含区间参数的结构-声耦合系统可靠性优化设计

王 冲， 邱志平， 吴 迪， 王晓军

(1.北京航空航天大学固体力学研究所， 北京 100191；2.中国运载火箭技术研究院研究发展中心， 北京 100076)

引 言

振动和噪声控制是工程设计时经常要考虑的重要方面，通常希望降低有害振动和噪声的幅值以提升系统的安全性和舒适性。复合材料结构因为其比强度高、比刚度大、材料性能可以设计等一系列优点，在航空航天、船舶、汽车等工业部门有着广泛的应用。近年来，国内外对于复合材料层合板的声振环境预测的研究越来越多，Yin研究了双周期平行加肋复合材料层合板在点激励以及无限流体加载下的声辐射问题[1]。文献[2]采用复合材料结构有限元和体边界元耦合分析方法，研究了复合材料层合板结构的声特征值问题。Jeyaraj提出在热环境下，通过考虑材料固有阻尼来研究复合材料层合板振动和声学响应特性[3]。对结构声学优化的研究，目前主要局限于壳类结构。文献[4]基于矩形结构-声场耦合有限元模型，对加强筋进行了拓扑优化设计，降低了设计域点的声压级。Marburg对基于边界元法的结构声学优化的目标函数、设计参数及声学敏度进行了详细的描述，提出了一种称为“半分析敏度”的声敏度计算公式[5]。文献[6]对夹芯复合材料的声辐射优化问题进行了研究，Xu研究了复合材料层合板的声学特性，并利用拓扑手段对结构进行了优化设计[7]。

在实际工程当中，材料物理参数和边界条件不可避免地受到多种不确定性因素的影响，由此引起结构振动声辐射呈现一定程度的不确定性。Bhat研究了机身结构在湍流边界层作用下的声辐射内场问题，并提出了相应的降噪措施[8]。Liu给出了基于有限-边界元方法和虚拟激励原理的随机结构振动声辐射灵敏度问题解决方法[9]。在高频域阶段，Culla用概率的方法研究了随机参数对功率流平衡方程的影响[10]。

随机结构系统的理论分析和数值计算已取得了丰富的研究成果。但是，在实际工程中，获得足够的不确定信息来确定参数的概率特征往往比较困难或代价昂贵，而区间模型只需要通过较少的信息获得变量的上下界，故在不确定性建模方面体现了很好的方便性和经济性[11]。针对含有区间参数的结构静动力问题，Qiu提出了摄动法、顶点法等有效的数值计算方法[12，13]。同时，区间结构系统的可靠性分析也逐步引起了国内外学者的重视[14,15]。

从目前的研究成果来看，研究不确定结构振动声辐射的文献十分有限，并且主要集中在随机分析领域。另外，复合材料声学优化的研究才刚刚起步，而不确定声学优化设计领域还是一片空白，因此还有不少问题值得进一步探索。鉴于此，本文所研究内容将综合考虑耦合系统自身和载荷的不确定因素，用区间理论对不确定性进行定量化，提出新的不确定结构振动声辐射分析方法。在此基础上，建立了结构-声耦合系统的区间可靠性优化模型及算法。

1 结构-声耦合系统有限-有限元方程

针对图1所示的结构-声耦合内场问题，从Helmholtz方程入手，根据变分原理[16]，容易推得具有弹性边界声场的有限元方程为

(Ka+jωCa-ω2Ma)P=ρω2SUs

(1)

式中Ka，Ma，Ca分别为声场的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵；S是为处理边界面上结构单元与声场单元不一致性所引入的耦合矩阵；Us为结构节点位移幅值向量;j为虚数单位。

图1 结构-声场耦合系统示意图

充分考虑内部声压对结构的反作用，则在频域下结构的有限元运动方程表示为

(Ks+jωCs-ω2Ms)Us=Fs+Fa

(2)

式中Ks，Ms为结构的总刚度矩阵和质量矩阵；Fs为施加于结构上的外力；Fa为声场作用于结构上的广义力。

设虚位移为δUs，则声压作用在整个结构上的虚功δW满足

(δUs)TFa=δW=(δUs)TSTP

(3)

