所以○多一些。”小熊听了，佩服地对小猴说：“还是你的方法妙

差中不是解的数之个数,是m从某自然数起连续几个自然数的个数。这些数必然是满足下同余式中至少一个同余式。由于 (2)中同余式个数最多有 2(k-2)个,不重复满足 (2)中同余式之一的情况下,这些第一次满足 (2)中同余式之数在从起不是解的数中,不妨记这些数从小到大排列为为保证 (2)中同余式的第一次满足最多,我们约定 (3)中若(1≤i≤l)同时为qt和 qr(3≤t在此基础上研究重复满足 (2)中同余式之一的情况个数。重复满足 (2)中同余式之一的数只需

并且每一层彩灯的个数比前一层彩灯的个数多6盏，现在知道第二层有26盏彩灯，问第三层比第一层多几盏彩灯?一般解法因为每一层彩灯的个数比前一层彩灯的个数多6盏，所以第二层比第一层多6盏彩灯，因为第二层有26盏彩灯，所以第一层有26－6=20(盏)彩灯；因为第三层比第二层多6盏彩灯，所以第三层有26+6=32(盏)彩灯。因此第三层比第一层多32－20=12(盏)彩灯。巧妙解法因为每一层彩灯的个数比前一层彩灯的个数多6盏，所以第二层比第一层多6盏彩灯，第三层比第二

。小熊发现角的总个数与小角的个数有关，都是从小角的个数依次倒着加到1。小角的个数是2，角的总个数是2+1=3；小角的个数是3，角的总个数是3+2+1=6；小角的个数是4，角的总个数是4+3+2+1=10；小熊把这个发现告诉了妈妈，熊妈妈夸小熊是个聪明的孩子。

0个，如果3个3个数还多1个。”八戒也学着大师兄的样子说：“师父，这些桃子如果5个5个数还多2个。”“师父，我也7个7个数过，最后多3个。”沙僧也凑热闹说。唐僧笑了笑说：“徒弟们，论降妖捉怪我比不过你们，但数学可不比你们差，这点问题难不倒我。”“说来听听，也好让我们长长见识。”孙悟空挠挠脑袋说。“徒弟们，你们再多摘些桃就好了。”唐僧说，“如果你们摘的桃子个数是现在的2倍，那么，3个3个数就多2个，5个5个数就多4个，7个7个数就多6个。”“假设得真妙!”孙