拓扑优化在提高电机底座固有频率中的应用＊

宋志强，史青录，彭万万，陈贯祥

（1.太原科技大学 机械工程学院，山西 太原 030024；2.中北大学 机械工程与自动化学院，山西 太原 030051）

0 引言

电机作为旋转机械设备，在现代生产中扮演着不可或缺的角色，但电机振动时有发生。振动问题往往是多种复杂因素综合造成的，其中电机和底座之间发生共振就是其表现形式之一。当转子达到一定转速时，转轴频率和底座固有频率重合就会发生共振，共振将在电机上产生动载荷，如果在该转速下继续运行下去，必将加速转子、轴承等部件的磨损，从而导致疲劳失效。通过模态分析，可以大致了解底座结构固有频率的分布，经过设计改进，使电机的工作转速尽量避开系统的共振频率区域，以提高电机的使用寿命。

1 有限元前处理流程

建立有限元模型是整个分析过程的关键，合理的模型既能保证计算结果的精度，又不致使计算量太大和对计算机存储容量的要求太高。有限元前处理流程如图1所示。

2 建立底座有限元模型

2.1 单元类型选择

根据底座的形状特征和精度要求，模型全部采用二阶四面体单元，主要考虑以下两点：一是高阶单元的曲线或曲面边界能更好地逼近结构的边界曲线或曲面；二是高阶单元的高次位移函数能更好地逼近结构复杂的位移分布［1］。

2.2 单元属性定义

有限元中的每一个单元除了表现出一定的外部形状外，还应具备一组计算所需的内部特征参数，这些参数用来定义结构材料的性能、描述单元本身的物理特征和其他辅助几何特征等。该模型属性参数为：单元类型Psolid，材料为Steel，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3，密度为7 900 kg／m3。

图1 有限元前处理流程图

2.3 网格质量检查

网格质量是指网格几何形状的合理性。有些网格形状是不允许的，它们会导致单元刚度矩阵为零或负值，使有限元计算出现致命错误，这种网格称为畸形网格。底座结构有限元网格单元质量控制为：纵横比（aspect）的范围为5～6；歪扭角（skew）的范围为60～75；翘曲（warpage）的范围为30～40；雅可比（jacobian）的范围为0.5～0.6；三角形（tria）的范围为20～120；坍塌（tet collapse）的范围为0.15～0.5。

2.4 模型简化和施加约束

为了操作可行性，对模型进行简化处理。由于电机部分弹性体模态不在考虑范围内，故用集中质量单元（CONM2）代替，并用rbe3单元固定在底座支架上。用刚性单元rbe2模拟电机与底座以及底座与地面的螺栓连接，并约束其6个自由度。底座结构有限元模型如图2所示。

图2 底座结构有限元模型

3 底座结构模态分析

3.1 模态分析理论及计算方法

模态分析是确定设计结构或机械零部件的振动特性并得到结构固有频率和振型的过程［2］。有阻尼的N自由度系统的强迫振动运动微分方程可以表示为：

其中：［M］，［C］和［K］分别为系统质量、阻尼和刚度矩阵；｛x″｝，｛x′｝，｛x｝和｛F｝分别为系统各点加速度列阵、速度列阵、位移列阵和激励力列阵。模态分析时，要求解的是固有频率和振型参数，与外载荷无关，即｛F｝＝｛0｝，则得到系统的自由振动方程。在计算系统的固有频率和振型时，结构阻尼的影响很小，可以忽略不计，这时无阻尼自由振动的微分方程为：

其对应的特征方程为：

其中：ωi为系统的第i阶固有频率。N自由度的系统就有N 个固有频率［3］。

3.2 模态分析结果

在Hypermesh中创建模态分析载荷步，利用求解器Radioss进行求解。本模型为有约束的模态分析。模态的振型阶次越高，与该模态频率对应的变形就越小，由于高阶模态对结构的动力学影响很小，并考虑到外部激励多处于低频区域［4］，故底座结构一般关心较低的几阶频率。所求得的底座结构前6阶固有频率见表1，各阶振型如图3所示。

在模态分析结果中，振型的大小只是一个相对的量值（位移相对值），它表征的是各点在某一阶固有频率上振动量值的相对比值，反映该固有频率上振动的传递情况，并不反映实际振动的数值［5］。在振型图中，前两阶振型为沿某一坐标轴的来回摆动；第3阶为弯曲变形；第4和第5阶为弯扭组合；第6阶为局部模态，指模态振型在结构的大部分自由度上接近零（模型大部分保持原状，只在局部发生较大变形），仅在少部分自由度上存在明显的幅值。局部模态对结构响应的贡献几乎为零，因此，对于结构整体动特性和响应分析，可以忽略局部模态的影响。

