因物理公式中物理量的物理意义产生的悖论

龙辉

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）12-0029-02

在物理教学中，特别是讲公式的推导过程，教师在讲台上不遗余力的推导公式和推论，这是舍本求末的做法。公式的推导过程是数学教师的任务，我们应更关注公式中各个物理量的物理意义。只要认清公式和推论中的各个物理量的物理意义，结合数学知识，物理教学会更简单有趣，学生学习也会更轻松。

【例1】关于伏安特性曲线斜率。

分析：1.如图1所示，当导体为线性元件时，其伏安特性是一条过原点的直线，其斜率为K===，这时斜率在数值上等于电阻的倒数。但求斜率时不能用斜率的正切来求，因物理图线的坐标轴是含有物理意义的，其单位长度可以表达大小不同的物理量。

2.如图2所示，当导体为非线性元件时，其伏安特性是一条过原点的曲线，这时候曲线上某点的斜率在数值上还等于电阻的倒数吗？我们看看这时的表达为K==（这是一个微分表达式），只能说这是一个微分电阻的倒数，而不再是。但是OP这一条过原点的直线的斜率的倒数在数值上才等于这一状态下的电阻值。

【例2】用电压表和电流表测电源的电动势和内阻的实验，分析电流表外接和内接两种情况下电动势的测量值与真实值，电源内阻的测量值与真实值间的关系。

分析：不考虑电流表和电压表的内阻有：

E'=U1+I1r'…（1），E'=U2+I2r'…（2）

联立（1）（2）解得：E'=，r'=，（求出E'和r'为测量值）

1.若采用图1电路时，考虑电流表和电压表的内阻有：E=U1+I1r+I1RA…（1），E=U2+I2r+I2RA…（2），

联立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'（求出和为真实值）

比较可得，E'=E，r'=r+RA>r。

2.若采用图2电路时，考虑电流表和电压表的内阻有：E=U1+（I1+）r…（1），E=U2+（I2+）r…（2）

联立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'

3.以上用数学计算太繁琐，如果用物理意义和图像配合就很简洁了。对于一个闭合电路，端电压和干路电流的关系曲线与纵轴的交点U=E，曲线的斜率数值为电源的内阻，下面图1、图2中的虚线表示待测电源组成的闭合回路的真实的U-I曲线。

分析：图1所示的电路，电流表测的是干路电流，而电压表测的电压比实际的路端电压小，故而对同一I值，测量电压小于真实的路端电压，做出图线如图3的实线和虚线，由图可得：E'=E，r

图2所示的电路，电压表测的确实的路端电压，而电流表测的电流小于实际的干路电流，当短路时电流表测的电流才等于干路电流。这时电压表的分流对干路电流无影响，即横轴截距相等，故而对同一U值，电流表测的电流小于实际的干路电流，作出图线如图4的实线和虚线，由图可知：E'

【例3】关于万有引力的公式F=G

分析：1.如图1所示，万有引力公式F=G表达的是两个质点间的作用力。

2.如图2所示，当物体靠近地球，甚至通过隧道到达地心。物体与地球间的万有引力如何变化呢？按照公式函数的变化，r无穷减小，F将达到无穷大。而正确的是先变大后变小，如果把地球看成匀质的话，到地心是它们之间作用力为零。错误的原因归于对公式的物理意义理解不透彻，当物体靠的很近时，这个公式F=G违背了它存在的条件。这个公式已经不能再用。

【例4】关于用单摆测重力加速度的实验

如：（1）y=kx y=k（x-b） （2）y=kx y=k（x+b）

1.如上图知：图2、图3是图线沿x轴向右移b或图线沿x轴向左移b所得。

2.对于用单摆测重力加速度的实验中，根据实验原理是：T=2 T2=，令 T2=y，=k，T=x，其中（T是周期，L是摆长，L=l+，l是摆线长，d是小球的直径）。测量多组周期和摆长的数据作图，得图4。有些粗心的同学把漏加了小球半径，根据数据作图得图5。也有些粗心的同学把加半径加成了直径，根据数据作图得图6。

分析：（1）根据函数关系有：T2=，T2=，只要图线向右移或向左移就可以得到。

（2）从物理意义上：图5中图线与T2的截距表示，摆长为零周期却为负值。说明小球半径未加上去。同理，图6中图线与T2的截距表示，摆长为零周期却还有周期。这说明加小球半径加成了直径。

