多重分形海杂波建模新方法*

司文涛，童宁宁，邱程

(空军工程大学 防空反导学院，陕西 西安 710051)

0 引言

研究表明：散射表面的分维特性将携带到散射信号中。在此基础上1993年研究人员将分形理论引入复杂背景的信号检测中，并得到了迅速的发展。许多文献研究了分形理论在雷达目标检测中应用[1-6]。这些研究都以实测数据来对理论和方法进行验证和说明，具有很强的说服力，但却不具有普遍性，并且对于大多数科研人员来说实测数据是难以获得的，不利于分形理论在雷达信号检测领域的进一步深入研究和推广。因此，应用分形理论建立海杂波模型显得尤为必要。

基于分形理论的海杂波建模，分为基于散射机理模型和简单的时域模型2类。文献[7]给出了海杂波散射机理模型，但是这种模型的计算量巨大。相比于散射机理建模简单时域建模可以用一个比较简单的迭代函数系统(Iterated Function System,IFS)和较少的参数来产生复杂的杂波信号。在已知杂波背景具有的分形特性和分形参数的基础上，可以反演出海杂波的时间序列。王红光等利用分数Brown运动(FBM)模型为海杂波建模。但是，研究表明海杂波背景往往具有多重分形特性[8]，文献[9-10]并通过加权组合的方法产生了具有多重分形特征的高频雷达海杂波。但是其仿真流程比较复杂，需要多次判决寻优。本文通过对多重分形特征和分式布朗运动模型的研究，提出了一种在分式布朗运动模型上随机抽取一组序列，组成一个近似多重分形的随机过程来模拟海杂波序列。最后通过Matlab仿真说明了仿真得到的随机序列具有多重分形的性质，可以很好地模拟海杂波。

1 分式布朗运动模型

具有自相似性连续随机过程X=xt,t≥0，在 X0=0，满足如下幂律规律

Xλt=λHXt, t≥0，

(1)

式中：λ为比例系数且λ>0；H为Hurst指数。这个表达式被普遍视为自相似随机过程的定义式[11]。

分形理论表明了事物内部以及事物之间的相似性，分式布朗运动模型是分形理论研究中常用的数学模型，于1968由Mandelbort和Van Ness提出，并作如下定义：

(2)

式中：BHt为分式布朗运动；Bt为标准布朗运动；s为时间延迟；

(3)

H=TD+1-D，

(4)

式中：TD为拓扑维数，对于一维时间序列，TD=1，所以H=2-D。

分式布朗运动的增量为具有自相似性质的高斯噪声，满足

(5)

式中：

(6)

分式布朗运动模型的自相关函数为

(7)

其功率谱密度具有如下性质:

Ff～1/fα,

(8)

其中：α=2H+1，并且满足1<α<3。

文献[12]提出了一种基于分形积分模型的分式布朗运动时间序列模型产生方法：将所要得到的时间序列模型看作有一个高斯白噪声输入到某一线性系统中所产生的输出。以ht作为系统的阶跃响应，所以输出为

(9)

根据分式布朗运动的性质得到传递函数的阶跃响应序列迭代表达式为

(10)

2 海杂波多重分形序列模型

Mandelbort等于1997年提出构造一个复合的分式布朗运动Xt=BHTt来模拟具有多重分形性质的随机过程，其中BHt是一个分式布朗运动，Tt是一个关于t的连续非减随机函数，并且Tt与BHt相互独立。

本文采用对分式布朗运动随机序列进行随机抽样的方法，抽样时间是递增的，但是增量Δt(对于离散序列Δt=m)是随机的，即

(11)

式中：mk在1,M(M为正整数)区间内取整数。

为了保证抽样之后得到的序列具有长程相关性，所以M的取值不宜过大。采用以上模型，通过Matlab仿真得到图1～4。图1为仿真得到的时间序列；图2为对仿真得到的时间序列的幅度进行归一化得到的波形图；图3为图2中归一化幅度的分布图；图4为仿真得到的时间序列的功率谱密度。图3中圆点代表时间序列归一化幅度的分布情况，实线代表高斯分布的理论曲线，所以从图中可见仿真得到的时间序列相比标准高斯分布有较长的拖尾，具有明显的非高斯性。

图1 时间序列波形图Fig.1 Simulation sequence oscillogram

图2 时间序列的幅度归一化波形图Fig.2 Ampitude uniformization oscillogram

图3 时间序列的归一化幅度分布图Fig.3 Uniformization amplitude distribution graph

图4 时间序列功率谱密度图Fig.4 PSD distribution graph

3 多重分形特性分析

多重分形的重要标志有2个：非高斯性(图3可以说明)和长程相关性。仿真得到的时间序列的时间相关性可以由时间相关函数(auto-correlation function，ACF)来表征，其定义为

(12)

时间序列(如图1)的相关函数曲线如图5所示。图中分别画出了随机序列在50点和500点范围内的相关函数曲线，从图5可以看出仿真得到的时间序列具有长程相关性。

由随机乘法模型得到配分函数

χqr∝rτq.

(13)

对式(13)两边取对数得到

lnχqr≈τqlnr+C,

(14)

式中：τq为q次相关指数；C为常量。

图5 仿真序列的时间相关函数Fig.5 Sequence time correlation

τq与Dq(广义维数)存在如下关系：

τq=q-1Dq.

(15)

如果式(13)成立，并且τq不是q的线性函数，即认为测度是多重分形的[13]。对幅度进行归一化(如图2所示)

(16)

式中： N=2n为数据长度。所以配分函数

(17)

为了验证式(13)是否成立，可以验证式(14)是否成立。用q阶矩结构函数分割法对仿真数据进行处理得到图6,7。

图6 ln r～ln χqr曲线Fig.6 ln r～ln χqr curve graph

图7 q～τq曲线Fig.7 q～τq curve graph

图6为lnr ～ln(χq(r))曲线，从图中可见在lnr取4到9时表现比较好的线性关系，说明在一定尺度变化范围内仿真模型具有无标度性。图7为q～τq曲线图，从图中可见曲线有一个明显的折点，说明τq不是q的线性函数，所以根据多重分形判定准则，可以判定仿真得到的时间序列具有多重分形性质。仿真结果与文献[6，9-10]中研究的实测海杂波数据进行对比发现，其性质十分相似。说明了本文模型可以很好地模拟海杂波。

4 结束语

利用分形理论建模海杂波具有非常大的潜力，本文在研究多重分形特征和分式布朗运动模型的基础上，提出了一种在分式布朗运动模型上随机抽取一组序列，组成一个近似多重分形的随机过程来模拟海杂波序列的海杂波建模方法。并通过Matlab仿真说明了仿真得到的海杂波序列具有多重分形的性质。需要指出的是，本文模型与文献中研究的实测数据的分形性质具有很好的相似性，说明了模型的合理性。对于海杂波分形性质及相关检测方法的深入研究，具有一定的意义。

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