形态梯度和Hilbert包络在滚动轴承故障诊断中的应用*

黄 炜，何 俊，殷 杰，周素萍

(汕头大学工学院，广东汕头 515063)

0 引言

滚动轴承是齿轮减速箱的一种关键零部件，具有摩擦系数小、传递力矩平稳等优点，但是它易发生故障。当轴承内圈转动一段时间后，轴承元件表面出现局部损伤，使得损伤点与轴承其他元件表面接触，而产生冲击，极易引起轴承系统的共振。一般通过加速度传感器采集振动信号，但这种初期故障的冲击信号较微弱，且由于传递路径长、夹杂着复杂环境噪声和其他故障信号，使得冲击信号故障的特征提取变得十分困难［1］。

目前共振包络解调法在滚动轴承故障诊断应用较为广泛，由于需要确定轴承的固有频率和共振频带的范围，分析花费的时间较多，且只能适用于存在单一频率调制的振动信号。数学形态学作为非线性信号的处理工具，特别适合正、负脉冲成分的提取，且由于算法复杂度低，已在故障诊断领域展开应用。

1 形态学滤波的基本原理

形态学滤波是一种非线性信号处理方法，利用预先定义的结构元素作为“探针”，对待处理的信号进行匹配，达到抑制噪声和提取信号特征的目的［2］。

1.1 形态学基本算法

由于研究对象为一维离散灰值信号，仅在灰值形态学范围展开研究。灰值形态是二值形态学的一个应用扩展，用最大、最小代替集合的交、并运算。其中腐蚀运算是灰值形态学的基础，由此可导出其他膨胀、开运算和闭运算等。

设f(n)和g(m)分别是定义在整数域F=［0，N－1］和G=［0，M－1］上的离散函数，且N＞＞M，其中f (n)为输入信号，g(m)为结构元素。f(n)关于g(m)的腐蚀、膨胀、开运算和闭运算分别定义为:

式中:Θ、⊕、◦、·分别表示腐蚀、膨胀、开运算和闭运算。

从定义可看出，形态学的基本运算只涉及加减法，不涉及乘除法，因此数学形态学对信号具有较快的处理速度。在一维信号分析中，腐蚀、膨胀分别抑制信号的正脉冲和负脉冲，保留各自的负脉冲和正脉冲;开运算、闭运算分别抑制信号波形中的峰和填充信号波形的谷［3］。

1.2 形态梯度原理

形态梯度就是信号f(n)与结构元素g(m)的膨胀与腐蚀之差，或者两者的闭运算与开运算之差。两种形态梯度分别定义为:

不难看出，形态梯度能够保留突发性冲击成分，即同时考虑正、负脉冲，因此可实现脉冲信号的位置检测和提取。

1.3 形态梯度提取单边衰减冲击信号

根据文献［4］可知，峭度、歪度可作为单边衰减冲击信号特征提取的一个量化指标。

峭度定义为:

式中:N为采样点数;μx为x(t)的均值;σ为x(t)的标准差。

在各种无量纲指标中，峭度对冲击特征较为敏感，所以该指标可以衡量冲击成分的大小。峭度越大，则冲击幅值越大。

歪度定义为:

式中:N为采样点数，σ为x(t)的标准差。s表示以平均值为中心的波形对称程度，可用来量化单边衰减信号的衰减变化。在应用中，一般取s的绝对值，其绝对值越小，反映冲击信号在均值两侧的分布越均匀，即振荡衰减越充分。

由前面形态梯度的定义可知，采用这种方法可提取冲击成分，但对于结构元素的选择具有一定的盲目性。在无法预知待处理信号结构和形状的前提下，为了避免对结构元素灰度值进行盲目修改，以下统一采用灰度值为0的扁平结构元素。然后利用峭度最大和歪度最小的原则，选取最佳扁平结构元素的形态梯度滤波的结果作为降噪后的信号。

2 Hilbert变换

Hilbert包络是时域信号绝对值的包络，可利用它提取幅值调制信号(相对高频的固有频率信号，调制信号一般为低频信号)，对提取故障特征具有很大的优越性［5］。设x(t)是一个连续时间信号，其Hilbert变换为:

解析信号的幅值为:

解析信号的相位为:

从上面的变换可看出，x(t)的Hilbert变换就是对其相位移动π/2，其他保持不变，而解析信号的实部是x(t)本身，虚部是Hilbert变换，Hilbert包络就是所求解析信号的幅值。通过Hilbert包络可解调出原信号的低频信息，所以对包络后的信号进行FFT，可得到较清晰的解调谱，即Hilbert解调谱。

3 滚动轴承故障特征提取的仿真试验

在滚动轴承故障诊断的传统频谱分析法中，一般根据内圈、外圈和滚动体的故障特征频率来识别故障原因［6］。由于滚动轴承的突发性故障相较于渐进式故障危害性更大，笔者针对周期性重复冲击的故障特征进行模拟。该故障由于轴承元件与轴承其他元件发生周期性撞击而引发幅值调制现象。

