Weitzenböck公式的一点注记

殷炜栋

（浙江科技学院 理学院，杭州310023）

1 引 言

在黎曼几何里，Weitzenböck公式有很广泛的应用。它的特殊形式

在证明Li－Yau梯度估计时起了非常重要的作用［1］；最近它也被推广到了Finsler几何中去［2］。从上面公式可以看到曲率对调和形式的影响，而且由Hodge定理，又可以从调和形式得到流形整体的拓扑性质［3］。它在黎曼几何中的一般形式可以叙述成如下定理［4－5］：

定理1 如果ei是流形Mn上局部规范正交标架场，ei是其对偶标架场，i＝1，2…n，ω∈Ωp（M）是M上的p次微分形式，那么

式（1）中：ΔH＝dδ＋δd是Hodge Laplacian算子是Rough Laplacian算子；ei·ej是Clifford乘积；［ei·ej，R（ei，ej）ω］＝ei·ej·R（ei，ej）ω－R（ei，ej）ω·ei·ej是交换子。

2 主要结果

接下去将导出定理1在一般局部正交规范标架场中不带Clifford乘积的计算公式，这在一般的计算中更熟悉。于是有：

定理2 如果ei是流形Mn上局部规范正交标架场，ei是其对偶标架场，i＝1，2…n，ω∈Ωp（M）是M上的p次微分形式，那么

备注：定理1用Clifford乘积的一个好处是，Weitzenöck公式可以进一步推广到Spin Geometry中去［6］。

在给出证明前，先约定使用的符号：g表示黎曼度量；R表示曲率算子，即

R（ei，ej）ek＝Rmijkem，〈R（ei，ej）ek，el〉＝ 〈Rmijkem，el〉＝Rmijkgml＝Rijlk，Ril＝Ricil＝gjkRijlk。首先证明引理1。

引理1 ρω定义如前，那么

即可。利用Clifford乘积的定义［4］直接计算，有

这就完成了定理2的证明。

3 应 用

最后再看一下定理2的一个简单应用。如果有一个常曲率K＞0的闭黎曼流形（紧致无边）（Mn，g），那么有

特别地，当｛∂i｝是规范正交标架时，有

应用上面的结论，有

所以当ω是调和形式时，有

所以重新得到如下结论：

定理3 如果（Mn，g）是n维常曲率K＞0的闭流形（紧致无边），ω∈Ωp（M）是M 上的p次调和形式，其中p＝1，2…n－1，那么ω≡0。

当然从上面的证明里面可以看到，当p＝0或p＝n时，上面的方法行不通。事实上，当然也存在非零的0次和n次调和形式。关于定理3更一般的结论可以参考文献［4］。

［1］ Li P，Yau S T．Estimates of eigenvalues of a compact Riemannian manifold［C］∥Alan W，Robert O．Geometry of the Laplace Operator，Proceedings of Symposia in Pure Mathematics．Providence，Rhode Island：American Mathematical Society，1980，36：205－239．

［2］ Ohta S，Sturm K T．Bochner－Weitzenböck formula and Li－Yau estimates on Finsler manifolds［J］．Advances in Mathematics．2014，252：429－448．

［3］ Wu H H．The Bochner Technique in Differential Geometry，Mathematical Reports：vol．3，part 2［M］．London：Harwood Academic Publishers，1988．

［4］ Petersen P．Riemannian Geometry［M］．New York：Springer－Verlag，1998．

［5］ 伍鸿熙，沈纯理，虞言林．黎曼几何初步［M］．北京：北京大学出版社，2003．

［6］ Lawson H B，Michelsohn M L．Spin Geometry［M］．Princeton：Princeton University Press，1989．