因此，利用虚功原理容易推得声压作用在整个结构上的等效力向量为

Fa=STP

(4)

将式(4)代入式(2)，并联合式(1)，可以得到结构-声耦合系统的有限-有限元方程

(-ω2M+jωC+K)U=F

(5)

Kcouple=-ST。

其中，Mcouple和Kcouple分别为耦合质量矩阵和耦合刚度矩阵，正是由于这两个矩阵的存在，导致了式(5)中质量和刚度矩阵的不对称性，增加了求解的难度。

2 结构-声耦合系统区间分析方法

引入向量α=(αi)m来表示结构-声耦合系统本身及外载荷的相关参数，因此式(5)可以改写为

[-ω2M(α)+jωC(α)+K(α)]U(α)=F(α)

(6)

上式左右两端对参数αk求一阶导数，通过移项整理，可以得到系统结构-声耦合响应的灵敏度计算公式

(7)

对于许多工程问题，普遍存在着与材料性质、载荷、边界条件等有关的误差或不确定性。获得足够的不确定性信息来表述其概率特征往往显得非常困难或成本过高，然而通过较少信息获得不确定参数区间上下界却是容易实现的。根据区间数学理论可知，有界不确定参数向量α一定属于某一区间向量，即

(8)

(9)

对于非线性函数，由区间运算带来的区间扩张问题往往比较严重。鉴于此，这里借助于改进的区间泰勒展开方法[17]，可以快速准确地确定耦合系统响应，最大程度地抑制区间扩张。

首先，通过空间近似曲面的导轨生成方式得到非线性函数U(α)的近似表示

(10)

其中

j=1,2,…,m

(11)

然后，借助于灵敏度分析公式(7)，容易得到响应函数U(α)在α∈αI条件下的区间上下界

(12)

3 区间可靠性优化设计

传统的优化设计考虑的都是结构尺寸、材料特性及外载荷等系统参数取某一确定值情况下的最优解，其数学模型可以表示为

式中x=(xi)k为设计变量集合。

由于材料的物理特性、力学性能和测量精度的差异，系统参数往往存在不确定性。为尽可能降低各种不确定性对产品质量的影响，设计者应在设计阶段就预测可能发生的变化，并采取相应的主动控制措施，从而提高结构的使用安全性和稳定性，对应的优化模型为

(14)

式中α=(αi)m为系统不确定参数向量，Poss为函数概率算子，ηj∈{ηj|0≤ηj≤1}为可靠性指标。

Poss(AI>BI)=

(15)

(16)

其中

(17)

通过上面的数学转换模型，对约束函数进行可靠性处理，则具有区间参数的不确定性优化问题转化为一嵌套优化问题。外层优化用于设计向量x的寻优，而内层优化则用于计算不确定约束条件关于系统参数αI的极值，如式(17)所示。对于设计变量的每一组迭代值x，内层优化需要对α进行多次迭代得到gj(x,αI)的上下界，由此导致的计算量相当大。而借助于第2节中改进的区间泰勒展开方法，只需进行一次计算就可以近似得到系统响应gj(x,αI)关于区间参数αI的极值，从而避免了区间优化中的内层优化，变两层嵌套优化问题为常规的单层优化问题，从而大大提高了优化计算效率。

4 数值算例

4.1 模型概述

图2 复合材料飞机弹舱模型

考虑如图2所示的一个飞机弹舱模型，B，C，F，G四点固支，四周由同一种复合材料层合板围成封闭空间，构成了一个结构-声场耦合系统。初始设计中，复合材料板结构共铺5层，铺层厚度均为2.0 mm，分别定义为ti(i=1,…,5)；对应的初始铺层角度为-90°，-45°，0°，45°，90°，分别定义为θi(i=1,…,5)。在结构响应计算中，各向异性材料弹性模量参数为：E11=135.6 GPa，E22=9.9 GPa，G12=G13=G23=4.5 GPa，密度ρ1=1.9×103kg/m3。在声学响应计算中，空气的相关参数为：体积模量E=0.142 MPa，密度ρ2=1.225 kg/m3，声速c=340 m/s。在底板中心位置作用有50 N的简谐激励，选取声场内前中后3个点作为观测点，设定分析带宽为1～300 Hz，步长为2 Hz。通过确定性结构-声场耦合分析得知该耦合系统的前两阶特征频率出现在190和226 Hz附近。在本文的优化模型中，选取观测点在头两阶特征频率附近的平均声压级Pave作为优化目标，结构质量M和弹性底板的自振基频Eig作为约束条件，即

