对圆周七等分及作正七边形的计算

曲焱炎，栾英艳，何蕊，李平川

哈尔滨工业大学机电学院，黑龙江哈尔滨 150001

对圆周七等分及作正七边形的计算

曲焱炎，栾英艳，何蕊，李平川

哈尔滨工业大学机电学院，黑龙江哈尔滨 150001

在工程施工和现场操作中总会遇到圆周七等分的问题。高等教育课程在几何作图这一节给出了圆周七等分的画法。但课本仅给出了作图方法，而对原理未作解答。在此利用对称原理、勾股定理、余弦定理和切割线定理，推算出教材中近似圆周七等分各弦长的解，并比较了各段弦的近似值与真实值的误差，对圆周七等分作图法进行了证明计算。

几何作图；等分圆周；七等分；弦长；近似正七边形

在对平面图形的表达中，经常会出现正五边形、正七边形画法等问题。使工程人员学会正n边形的画法，是对其画图技能的基本要求。

部分教材［1-2］给出了正七边形的画法，一些文章对等分结果给出了粗略的解答［3-5］，卞振兴［6］更是从数学理论角度分析了正七边形的近似性。本文在给出正七边形作法之余，在此就其作图依据给出证明计算。

1 圆周七等分（正七边形）作法

圆周七等分做法如图1所示，具体步骤如下。

1）将直径AB七等分，等分点为S1、S2、S3、S4、S5、S6。

2）以B为圆心，AB为直径画圆，与AB垂直的直径延长线交于M、N两点。

3）连接MS2、MS4、MS6并延长分别交圆周于K1、K2、K3，连接NS2、NS4、NS6并延长，分别交圆周于K4、K5、K6。A点即为K7。（连线与圆周相交时，M、N只能同时连接直径上偶数点或者奇数点，就是隔一个点连一条线与圆周相交得到七等分的一个点）。

4）所交的圆周上字母的点即为圆的七等分点，顺次连接各点就得到圆内接正七边形。

图1 圆周近似七等分作法示意

2 求圆周七等分作法中各弦长

根据高斯定理可知，对于n＝7的正n边形，不可能由尺规作图得出［7］。所以上述作法，只能是圆周的近似等分法，以下通过计算分析这种作法的误差。

如果圆周为七等分，如图2所示，其对应的弦长（设半径为单位长度1）l2应为

图2 正七边形

如图3所示，根据对称性分析，M、N点是关于直径AB对称的，所以有K1K7＝K7K6，K1K2＝K6K5，K5K4＝K2K3，K5B＝K3B。

图3 近似正七边形各弦长求解

2.1 计算K1K7的弦长

1）求OM和MA的长。

如图3所示，以B为圆心，以AB＝2为半径作圆弧交CD延长线于M点，∠MBO＝60°（由于AB＝MB，OB＝1／2AB）。因而有

可得出△MBA是等边三角形，MA＝2。

2）求AK1长。

若求AK1（即K1K7）长，必须知道cos∠AMK1、MA、MK1的值。因为MA已求解，需求cos∠AMK1和MK1的值。

在△MS2A中

4）求K1K7弦长及与真实值误差。

2.2 计算K1K2的弦长

如图3所示，过O点作OF垂直MK2。若求K1K2弦长，需知MK1，MK2，cos∠K1MK2。MK1已求出，现需求MK2和cos∠K1MK2值。

1）求MK2的值。

2.3 求K2K3的弦长

如图4所示，过O点作OG垂直K2K3。

若求K2K3的长，需知MK2、MK3和cos∠K2MK3。MK2已知，这里要求出MK3、cos∠K2MK3。

1）求MK3。

图4 K3K4弦长求解

2）求cos∠K2MK3的值。

3）求解K2K3。

由图4可知：

2.4 求K3K4弦长

3 证明分析

在很多文献和教材均给出了正七边形的画法［8］，却没说明这只是近似画法。根据以上计算可以看出文中画法弦长误差值在±2%以内，所以文中的做法不失为画七边形的一种好方法。表1给出了文中画法的各弦长度与真实弦长的误差。

表1 近似作法弦长与真实弦长比较结果

4 结束语

画法几何、机械制图是给刚刚进入大学的新生开设的技术基础课，几何作图也是大一学生学习制图的第一节课。为了学生学习的承接性，文中证明过程采用了初等几何和高中解析几何的一些方法。本文为学生的自学提供很好的参考，学生在学习画法的同时，参考本文即可掌握作图理论依据。

［1］袭建军，王熙宁.画法几何及机械制图［M］.哈尔滨：黑龙江教育出版社，2009，7：15-16.

［2］李利群.工程图学［M］.哈尔滨：黑龙江教育出版社，2009：15-16.

［3］贺健琪.关于圆周七等分的尺规作图探究［J］.陕西教育：高教版，2011（9）：103.

［4］丛培兰.用规尺法七等分圆周和画正七边形的方法［J］.科技信息：科学教研，2008（8）：261.

［5］刘新，孟昭玉.正五边形和正七边形的简化画法［J］.职业技能培训教学，1997（3）：30-31.

［6］卞振兴，国起.正七边形与单形的位似距离［J］.长春大学学报，2011（2）：64-66.

［7］郭海云.新课程标准下的尺规作图问题［D］.西安：西北大学，2013：8-9.

［8］赵晓运.正多边形画法的分析与创新启示［J］.价值工程，2012（4）：24-25.

Calculations for dividing seven equal parts of a circle and a construction method of an approximate regular heptagon

QU Yanyan，LUAN Yingyan，HE Rui，LI Pingchuan
School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China

The problem of dividing a circle into seven equal parts is very common in engineering construction and on-site operations.A practical construction method of dividing seven equal parts of a circle is presented in descrip-tive geometry section of higher education courses，but the principle of the method has not been proved.In this pa-per，by applying symmetry principle，the pythagorean theorem，cosine theorem and the tangent-secant theory，the solutions of the approximate seven equal division chord length are deduced，and the errors between real values and approximate values of each chord are calculated to illustrate comparisons for researchers.

geometric construction；circumference in equal parts；seven-divided circumference；chord length；ap-proximate regular-heptagon

TH126

A

1009-671X（2014）05-062-05

10.3969／j.issn.1009-671X.201408010

2014-08-28.

国家自然科学基金资助项目（51175104）；黑龙江省高等学校教改工程资助项目（JG2014010691）.

曲焱炎（1972-），男，讲师，博士.

曲焱炎，E-mail：quyanyanhit＠126.com.