3/6-SPS并联机构刚度和弹性变形的解析法分析*

叶 勇，康 亮

(重庆电子工程职业学院机电学院，重庆 401331)

0 引言

并联机构刚度是机构平台在外力作用下，由于弹性元件的变形引起的位移大小的度量，反应了机构抵御变形的能力，刚度性能不仅对机构的动态特性有影响，而且决定了负载作用下机构的定位精度，更高的刚度允许更高的加工速度［1］。因此在初始设计阶段，分析并联机构的刚度和弹性变形很重要［2-3］。

对于少自由度并联机构的刚度，许多学者也做了研究。JOSHI等［4］分析和比较了Tricept机构和3-UPU机构的刚度模型。

HUANG等［5］对一种tripod-based并联机构进行了刚度分析。

LI［6］等分析了3-PUU机构的刚度。

韩书葵等［7］用螺旋理论建立了一种新型4自由度并联机构的刚度模型。

张勇等［8］建立3自由度可约移动并联机构3-PPRR的刚度模型。

李剑锋等［9］对具有大位置空间的2PUS-PU3自由度并联机构刚度进行了分析。

笔者以3/6-SPS并联机构为研究对象，通过解析方法研究分支刚度伴随矩阵和弹性变形，从而求解机构总的刚度矩阵和弹性变形，并分析机构刚度和位姿、广义六维力之间的关系。

1 3/6-SPS并联机构刚度和弹性变形

1.1 3/6-SPS并联机构及其受力情况

图1所示为3/6-SPS并联机构简图及其受力情况图。

由文献［4］中并联机构中的约束力位置和方向的约束情况可知3/6-SPS并联机构中既不存在约束力，也无约束力矩。3/6-SPS并联机构由动平台m、静平台B以及6个SPS分支构成，每个分支通过两个球副S连接与m和B，分支上有能够使驱动分支伸长或缩短的驱动副-移动副P副，其结构简图和受力情况如图1所示。整个工作载荷被简化为作用在动平台m的，上的广义六维力(F，T)，(F，T)平衡于机构本身产生的6个驱动力力Fai(i=1，2，3…6)。驱动力Fai沿着ri作用在ri上的Bi上。设{B}为静平台B中心点O处的坐标系O-XYZ。

基于虚功原理，从参考文献［5］中导出3/6-SPS的静力学方程为:

式中:J是一个 6×6 的雅克比矩阵，δi(i=1，2，3…6)是驱动力方向的单位矢量，方向沿ri，ei是从o到bi的矢量。

图1 3/6-SPS并联机构简图及其受力情况

1.2 3/6-SPS分支r i的伴随矩阵和弹性变形

为了便于计算先做如下假设:

(1)连续性假设:认为组成固体的物质毫无间隙地充满了固体的几何空间;

(2)均匀性假设:认为从构件内任取一部分，不论体积大小如何，其力学性能完全相同;

(3)各项同性假设:认为固体在各个方向上的力学性能完全相同;

(4)弹性小变形条件:固体因外力作用而引起的变形，限于变形的大小远远小于构件原始尺寸的情况，且在外力解除后又可恢复原状;

(5)不考虑各转动副处的变形和间隙;

(6)动平台比各链杆的尺寸大很多，其变形远远小于杆的变形，为计算动平台上中心点变形及协调关系，假定动平台为刚体。

并联机构中每个SPS分支只受轴向力作用而产生拉压弹性变形，因此可以将各个分支看成是只受拉压作用的二力杆。设定如下参数:r1i，B1i，I1i为分支活塞的长度，截面积和惯性矩;r1i-r1i，B2i，I2i为分支液压缸的长度，截面积和惯性矩;Ei为分支ri的弹性模量。当每个驱动力Fai(i=1，2，3)沿着ri作用在驱动分支ri上时，分支上产生的轴向弹性微变形δai(如图2所示)为:

图2 SPS分支在驱动力F a i作用下的轴向变形

kai是SPS分支的轴向刚度，其推导过程参见文献［6］。由式(2)可导出分支的力变形方程为:

式中:Kp是3/6-SPS并联机构驱动分支ri的一个6×6的伴随矩阵。

1.3 3/6-SPS并联机构的总刚度矩阵和弹性变形

根据虚功原理［7-8］有，(Fa1，Fa2，Fa3，Fa4，Fa5，Fa6)沿并联机构变形产生的虚功总量与由广义六维力(F，T)沿在{B}里的点o的变形产生的虚功之和为0，如式(5)所示。令(d Xo，d Yo，d Zo)为{B}里 m弹性微变形的 3个线位移分量，(dφx，dφy，dφz)为{B}里m弹性微变形的3个角位移分量。

