看评分标准谈解题规范

王诚

不同于选择题和填空题，数学解答题要求写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.而不少同学重结果、轻证明，更不重视文字说明，因此往往会在解答上丢掉不该丢的分数.

那么在解答题中，究竟有哪些内容必须书写清楚，才能避免不必要的扣分呢？

让我们先从一道解析几何题出发，看看同学们的书写和参考答案有什么差异.

例［ 2011年台州市第一次模拟测试（理科）第21题］ （本题满分15分）如图1所示，在y轴右侧的动圆与圆O1：（x-1）2+y2=1外切，并与y轴相切.

（1） 求动圆的圆心P的轨迹Γ的方程；

（2） 过点P作圆O2：（x+1）2+y2=1的两条切线，分别交y轴于A，B两点，设AB中点为M（0，m）.求m的取值范围.

【一位同学的解答过程（①②③④系本刊标注）】

（1） y2=4x. ……………………………………………①

（2） P

，t，y-t=kx

-即kx-y+t-=0.

=1，……………………………………②

得t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

k1+k2=.……………………………………③

y-t=k1x

-，y-t=k2x

-，

y1=t-k1，y2=t-k2，………………………………④

故m==t-（k1+k2）==，-≤m≤.

【参考答案和评分标准】

（1） 由题意可知，点P到点（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，故Γ是抛物线，方程为y2=4x （x≠0）.……… 5分

【注：由=x+1化简得到y2=4x同样给分；不写x≠0不扣分】

（2） 设P

，t（t≠0），切线斜率为k, 则切线方程为y-t=kx

-，即kx-y+t-=0.…………………………… 6分

由题意可知，圆O2的圆心（-1，0）到切线的距离=1.……………………………………………… 8分

两边平方,整理得：t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

………………………………………………………… 9分

该方程的两根k1，k2就是两条切线的斜率，由韦达定理得：k1+k2=（Ⅰ）.…………………………………… 11分

另一方面，在y-t=k1x

-，y-t=k2x

-中，令x=0可得A，B两点的纵坐标y1=t-k1，y2=t-k2，故m==t-（k1+k2） （Ⅱ）.…………………………………………… 13分

将（Ⅰ）代入（Ⅱ），得m==， ……………… 14分

故m的取值范围是-≤m≤，m≠0.…… 15分

【对比】

和参考答案进行对照，我们发现同学的解答有以下不规范之处：

（1） ①中没有提供得出轨迹方程的依据,只有结果；

（2） 用到的变量未交待其意义，如k1，k2，y1，y2等；

（3） ②③④这些关键结论得来突然，没有依据（条件、公式、定义、定理等）支撑；

（4） 整个解答前后缺少逻辑关联，只有算式的堆积.

虽然这位同学的解答有过程，答案也是正确的，但是答题不够规范，缺少关键步骤的说明，所以会被扣掉3到4分.

除了解析几何题，同学们在其他大题中同样存在不规范答题的情况.接下来，我们将列举常见的不规范答题行为和容易被忽视的解题细节，希望同学们能够重视.

△三角函数题

（1） 讨论三角函数性质时没有注意周期性.

例如求f（x）=sin2x

--的递增区间时，由-≤2x-≤得到函数的递增区间为-

，

，只考虑了一个周期.

（2） 已知三角函数值求角，或已知角的一个三角函数值求它的其他三角函数值时，忽视角的范围.

△数列题

（1） 已知Sn求an时，没有考虑初始项a1.

（2） 数列求和时不注意项数.

（3） 在运用数学归纳法求递推数列通项时，只有归纳或猜想，没有证明.

△概率题

（1） 求概率时没有必要的文字说明，用到的符号也没作出交代.

（2） 写分布列时，没有交代变量的取值，每个取值的概率的计算过程也没有，只有表格或结果.

△立体几何题

（1） 随意使用数学符号.如将PB⊂平面PBC错写成PB∈平面PBC.

（2） 平行、垂直关系的证明中条件缺失，没有必要的文字说明.

（3） 利用几何法求角时只有计算，没有必要的作图和证明.