（责任编辑 刘 馨）

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）12-0029-02

在物理教学中，特别是讲公式的推导过程，教师在讲台上不遗余力的推导公式和推论，这是舍本求末的做法。公式的推导过程是数学教师的任务，我们应更关注公式中各个物理量的物理意义。只要认清公式和推论中的各个物理量的物理意义，结合数学知识，物理教学会更简单有趣，学生学习也会更轻松。

【例1】关于伏安特性曲线斜率。

分析：1.如图1所示，当导体为线性元件时，其伏安特性是一条过原点的直线，其斜率为K===，这时斜率在数值上等于电阻的倒数。但求斜率时不能用斜率的正切来求，因物理图线的坐标轴是含有物理意义的，其单位长度可以表达大小不同的物理量。

2.如图2所示，当导体为非线性元件时，其伏安特性是一条过原点的曲线，这时候曲线上某点的斜率在数值上还等于电阻的倒数吗？我们看看这时的表达为K==（这是一个微分表达式），只能说这是一个微分电阻的倒数，而不再是。但是OP这一条过原点的直线的斜率的倒数在数值上才等于这一状态下的电阻值。

【例2】用电压表和电流表测电源的电动势和内阻的实验，分析电流表外接和内接两种情况下电动势的测量值与真实值，电源内阻的测量值与真实值间的关系。

分析：不考虑电流表和电压表的内阻有：

E'=U1+I1r'…（1），E'=U2+I2r'…（2）

联立（1）（2）解得：E'=，r'=，（求出E'和r'为测量值）

1.若采用图1电路时，考虑电流表和电压表的内阻有：E=U1+I1r+I1RA…（1），E=U2+I2r+I2RA…（2），

联立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'（求出和为真实值）

比较可得，E'=E，r'=r+RA>r。

2.若采用图2电路时，考虑电流表和电压表的内阻有：E=U1+（I1+）r…（1），E=U2+（I2+）r…（2）

联立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'

3.以上用数学计算太繁琐，如果用物理意义和图像配合就很简洁了。对于一个闭合电路，端电压和干路电流的关系曲线与纵轴的交点U=E，曲线的斜率数值为电源的内阻，下面图1、图2中的虚线表示待测电源组成的闭合回路的真实的U-I曲线。

分析：图1所示的电路，电流表测的是干路电流，而电压表测的电压比实际的路端电压小，故而对同一I值，测量电压小于真实的路端电压，做出图线如图3的实线和虚线，由图可得：E'=E，r

图2所示的电路，电压表测的确实的路端电压，而电流表测的电流小于实际的干路电流，当短路时电流表测的电流才等于干路电流。这时电压表的分流对干路电流无影响，即横轴截距相等，故而对同一U值，电流表测的电流小于实际的干路电流，作出图线如图4的实线和虚线，由图可知：E'

【例3】关于万有引力的公式F=G

分析：1.如图1所示，万有引力公式F=G表达的是两个质点间的作用力。

2.如图2所示，当物体靠近地球，甚至通过隧道到达地心。物体与地球间的万有引力如何变化呢？按照公式函数的变化，r无穷减小，F将达到无穷大。而正确的是先变大后变小，如果把地球看成匀质的话，到地心是它们之间作用力为零。错误的原因归于对公式的物理意义理解不透彻，当物体靠的很近时，这个公式F=G违背了它存在的条件。这个公式已经不能再用。

【例4】关于用单摆测重力加速度的实验

如：（1）y=kx y=k（x-b） （2）y=kx y=k（x+b）

1.如上图知：图2、图3是图线沿x轴向右移b或图线沿x轴向左移b所得。

2.对于用单摆测重力加速度的实验中，根据实验原理是：T=2 T2=，令 T2=y，=k，T=x，其中（T是周期，L是摆长，L=l+，l是摆线长，d是小球的直径）。测量多组周期和摆长的数据作图，得图4。有些粗心的同学把漏加了小球半径，根据数据作图得图5。也有些粗心的同学把加半径加成了直径，根据数据作图得图6。

分析：（1）根据函数关系有：T2=，T2=，只要图线向右移或向左移就可以得到。

（2）从物理意义上：图5中图线与T2的截距表示，摆长为零周期却为负值。说明小球半径未加上去。同理，图6中图线与T2的截距表示，摆长为零周期却还有周期。这说明加小球半径加成了直径。

