n阶α次积分C半群

张明翠，宋晓秋，黄翠

（中国矿业大学理学院，江苏 徐州 221116）

n阶α次积分C半群

张明翠，宋晓秋，黄翠

（中国矿业大学理学院，江苏 徐州 221116）

在Banach空间上将α次积分C半群与α次积分C余弦算子函数进行了推广，引入了n阶α次积分C半群及其次生成元的定义，得到它与次生成元的关系，研究了它的基本性质.讨论了n阶α次积分C半群与高阶抽象Cauchy问题解的关系.

n阶α次积分C半群；次生成元；抽象Cauchy问题

1 引言

Banach空间上的线性算子理论是处理抽象Cauchy问题的重要工具，它在抽象分析及应用数学的各个方面都有重要作用.DeLaubenfels[1]对C半群与积分半群作了一个总结.Kellermann与Hieber[2]指出非稠定的Hille-Yosida算子生成局部Lipschitz连续的一次积分半群，并证明了Öer算子iΔ生成Lp(ℝ)(1≤p≤∞)上的积分半群.Hieber[3]将α次积分半群用于研究空间Lp(ℝn)，B⋃C(ℝn)与Cb(ℝn)中的微分算子的Cauchy问题.Li与Shaw[4]从函数方程和一个相关适定性抽象柯西问题方面讨论了α次积分C半群的性质.刘敬怀和宋晓秋[5-6]证明了在Banach空间中一些合适的假设条件下半线性演化方程的加权伪概周期温和解的存在唯一性.那么，对于n阶α次积分C半群，是否也有类似于α次积分C半群与α次积分C余弦算子函数的性质呢？本文给出了其定义及与高阶抽象Cauchy问题解的关系，并给出了证明.

在全文中，ℕ,ℝ,ℂ分别表示自然数集、实数集和复数集；X为无限维的复Banach空间，B(X)是X上有界线性算子全体所成的Banach代数.

Jβu(t)表示u∈C([0,+∞),X)的β次积分，即

易知u=0当且仅当存在β＞0使Jβu(t)=0,t≥0.

2 n阶α次积分C半群

定义2.1设n∈ℝ，α≥0，C∈B(X)是单射，{T(t)}t≥0⊂B(X)强连续.若存在闭线性算子A使得

3 n阶α次积分C半群与抽象Cauchy问题

当t=0时，ρ(0)=0.所以ρ(t)是(3)式的解.

最后同(i)的方法证方程(3)解的唯一性.

[1]deLaubenfels R.Integrated sem igroups,C-semigroupsand the abstractCauchy problem[J],Semigroup Forum,1990,41∶83-95.

[2]Kellermann H,HieberM.Integrated sem igroups[J].Funct Anal,1989,84∶160-180.

[3]HieberM.Laplace transform andα-times integrated C-sem igroups[J].Forum Math,1991(3)∶5961-612.

[4]LiY C,Shaw SY.N-times integrated C-sem igroupsand the abstractCauchy problem[J].Taiwan-ese JMath,1997(1)∶75-102.

[5]Liu JH,Song X Q.Almost Automorphic and Weighted Pseudo almost Automorphic Solutions of Sem ilinear Evolution Equations[J]. Journal of Functional Analysis,(2010),258,196-207.

[6]Liu JH,Song XQ.Weighted Pseudo almost Periodic Mild Solutionsof Semilinear Evolution Equationswith Nonlocal Conditions[J]. App lied Mathematicsand Computation,2009,215,1647-1652.

[7]宋晓秋.应用泛函分析[M].徐州：中国矿业大学出版社，2013：80-81.

n-th Orderα-Times Integrated C-Semigroups

ZHANGMing-cui,SONG Xiao-qiu,HUANG Cui
(School of Science,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China)

This paper extendsα-times integrated C-sem igroups andα-times integrated C-cosine operator functions in Banach space,and presents the notion of n-th orderα-times integrated C-semi-groups and its sub-generators,and then the authors of the paper get the connections with its sub-generator and study its basic properties.At last,the paper investigates the connections between n-th orderα-times integrated C-semigroups and the solution of high order abstract Cauchy problems.

n-th orderα-times integrated C-sem igroup;sub-generator;abstract Cauchy problems

O177.2

A

1008-2794（2014）04-0033-05

2013-12-27

中国矿业大学理学院高水平论文专项基金（2012LWB53）

张明翠，2011级硕士研究生，研究方向：应用泛函分析，E-mail∶m ingcuizhang@cumt.edu.cn.