3.1 仿真试验

仿真信号的构成主要有谐波成分，周期性重复冲击成分和高斯白噪声三部分。数学表达式为:采样点数N为10 K，采样频率为20 K，x2为周期性重复冲击成分，单周期信号的表达式为:

式中:振幅常数A0=1，阻尼系数ξ=0.1，轴承固有频率fn=2 kHz，单周期冲击信号的时间长度t0=0.01 s。仿真信号如图1所示。

图1 仿真信号时域和频域图(截取局部)

基于形态梯度提取冲击脉冲和降噪的优点，以及结合Hilbert包络具有解调出调制信号的能力，提出滚动轴承故障诊断流程如图2所示。

图2 滚动轴承故障诊断流程

基于峭度最大和歪度最小，即综合指标K=k－|s|最大为最佳滤波指标。采取膨胀－腐蚀形态梯度(考虑膨胀－腐蚀梯度提取效果优于闭－开梯度［2］)，滤波后的结果如图3所示。从图3可看出，当结构元素长度为7时综合指标取得最大值。取L= 7，即结构元素长度为7，得到形态梯度滤波后的时域、频域的结果，如图4所示。图5为形态梯度后的Hibert包络及其包络谱图。

图3 结构元素长度对形态滤波的影响

图4 形态滤波后的时域和频谱图

图5 形态梯度后的Hilbert包络及其包络谱

3.2 本文方法与EMD包络解调方法的比较

为了对形态梯度－Hilbert包络解调方法的优点进行验证，采用峭度和特征频率平均幅度来衡量两种方法提取冲击成分能力的大小。其中特征频率平均幅度定义为:

式中:FCi(i=1，2，3，4)为频谱图中特征频率i倍频的幅值。

先采用EMD包络解调法进行分析，如图6、7所示。比较两种方法计算得到的特征频率平均幅度，如表1所列。

图6 EMD得到的imf 2分量的时域和频域图

图7 imf2分量包络及其包络谱

表1 两种方法冲击特征提取能力的比较

4 工程实例

为了验证形态梯度和Hilbert包络方法提取周期性冲击故障的可行性和有效性，采用美国西储大学轴承外圈缺陷的实验数据进行实例分析。实验轴承为6205－2RS JEM SKF深沟球轴承，实验用的电机转速为1 797 r/min，电火花加工裂痕，故障直径为0.177 8 mm，采样频率为12 K，采样时间为10 s。时域、频域图如图8所示。

图8 轴承外圈故障的振动信号时域、频谱图

滚动轴承外圈的特征频率理论计算如式(16):

式中:内圈的旋转频率fn=N/60;d为滚动体直径;D为轴承节圆直径;α为接触角;Z为滚动体个数;计算得到外圈的故障特征频率fo=107.364 8 Hz。

从图8可看出，传统的频谱分析方法在频域内被其他信号成分和背景噪声的频率结构信息覆盖淹没。幅值调制现象(相对固有频率，调制特征频率一般是低频)无法从原始频谱图看出来，所以我们用笔者得出的方法进行特征提取。根据峭度、歪度和综合指标值曲线，选取扁平结构元素的长度为5，此时综合指标最优，进行形态梯度滤波。得到滤波后的时域波形，再进行Hilbert包络变换，最后得到FFT频谱。图9为形态梯度－Hilbert包络后的结果。由此可知，该特征提取方法得到的外圈故障特征频率为107.8 Hz (2倍频为215.5 Hz，3倍频为323.3 Hz)，这与理论值107.364 8 Hz的误差在0.5%范围内，故笔者所提出的方法可行且实用。

图9 形态梯度－Hilbert包络后的时域、频谱图

5 结语

通过该方法与EMD包络解调法进行比较，该方法的优点突出表现为涉及的形态学算法复杂度底，时间消耗少，容易硬件实现，以便于实际应用;提取故障特征更明显;形态梯度后的解调谱不会出现Hilbert解调时出现的误判［7］。

［1］ 雷文平，韩 捷.小波－能量算子解调法的滚动轴承故障诊断［J］.武汉理工大学学报，2008，30(5):128－131.

［2］ 章立军，杨德斌，徐金梧，等.基于数学形态滤波的齿轮故障特征提取方法［J］.机械工程学报，2007(2):71－75.

［3］ 李 兵，张培林，米双山，等.机械故障信号的数学形态学分析与智能分类［M］.北京:国防工业出版社，2011.

［4］ 刘 刚，屈梁生.提取机械信号中弱冲击成分的研究［J］.机械工程学报，2002(6):152－155.

［5］ 张盈盈，潘宏侠，郑茂远.基于小波包和Hilbert包络分析的滚动轴承故障诊断方法［J］.电子测试，2010(6):20－23+56.

［6］ McFadden P D，Smith J D.Vibration Monitoring of Rolling Element Bearings by the High Frequency Resonance Technique－a Review［J］.Tribology International，1984，17(1):3－10.

［7］ 陈泽鑫.小波基函数在故障诊断中的最佳选择［J］.机械科学与技术，2006，24(2):172－17.