二元函数S-粗集及其关系定理

吕昆，王磊

（1．山东城市建设职业学院基础部，山东 济南 250014；

2．山东省农业科学院农业质量标准与检测技术研究所，山东 济南 250100）

二元函数S-粗集及其关系定理

吕昆1，王磊2

（1．山东城市建设职业学院基础部，山东 济南 250014；

2．山东省农业科学院农业质量标准与检测技术研究所，山东 济南 250100）

给出了二元函数S-粗集的数学结构和特性，提出了二元函数S-粗集与一元函数S-粗集、S-粗集、二元函数粗集、Pawlak粗集的关系定理。

二元函数S-粗集；一元函数S-粗集；二元函数粗集；关系定理

粗集的概念是由波兰数学家Pawlak［1］提出的已得到了广泛应用。史开泉于2002年和2005年分别提出了S-粗集理论［2－3］和函数S-粗集理论［4－5］，将粗集理论从静态推广到了动态。本文在函数S-粗集，S-粗集以及杜素勤［6］提出的多元函数单向S-粗集的基础上给出二元函数S-粗集及其相关定理的讨论。

1 二元函数单向S-粗集及其对偶

约定：U为元素论域，XU为元素集，V（x）为一元函数论域，简记作V，PV为一元函数集，D（x，y）为二元函数论域，记作D，函数u（x，y）记作u，二元函数集

记作Q＝｛u1，u2，…，um｝D，二元函数等价类［u（x，y）］记作［u］。D中二元函数的定义域中的点可以是连续的也可以是离散的。

定义1.1 设D为二元函数论域，Q＝｛u1，u2，…，um｝D是二元函数集，如果存在变换f∈F，使得

定义1.2 给定QD，如果

则称Q0是Q的单向S-集合；如果

则称Q′是Q的单向S-集合对偶；如果

则称Qf为QD的f-扩张；如果

定义1.3 如果

则称（R，F）o（Qo）是QoD的下近似；如果

则称（R，F）o（Qo）是QoD的上近似；如果

定义1.4 由（（R，F）o（Qo），（R，F）o（Qo）），组成的集合对称作QoD的二元函数单向S-粗集，如果

则称Bnr（Qo）是QoD的边界；

定义1.5 如果

则称As（Qo）是二元函数单向S-粗集（（R，F）o（Qo），（R，F）o（Qo））生成的副集合；如果

2 二元函数双向S-粗集

定义2.1 如果

则称（R，F*）o（Q*）是Q*D下近似；如果

则称（R，F*）o（Q*）是Q*D上近似，这里

定义2.2 则由（（R，F*）o（Q*），（R，F*）o（Q*））组成的集合对，则如果

则称作Q*D的二元函数双向S-粗集，Bnr（Q*）是Q*D的边界。

定义2.3 如果

则称As（Q*）是二元函数双向S-粗集（（R，F*）o（Q*），（R，F*）o（Q*））生成的副集合。

3 二元函数S-粗集的相关定理

定理3.1 （α-一元函数等价类与α-元素等价类的α-二元函数等价类离散生成定理） 设［u］是D上的α-二元函数等价类，［u］＝｛u（k）｜k＝1，2，…，n，u（k）具有属性集α｝，u（k）∈［u］的离散形式为：

证明见文献［6］。

定理3.2 （有限α-一元函数等价类与α-元素等价类生成定理） α-二元函数等价类生成有限个α-一元函数等价类［v］；α-二元函数等价类生成有限个α-元素等价类［x］。

定理3.3 （有限α-一元函数集与α-元素集生成定理） 有限α-二元函数集QD生成有限α-一元函数集PV；有限α-二元函数集QD生成有限α-元素集XU。

定理3.2 定理3.3的证明可由定理3.1得到。

定理3.4 （二元函数S-粗集与一元函数S-粗集关系定理） 设Po，P′，P*V分别为一元函数单向S-粗集，一元函数单向S-粗集对偶，一元函数双向S-粗集，I＝｛1，2，…，m｝是有序正数集，则对i∈I，有