△函数与导数题

（1） 在利用导数求函数最值时，没有指明函数单调性，直接将极值等同于函数的最值.

（2） 求函数单调性时，最后没有用集合将单调区间表示出来.

数学解答题虽然力求简洁明快，但每一次转化、每一步推理均应提供合理的依据.只有答题过程逻辑思路清晰、详略得当，才能避免不必要的失分.

不同于选择题和填空题，数学解答题要求写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.而不少同学重结果、轻证明，更不重视文字说明，因此往往会在解答上丢掉不该丢的分数.

那么在解答题中，究竟有哪些内容必须书写清楚，才能避免不必要的扣分呢？

让我们先从一道解析几何题出发，看看同学们的书写和参考答案有什么差异.

例［ 2011年台州市第一次模拟测试（理科）第21题］ （本题满分15分）如图1所示，在y轴右侧的动圆与圆O1：（x-1）2+y2=1外切，并与y轴相切.

（1） 求动圆的圆心P的轨迹Γ的方程；

（2） 过点P作圆O2：（x+1）2+y2=1的两条切线，分别交y轴于A，B两点，设AB中点为M（0，m）.求m的取值范围.

【一位同学的解答过程（①②③④系本刊标注）】

（1） y2=4x. ……………………………………………①

（2） P

，t，y-t=kx

-即kx-y+t-=0.

=1，……………………………………②

得t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

k1+k2=.……………………………………③

y-t=k1x

-，y-t=k2x

-，

y1=t-k1，y2=t-k2，………………………………④

故m==t-（k1+k2）==，-≤m≤.

【参考答案和评分标准】

（1） 由题意可知，点P到点（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，故Γ是抛物线，方程为y2=4x （x≠0）.……… 5分

【注：由=x+1化简得到y2=4x同样给分；不写x≠0不扣分】

（2） 设P

，t（t≠0），切线斜率为k, 则切线方程为y-t=kx

-，即kx-y+t-=0.…………………………… 6分

由题意可知，圆O2的圆心（-1，0）到切线的距离=1.……………………………………………… 8分

两边平方,整理得：t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

………………………………………………………… 9分

该方程的两根k1，k2就是两条切线的斜率，由韦达定理得：k1+k2=（Ⅰ）.…………………………………… 11分

另一方面，在y-t=k1x

-，y-t=k2x

-中，令x=0可得A，B两点的纵坐标y1=t-k1，y2=t-k2，故m==t-（k1+k2） （Ⅱ）.…………………………………………… 13分

将（Ⅰ）代入（Ⅱ），得m==， ……………… 14分

故m的取值范围是-≤m≤，m≠0.…… 15分

【对比】

和参考答案进行对照，我们发现同学的解答有以下不规范之处：

（1） ①中没有提供得出轨迹方程的依据,只有结果；

（2） 用到的变量未交待其意义，如k1，k2，y1，y2等；

（3） ②③④这些关键结论得来突然，没有依据（条件、公式、定义、定理等）支撑；

（4） 整个解答前后缺少逻辑关联，只有算式的堆积.

虽然这位同学的解答有过程，答案也是正确的，但是答题不够规范，缺少关键步骤的说明，所以会被扣掉3到4分.

除了解析几何题，同学们在其他大题中同样存在不规范答题的情况.接下来，我们将列举常见的不规范答题行为和容易被忽视的解题细节，希望同学们能够重视.

△三角函数题

（1） 讨论三角函数性质时没有注意周期性.

例如求f（x）=sin2x

--的递增区间时，由-≤2x-≤得到函数的递增区间为-

，

，只考虑了一个周期.

（2） 已知三角函数值求角，或已知角的一个三角函数值求它的其他三角函数值时，忽视角的范围.

△数列题

（1） 已知Sn求an时，没有考虑初始项a1.

（2） 数列求和时不注意项数.

（3） 在运用数学归纳法求递推数列通项时，只有归纳或猜想，没有证明.

△概率题

（1） 求概率时没有必要的文字说明，用到的符号也没作出交代.