minPave

s.t.M≤14.8 kg

Eig≥15.0 Hz

(18)

实际问题中，由于材料的初始缺陷和测量误差，属性参数α=(E11,G12,G13,G23,ρ1,E,ρ2,c)T均是不确定的，不妨设在其标称值附近存在10%的摄动，即α∈[0.9α0,1.1α0]。利用Nastran和Isight商用软件，基于本文提出的区间有限元分析方法和区间可靠性优化模型，采用模拟退火算法，分别对复合材料的铺层角度、铺层厚度进行优化，然后对角度和厚度进行集成优化，并与安全因子为1.2的确定性优化结果进行比较分析。

4.2 铺层角度优化

在复合材料的铺层角度优化中，定义各铺层角度设计变量的约束条件为-90°≤θi≤90°，由于角度的变化不会引起结构质量的改变，因此考虑参数区间不确定性的铺层角度优化模型变为

minPave

s.t.Poss(Eig(α,θ)≥15.0 Hz)≥η

-90°≤θi≤90°，i=1,…,5

α∈αI=[0.9α0, 1.1α0]

(19)

对于不同可靠度指标η，铺层角度的优化结果如表1所示。由表1可以看出，所提出的不确定可靠性优化思想由于在其模型建立阶段就充分考虑了系统不确定参数的影响，因此与安全因子为1.2的确定性优化相比，可以取得更好的降噪效果。另外，要满足更高的可靠性指标，就要牺牲一定的目标函数。

表1 铺层角度优化结果

4.3 铺层厚度优化

在复合材料的铺层厚度优化中，定义各铺层厚度设计变量的约束条件为0.2 mm≤ti≤2.0 mm，与铺层角度优化不同的是，除了满足自振基频的约束外，还需满足质量要求，即

minPave

s.t.Poss(M(α,t)≤14.8 kg)≥η

Poss(Eig(α,t)≥15.0 Hz)≥η

0.2 mm≤ti≤2 mm，i=1,…,5

α∈αI=[0.9α0,1.1α0]

(20)

不同可靠度指标下铺层厚度的优化结果如表2所示。再次证明，与确定性优化相比，本文所建立的可靠性优化模型可以取得更好的降噪效果。与表1对比，可以看出复合材料层合板铺层角度的降噪效果比较明显，这与材料的各项异性程度有关。

表2 铺层厚度优化结果

4.4 铺层厚度、铺层角度集成优化

同时进行铺层角度和铺层厚度的集成优化，优化模型为

α∈αI=[0.9α0, 1.1α0]

(21)

当可靠性指标η=0.8时，目标函数的迭代历程如图3所示。在可行域内迭代了50步后满足收敛条件。具体优化结果如表3所示。可知，通过对复合材料层合板铺层厚度和铺层角度的集成优化，其优化效果比单独优化更加明显。

5 结 论

本文将区间分析方法和可靠性优化思想相结合，对含有不确定参数的复合材料结构-声场耦合系统的响应分析及优化设计问题进行了讨论，提出了求解系统响应范围的区间有限元分析方法，建立了不确定声学的区间可靠性优化模型及算法，兼顾了耦合系统自身参数及外载荷的非概率不确定性，克服了传统嵌套优化计算效率低下的问题。复合材料弹舱模型的优化结果表明，在初始设计阶段充分考虑系统参数的不确定性，在满足可靠性约束的前提下，可以取得更好的降噪效果。由于材料的各向异性特性，层合板铺层角度对声学特性产生较大影响，这是同一般结构材料的重要区别。但需要注意的是，本文忽略高阶小量来近似得到系统响应范围的处理方法仅适用于不确定参数数量较少，变化幅度较小的情况。另外，本文仅仅以安全因子1.2为例进行了确定性优化设计，以验证所提出优化模型的优越性。如何合理的选取安全因子，使其不至于过于保守， 也是未来声学可靠性分析和优化的一个重要方面。