表1 底座的前6阶固有频率和振型

图3 底座的前6阶模态振型图

4 模型固有频率优化

提高结构刚度是改善结构振动性能的有效措施，通过对结构固有频率进行控制和调整，能有效降低结构的动力响应。对于多自由度系统，避免共振的措施就是不使系统受到扰频等于或接近于系统任一阶固有频率的外力作用［6］。为避免电机系统发生共振，提高其底座的固有频率是行之有效的方法。究竟要提高哪一阶模态的固有频率，要视电机实际的工作转速而定。本文以提高第1阶固有频率为例，阐述优化底座结构固有频率的方法。

4.1 拓扑优化简介

结构拓扑优化是一个在给定设计变量和约束条件下求解目标函数最优化的过程。目标函数、设计变量、约束函数为优化问题的三要素，其主要思想是在给定的设计区域内寻求材料的最优分布问题。经过拓扑优化，可以寻找到结构合理的载荷传递路径，将材料分布在最需要加强的区域，极大限度地提高材料的利用效率，使结构的模态、刚度等性能大幅提升［7］。

4.2 确定设计变量、约束条件及目标

这里采用变密度法，以1阶模态作为对电机系统振动影响最大的模态，因此把提高1阶固有频率设为优化设计的目标。设计变量（Design variables）为组成模型的所有四面体单元的密度值，根据经验，约束响应（Dconstraints）设置为模型体积分数（Volfrac）上限的30%（即优化后体积不超过原底座结构体积30%作为约束），目标（Objective）设置为 Max，模态阶数（Mode number）为1。

4.3 提交计算

设置结果保存路径后，运行Optistruct进行求解。经过21次迭代后，得到最后一次迭代的单元密度云图，见图4。图4中大部分区域的单元密度收敛于1或0，且最大密度值为1，说明优化迭代已进行彻底。频率与刚度及质量相关，提高刚度成为提高频率最直接的方法。红色区域（A处）表示需要加强的区域，可以适当增加厚度、加肋板或改变材质。

图4 材料最优分布云图

4.4 查看频率迭代变化曲线和迭代数据

在结果文件中，打开base＿hist.mvw文件，可以观察频率随迭代次数变化的情况，从中可以计算出频率增加的比例。图5为1阶频率迭代变化曲线，表2为首、末两次迭代数据。

图5 1阶频率迭代变化曲线

由表2可以看出：经过优化处理，第1阶固有频率增加了79.82%（迭代数据表示频率变化率，不同于模态振型图中的固有频率），由此可计算出优化后的第1阶固有频率增加为380.72 Hz；第6阶频率在迭代过程中出现降低的情况，即在优化过程中会优先考虑某些因素，这是允许的。由此可知，只要处理得当，可以明显提高底座结构的第1阶固有频率，使其避开电机的工作频率，从而有效控制共振的发生。

表2 首、末两次迭代数据

5 结论

（1）通过模态分析，得到了电机底座低阶振动固有特性，并可以动态、直观地观察每阶振型的变化。

（2）优化后第1阶固有频率提高了79.82%，其他几阶固有频率也有不同程度的提高，避开了可能发生共振的频率。

（3）优化结果显示了满足设计要求的材料最优分布，为电机底座的最优设计提供了参考，体现了拓扑优化方法在机械零部件初始设计过程中的应用价值。

［1］ 曾攀.有限元分析及应用［M］.北京：清华大学出版社，2003.

［2］ 李瑞虎，王凯，谢国灿.基于ANSYS的平面凸轮有限元模态分析［J］.机械传动，2006，30（6）：61－63.

［3］ 翟文波.基于ANSYS技术的直线振动电机模态分析［J］.微电机，2011，44（4）：29－31.

［4］ 宋桂霞.某大客车车架结构模态分析［J］.计算机辅助工程，2011，20（2）：24－27.

［5］ 袁安富，陈俊.ANSYS在模态分析中的应用［J］.设计与研究，2007（8）：79－82.

［6］ 侯之超，郑兆昌.关于线性系统避免共振的条件［J］.振动与冲击，1997，16（3）：15－20.

［7］ 张鹏飞，董瑞强.拓扑优化在白车身概念设计中的应用［J］.汽车技术，2010（7）：55－58.