渗透数形结合思想的教学实践

■刘 勇

刘勇，天津市滨海新区汉沽第一中学数学教师，中学高级教师，天津市“未来教育家奠基工程”第三期学员。曾获得天津教育年度十大人物、天津市课改积极分子、滨海新区教师标兵、科研创新先进个人、滨海新区汉沽“十佳”杰出青年等荣誉称号。在全国青年教师数学课大赛、全国德育精品课比赛、全国数学课标教材课例评比及天津市“双优课”评比等活动中获一等奖。同时，主持或主要参与了多个国家、市、区级课题的研究。

数学思想以知识为载体，是对数学知识在更高层上的抽象和概括，其种类颇多，各有特点。其中，数形结合是贯穿初等数学的一个重要思想，因为任何一个代数表征下的相等或不等关系均有其几何表现形式，而几何表征又为代数关系的探究提供有利工具。这种依靠数与形之间的信息转化巧妙解决问题的思想方法，是数学教学的重要任务。然而，实际教学中，数形结合思想的教学还未真正落实到位，主要表现在数形结合思想的教学目标不够明确，教学过程中不能合理布点，不能有针对性地设计一些体验数学思想的有效环节。课堂教学随意性、盲目性大，教师只是轻描淡写地点拨，起不到根本作用。从结果上看，教师的教和学生的学仅停留在表面，对数学思想的理解程度只是知道或了解，仅能作为几种固定题型的解题工具，缺乏系统性、灵活性。所以，重视渗透数形结合思想的教学已成为热点问题。人教社A版必修5第三章“不等式”中的每节内容都是提高学生对数形结合思想认识的重要载体，以此单元知识的教学为抓手，为研究渗透数形结合思想的教学策略提供了重要依据。

一、探究问题本质，引导发现数形结合思想——以不等式解法教学为例

斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就整体把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”众所周知，一元二次不等式的解法要依靠数形结合思想中以形辅数的方法。教学中教师往往直接让学生画二次函数图象，然后探究其解集，最后点明利用数形结合思想解决了问题。从教学效果上看，学生只是将函数图象作为解题的工具，增加了程序化的解题技巧，没能实现提高学生数形结合能力的教学目标。究其原因，是因为在教学中从数到形的转化过程过于简单，没给学生足够的时空，学生缺乏理解、运用、感受数学思想的过程。

为了实现培养学生数形结合能力的教学目标，我们可从一元一次不等式2x－1＞0的解法引入，学生利用已有的“移项、同乘（除）”的经验容易求得解集。之后提出如下问题：x=1,x=2,x=－1是否为不等式的解？学生可意识到不等式求解的问题也就是转化成判断函数y=2x-1的函数值何时大于零。之后，学生独立思考一元一次不等式的图象解法，教师帮助学生提炼数形结合思想并体会它的作用。在此基础上，求一元二次不等式的解的问题可直接向学生提出，学生采用自主探究的方式探索求一元二次不等式的解法，感悟数形结合的价值。这样，学生对数形结合的思想形成过程是自然的，经历了自我建构造型的转化，从而形成了探究其他问题的基本活动经验。此经验高于一般性知识，属学科思想层面，揭示了数学本质。

二、反思解题过程，深入理解数形结合思想——以简单线性规划教学为例

理解数学思想是数学教育的追求，是形成数学精神的必要条件。数学思想蕴含在数学问题的解决之中，具有隐含性，要达到深入透彻地理解的效果，必然要有挖掘思想的工具。弗赖登塔尔曾指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”的确，解题反思能从多角度、多方位地对问题以及解决问题的思想方法和思维过程进行全面的分析，利用解题反思的方法能实现对高于知识层面的数学思想的深入挖掘。为此，教师要更多地帮助学生从数学思想的维度反思总结问题的要点，使学生获得基本数学思想方法的熏陶，切实体验数学思想方法对解题的指导作用。

在简单线性规划问题的教学中，教师会强调“图解法”，即以“数”构“形”、以“形”助“数”的方法。不过，如果学生仅学会举一反三地运用“图解法”解题，形成的将是一种机械式的技能，它湮没了数学的精髓——数形结合思想，而这往往是被教师忽视的。其实，我们只要在解题后加入反思数形结合思想的环节，就能较好地实现对该思想深刻理解的目标。首先，学生运用“图解法”独立解决教科书中例5，然后反思解题过程，教师提出解决此题关键依靠什么思想？学生自然能想到数形结合的思想，但这一回答只是表面化的。接着，教师追问，数与形是怎样结合的呢？师生共同探讨以下内容。