（责任编辑 刘 馨）

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）12-0029-02

在物理教学中，特别是讲公式的推导过程，教师在讲台上不遗余力的推导公式和推论，这是舍本求末的做法。公式的推导过程是数学教师的任务，我们应更关注公式中各个物理量的物理意义。只要认清公式和推论中的各个物理量的物理意义，结合数学知识，物理教学会更简单有趣，学生学习也会更轻松。

【例1】关于伏安特性曲线斜率。

分析：1.如图1所示，当导体为线性元件时，其伏安特性是一条过原点的直线，其斜率为K===，这时斜率在数值上等于电阻的倒数。但求斜率时不能用斜率的正切来求，因物理图线的坐标轴是含有物理意义的，其单位长度可以表达大小不同的物理量。

2.如图2所示，当导体为非线性元件时，其伏安特性是一条过原点的曲线，这时候曲线上某点的斜率在数值上还等于电阻的倒数吗？我们看看这时的表达为K==（这是一个微分表达式），只能说这是一个微分电阻的倒数，而不再是。但是OP这一条过原点的直线的斜率的倒数在数值上才等于这一状态下的电阻值。

【例2】用电压表和电流表测电源的电动势和内阻的实验，分析电流表外接和内接两种情况下电动势的测量值与真实值，电源内阻的测量值与真实值间的关系。

分析：不考虑电流表和电压表的内阻有：

E'=U1+I1r'…（1），E'=U2+I2r'…（2）

联立（1）（2）解得：E'=，r'=，（求出E'和r'为测量值）

1.若采用图1电路时，考虑电流表和电压表的内阻有：E=U1+I1r+I1RA…（1），E=U2+I2r+I2RA…（2），

联立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'（求出和为真实值）

比较可得，E'=E，r'=r+RA>r。

2.若采用图2电路时，考虑电流表和电压表的内阻有：E=U1+（I1+）r…（1），E=U2+（I2+）r…（2）

联立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'

3.以上用数学计算太繁琐，如果用物理意义和图像配合就很简洁了。对于一个闭合电路，端电压和干路电流的关系曲线与纵轴的交点U=E，曲线的斜率数值为电源的内阻，下面图1、图2中的虚线表示待测电源组成的闭合回路的真实的U-I曲线。

分析：图1所示的电路，电流表测的是干路电流，而电压表测的电压比实际的路端电压小，故而对同一I值，测量电压小于真实的路端电压，做出图线如图3的实线和虚线，由图可得：E'=E，r

图2所示的电路，电压表测的确实的路端电压，而电流表测的电流小于实际的干路电流，当短路时电流表测的电流才等于干路电流。这时电压表的分流对干路电流无影响，即横轴截距相等，故而对同一U值，电流表测的电流小于实际的干路电流，作出图线如图4的实线和虚线，由图可知：E'

【例3】关于万有引力的公式F=G

分析：1.如图1所示，万有引力公式F=G表达的是两个质点间的作用力。

2.如图2所示，当物体靠近地球，甚至通过隧道到达地心。物体与地球间的万有引力如何变化呢？按照公式函数的变化，r无穷减小，F将达到无穷大。而正确的是先变大后变小，如果把地球看成匀质的话，到地心是它们之间作用力为零。错误的原因归于对公式的物理意义理解不透彻，当物体靠的很近时，这个公式F=G违背了它存在的条件。这个公式已经不能再用。

【例4】关于用单摆测重力加速度的实验

如：（1）y=kx y=k（x-b） （2）y=kx y=k（x+b）

1.如上图知：图2、图3是图线沿x轴向右移b或图线沿x轴向左移b所得。

2.对于用单摆测重力加速度的实验中，根据实验原理是：T=2 T2=，令 T2=y，=k，T=x，其中（T是周期，L是摆长，L=l+，l是摆线长，d是小球的直径）。测量多组周期和摆长的数据作图，得图4。有些粗心的同学把漏加了小球半径，根据数据作图得图5。也有些粗心的同学把加半径加成了直径，根据数据作图得图6。

分析：（1）根据函数关系有：T2=，T2=，只要图线向右移或向左移就可以得到。

（2）从物理意义上：图5中图线与T2的截距表示，摆长为零周期却为负值。说明小球半径未加上去。同理，图6中图线与T2的截距表示，摆长为零周期却还有周期。这说明加小球半径加成了直径。

（责任编辑 刘 馨）