结合式(1)可得:

由式(1)～(6)可得到:

令K= ( - JTKpJ)为并联机构的广义刚度矩阵，K是6×6对称矩阵，则它的逆阵K-1必然存在。当给定输入的外载荷时，已知机构的雅克比矩阵J与Kp也就确定下来，动平台中心点处的变形便可由式(8)解得:

2 3/6-SPS并联机构弹性变形算例对比分析

在3SPS并联机构中，令初始独立姿态变量(α，β，γ，Xo，Yo，Zo)随时间 t变化趋势如图3(a)、(b)所示。设 L=600 mm，l=600 mm，F=［-2，-3，-6］TkN，T=［6，8，10］TN·m，Ei=2.11×1011Pa，EiI1i=EiI2i=26 502 N·m2，B1i=B2i=0.0013 m2。通过分析相关方程组，可得到ri的伸长量、驱动分支的轴向变形、驱动力以及动平台的最终弹性变形，分别如图3(c)～(g)所示。

综合图3知，机构在10 s内运动过程如下:点o水平方向上沿X、Y轴对角线移动，竖直方向上不断上升，并且动平台的姿态在发生改变，是一个逐渐远离中心位置的过程;而由图3(e)知，机构在此运动过程中，点o的位置偏移幅值do在不断减小，说明机构在远离中心位置时，刚度在增大，显然违背常理。

图3 3/6-SPS并联机构的弹性分析解

为了弄清机构的刚度变化情况，对该机构再规划一段轨迹，施加同样的六维力F=［-2，-3，-6］TkN，T=［6，8，10］TN·m，观察其在这段轨迹的受力和弹性变形情况。令初始独立姿态变量(α，β，γ，Xo，Yo，Zo)随时间t变化趋势如图4(a)、(b)所示，可得到ri的伸长量、驱动力、动平台的最终弹性变形，分别如图4(c)～(f)所示。

由图4(b)所示，机构此段运动过程如下:点o水平方向上沿X、Y轴对角线的负方向移动，与第一次运动方向相背，竖直方向上不断上升，并且动平台的姿态在发生变化，也是一个逐渐远离中心位置的过程;而由图4(d)～(f)知，机构在此运动过程中，o点的位置偏移幅值do在不断增大，角度变化幅值dfo也在不断增大，符合常理。机构在远离中心位置时，刚度在减小，变形在增大。

图4 第二种工况下3/6-SPS并联机构的弹性分析解

仔细对比两段运动过程中的受力和弹性变形情况，可看到，第一种工况时机构分支的驱动力幅值基本随时间减小，第二种工况时驱动力的幅值基本随时间增大。而驱动力的作用直接影响各个分支的弹性变形情况，即第一种工况时各个分支的变形均随时间减小，第二种工况时各个分支的变形随时间不断增大，而分支变形又和动平台的位姿变化密切相关，分支变形越小，动平台位姿变化越小，由此可以解释第一段轨迹不合常理，第二段又符合常理的原因。

3 结语

通过求解3/6-SPS并联机构中的驱动分支的弹性变形，导出驱动/约束分支的伴随矩阵，根据驱动分支的6×6雅克比矩阵和伴随矩阵，导出3/6-SPS并联机构的总刚度矩阵和弹性变形。3/6-SPS并联机构的刚度随着动平台的位姿变化而变化，一般情况下机构在中心位置时刚度较大，当机构逐渐远离中心位置时，刚度会逐渐减小，动平台位姿变形会增大，但并不是对所有的情况均成立。机构的刚度和机构的位姿、所受广义六维力有密切关系，即使是在同一位姿下的同一个机构，受不同方向的力作用时，其刚度性能不一致;而受到相同力作用的同一机构，在不同位姿下，其刚度性能也不尽相同。研究并联机构的弹性变形，必须理清刚度和位姿、广义六维力之间的关系。

此外，用解析法建立本文并联机构刚度模型时，仅考虑连杆和驱动关节等组件弹性的影响，所建模型缺乏一定的完备性，势必会影响刚度预测的精确度，并且所建模型还缺乏对铰链间隙以及预应力影响的考虑，因此很多研究内容还需要进一步深入开展。

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