图1

通过上述解题反思，对数形结合思想的理解由“面”到“点”逐步细化，学生从本质上认识数与形的对应关系，学生对数形结合思想的理解会从狭隘浅显的层次上升到一定的高度。

接下来进行第二层面的解题反思，根椐个别学生的错解提出问题，作图有时会产生较大的误差，于是无法判断最优解是点还是点的位置，这种情况如何处理？教师要抓住这个机会，用“形”中觅“数”的方法解决问题，即算出坐标代入比较。这样数量的精确性又一次向学生展示了数形结合的作用。学生体会抓住数与形之间本质上的联系的重要性，将数量的精确刻画与空间形式的直观形象和谐巧妙地结合在一起，寻找解题思路。通过例题的反思教学，学生对数形结合的理解及运用提升到了一个新的高度。

三、挖掘教材开展数学活动，感悟数形结合思想——以基本不等式为例

数形结合思想是高于知识层面的思想，学生存在诸多难点和心理障碍。教学中注重结合具体学习内容，设计有效数学活动，通过独立思考、动手操作、合作交流等方式，逐步感悟数学思想。学生能把知识形态的数学思想与亲身经历的数学活动相结合，就成为了活化的、认知的数学思想。这就要求教师要深入挖掘教材，设计有效的数学活动。

基本不等式一节的教材内容通过赵爽的弦图，将几何问题代数化探索出重要不等式，意在使学生根据图形结构的关系，寻找相应的数量关系。这是典型的数形结合思想，但只靠这一次转化，学生对数形结合思想的作用理解不够透彻。为此，教师对教材进一步加工，设置如下操作活动。

教师组织学生进行实验，将两个腰长分别为a、b的等腰直角三角形的斜边对齐（如图2所示），去掉阴影部分将其折叠成矩形，并提出问题，在此过程中，可得出怎样的不等式关系？学生通过动手实验，合作探究，得出不等式，意识到这是重要不等式的变形。然后，教师继续对教材进行加工，给出算术平均数和几何平均数定义，让学生利用已有的操作经验探究其关系，得到基本不等式。为了使学生体会在数学活动中感悟数形结合的意义，还可再次设计开放式的探究活动，将两个直角边分别为a、b的等腰直角三角形拼成（如图3所示）图形，可得到哪些恒成立的不等式？学生利用由形到数转化方法动手操作，并计算面积关系得到：ab≤（如图4，去掉阴影部分折成等腰梯形）和（如图5，去掉阴影部分折成等腰直角三角形）。

通过教学，学生在一系列的数学活动中感悟数形结合思想的作用，对数形结合中由“数”到“形”和由“形”到“数”的两个方面融会贯通地理解，自然实现了由数学思想上升为数学精神的层面。

渗透数学思想是数学教育的根本任务之一，在向学生传授知识的教学过程中，我们必须探索数学思想的系列化教学方法，有目的、有计划、有系统地开展教学活动。只有这样，学生才会在收获知识的同时，收获受益终身的思想和方法。

专家评介：

学科思想是学科教学的灵魂，是“知识”背后的“知识”。教师若能以学科知识为载体，有计划、系统地渗透学科思想，就能举重若轻地组织教学；倘若不然，就会陷入讲不完的知识和练不完的习题的困境。名师、教育家都怀揣着为学生终身发展服务的教育理想，因此，他们的教学决不会仅停留在知识层面，他们会致力于学科思想、学科精神的教学研究，探索恰切的教学策略，并为他人示范。

刘勇老师一直追求在知识探究、问题解决的教学过程中渗透数学思想，在他看来，学生唯有积淀数学思想才能形成终身受益的数学精神。最可贵的是，他能将数学思想这个“上位知识”有形地落实在日常教学中，将数学思想显性化、活动化、体验化。在实践中总结出一套行之有效的教学策略，打造出具有生命力的数学课堂，提高了学生的数学素养。渗透数形结合思想的研究仅是刘老师对数学思想教学研究的一个侧面，它清晰地反映了刘老师高、精、准的数学教育目标定位，与此同时，他为我们展示出能浸润学生心灵的生命化的数学课堂，实现了数学教育的价值最大化。（天津市滨海新区汉沽第一中学副校长、特级教师李树林）