图3 平均声压级迭代曲线

表3 铺层角度和厚度集成优化结果

参考文献：

[1] Yin X W, Gu X J. Acoustic radiation from a laminated composite plate reinforced by doubly periodic parallel stiffeners [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 306: 877—889.

[2] 洪明,陈浩然.水中含分层损伤复合材料层合板的声特征值研究[J].船舶力学, 2001, 5(5): 56—65.Hong Ming, Chen Haoran. Investigation on acoustic eigenproblems of submerged laminated plate with delamination [J]. Journal of Ship Mechanics, 2001, 5(5): 56—65.

[3] Jeyaraj P, Ganesan N. Vibration and acoustic response of a composite plate with inherent material damping in a thermal environment [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 320(1/2): 322—338.

[4] Luo J H, Gea H C. Optimal stiffener design for interior sound reduction using a topology optimization based approach [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2003, 125(7): 267—272.

[5] Marburg S. Efficient optimization of a noise transfer function by modification of a shell structure geometry-Part 1: Theory [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001, 24(5): 51—59.

[6] Denli H, Sun J Q. Structural-acoustic optimization of sandwich cylindrical shells for minimum interior sound transmission [J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 316: 32—49.

[7] Xu Z S, Huang Q B, Zhao Z G. Topology optimization of composite material plate with respect to sound radiation [J]. Engineering Analysis with Boundary Element, 2011, 35: 61—67.

[8] Bhat W V, Wilby J F. Interior noise radiated by an airplane fuselate subjected to turbulent boundary layer excitation and evaluation of noise reduction treatments [J]. Journal of Sound and Vibration, 1971, 18(4): 449—464.

[9] Liu B S, Zhao G Z. PEM based sensitivity analysis for acoustic radiation problems of random responses [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2010, 132(2): 021012.

[10] Culla A, Sestieri A, Carcaterra A. Energy flow uncertainties in vibrating systems: definition of a statistical confidence factor [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2003, 17(3): 635—663.

[11] Impollonia N, Muscolino G. Interval analysis of structures with uncertain-but-bounded axial stiffness [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, 220: 1 945—1 962.

[12] Qiu Z P, Chen S H, Elishakoff I. Bounds of eigenvalues for structures with an interval description of uncertain-but-non-random parameters [J]. Chaos Solitons & Fractals, 1996, 7(3): 425—434.

[13] Qiu Z P, Xia Y Y, Yang J. The static displacement and the stress analysis of structures with bounded uncertainties using the vertex solution theorem [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2007, 196: 4 965—4 984.

[14] Du X P. Reliability-based design optimization with dependent interval variables [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2012, 91(2): 218—228.

[15] Li F Y, Luo Z, Sun G Y. Reliability-based multiobjective design optimization under interval uncertainty [J]. Cmes-Computer Modeling in Engineering & Sciences, 2011, 74(1): 39—64.

[16] Fahy F J. Sound and Structural Vibration [M]. Orlando : Academic Press Inc, 1987.

[17] Chen S H, Ma L, Meng G W, et al. An efficient method for evaluating the natural frequency of structures with uncertain-but-bounded parameters [J]. Computers & Structures, 2009, 87(9/10): 582—590.

[18] 张全,樊治平,潘德惠.不确定性多属性决策中区间数的一种排序方法[J].系统工程理论与实践, 1995, 5: 129—133.Zhang Quan, Fan Zhiping, Pan Dehui. A ranking approach for interval numbers in uncertain multiple attribute decision making problems [J]. Systems Engineering-Theory & Practice, 1995, 5: 129—133.