并且二元单向函数S-粗集生成一元函数单向S-粗集族

二元单向函数－粗集对偶生成一元函数单向－粗集对偶族

二元双向函数－粗集生成一元函数双向－粗集族

定理3.5 （二元函数S-粗集与S-粗集关系定理） 设Xo，X′，X*V分别为单向S-粗集，单向S-粗集对偶，双向S-粗集，I＝｛1，2，…，m｝，J＝｛1，2，…，ni｝是两个有序正数集，则对i∈I，j∈J，有

并且二元单向函数S-粗集生成单向S-粗集族

二元单向函数S-粗集对偶生成单向S-粗集对偶族

二元双向函数－粗集生成双向－粗集族

定理3.6 （二元函数S-粗集静态生成二元函数粗集） 称R－（Q），R－（Q）分别为QD的下近似和上近似，称集合对R－（Q），R－（Q））为二元函数粗集，如果

定理3.7 （二元函数S-粗集与Pawlak粗集关系定理）：

若F＝φ，i∈I＝｛1，2，…，m｝，j∈J＝｛1，2，…，ni｝，则

以上内容在提出二元函数S-粗集与一元函数S-粗集关系定理时只讨论了二元函数S-粗集在指标i（1≤i≤m）上与一元函数S-粗集的关系定理，二元函数S-粗集在指标j（1≤j≤ni）上与一元函数S-粗集的关系定理同理可得。

由此可见，Pawlak粗集是S-粗集的特例［2－3］，S-粗集是一元函数S-粗集的特例［4－5］，S-粗集是二元函数S-粗集的特例，一元函数S-粗集是二元函数S-粗集的特例；二元函数粗集是二元函数S-粗集的静态生成，故Pawlak粗集是二元函数粗集的特例。

4 结语

一个系统的输出特征可以用输出状态函数集来表示，输出的状态可以是一元函数集，也可以是多元函数集，本文是从二元函数的角度进行讨论，以此为基础可以进行二元以上的多元函数S-粗集的讨论，为输出状态为多元函数的系统提供理论基础。

［1］PAWLAK Z．Rough Sets［J］．International Jounal of Computer and Information Sciens，1982，11（5）：341－356．

［2］SHIK Q．S-rough sets and its applications in diagnosis-recognition for disease［J］．IEEE Proceedings of the First international Conference on Machine Learning and Cybernetics，2002，4（1）：50－54．

［3］史开泉，崔玉泉．S-粗集和它的一般结构［J］．山东大学学报：理学版，2002，37（6）：471－474．

［4］SHIK Q．Function S-rough sets and function transter［J］．An Interation Journal Advance in Systems Science and Applications，2005，5（1）：1－8．

［5］史开泉．函数S-粗集［J］．山东大学学报：理学版，2005，40（1）：1－10．

［6］杜素勤．多元函数单向S-粗集［J］．甘肃联合大学学报：自然科学版，2007，21（4）：4－7．

［7］史开泉，崔玉泉．S-粗集与粗决策［M］．北京：科学出版社，2006．

Two-variables function S-rough set and its relation theorem

LYU Kun1，WANG Lei2
（1．Department of Basis，Shandong Urban Construction Vocational College，Jinan 250014，China；2．Shandong Provincial Key Labo ratory of Food Quality，Institute of Quality Standard＆Testing Technology for Agroproducts，Shandong Academy of Agricultural Sciences，Jinan 250100，China）

We present the mathematical structure and characteristics of two-variables function S-rough sets．We also propose a relation theorem of two-varibles function S-rough sets with one-variable function S-rough sets，S-rough sets，twovariables function rough sets and Paw lak rough sets．

two-variables function S-rough set；one-variable function S-rough set；two-variables function rough set；relation theorem

O159

A

1002-4026（2014）01-0102-04

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.01.018

2013-06-01

吕昆（1981－），女，讲师，研究方向为粗系统理论与应用。Email：lvkun1981＠163．com