（2） 写分布列时，没有交代变量的取值，每个取值的概率的计算过程也没有，只有表格或结果.

△立体几何题

（1） 随意使用数学符号.如将PB⊂平面PBC错写成PB∈平面PBC.

（2） 平行、垂直关系的证明中条件缺失，没有必要的文字说明.

（3） 利用几何法求角时只有计算，没有必要的作图和证明.

△函数与导数题

（1） 在利用导数求函数最值时，没有指明函数单调性，直接将极值等同于函数的最值.

（2） 求函数单调性时，最后没有用集合将单调区间表示出来.

数学解答题虽然力求简洁明快，但每一次转化、每一步推理均应提供合理的依据.只有答题过程逻辑思路清晰、详略得当，才能避免不必要的失分.

不同于选择题和填空题，数学解答题要求写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.而不少同学重结果、轻证明，更不重视文字说明，因此往往会在解答上丢掉不该丢的分数.

那么在解答题中，究竟有哪些内容必须书写清楚，才能避免不必要的扣分呢？

让我们先从一道解析几何题出发，看看同学们的书写和参考答案有什么差异.

例［ 2011年台州市第一次模拟测试（理科）第21题］ （本题满分15分）如图1所示，在y轴右侧的动圆与圆O1：（x-1）2+y2=1外切，并与y轴相切.

（1） 求动圆的圆心P的轨迹Γ的方程；

（2） 过点P作圆O2：（x+1）2+y2=1的两条切线，分别交y轴于A，B两点，设AB中点为M（0，m）.求m的取值范围.

【一位同学的解答过程（①②③④系本刊标注）】

（1） y2=4x. ……………………………………………①

（2） P

，t，y-t=kx

-即kx-y+t-=0.

=1，……………………………………②

得t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

k1+k2=.……………………………………③

y-t=k1x

-，y-t=k2x

-，

y1=t-k1，y2=t-k2，………………………………④

故m==t-（k1+k2）==，-≤m≤.

【参考答案和评分标准】

（1） 由题意可知，点P到点（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，故Γ是抛物线，方程为y2=4x （x≠0）.……… 5分

【注：由=x+1化简得到y2=4x同样给分；不写x≠0不扣分】

（2） 设P

，t（t≠0），切线斜率为k, 则切线方程为y-t=kx

-，即kx-y+t-=0.…………………………… 6分

由题意可知，圆O2的圆心（-1，0）到切线的距离=1.……………………………………………… 8分

两边平方,整理得：t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

………………………………………………………… 9分

该方程的两根k1，k2就是两条切线的斜率，由韦达定理得：k1+k2=（Ⅰ）.…………………………………… 11分

另一方面，在y-t=k1x

-，y-t=k2x

-中，令x=0可得A，B两点的纵坐标y1=t-k1，y2=t-k2，故m==t-（k1+k2） （Ⅱ）.…………………………………………… 13分

将（Ⅰ）代入（Ⅱ），得m==， ……………… 14分

故m的取值范围是-≤m≤，m≠0.…… 15分

【对比】

和参考答案进行对照，我们发现同学的解答有以下不规范之处：

（1） ①中没有提供得出轨迹方程的依据,只有结果；

（2） 用到的变量未交待其意义，如k1，k2，y1，y2等；

（3） ②③④这些关键结论得来突然，没有依据（条件、公式、定义、定理等）支撑；

（4） 整个解答前后缺少逻辑关联，只有算式的堆积.

虽然这位同学的解答有过程，答案也是正确的，但是答题不够规范，缺少关键步骤的说明，所以会被扣掉3到4分.

除了解析几何题，同学们在其他大题中同样存在不规范答题的情况.接下来，我们将列举常见的不规范答题行为和容易被忽视的解题细节，希望同学们能够重视.

△三角函数题

（1） 讨论三角函数性质时没有注意周期性.

例如求f（x）=sin2x

--的递增区间时，由-≤2x-≤得到函数的递增区间为-

，

，只考虑了一个周期.

（2） 已知三角函数值求角，或已知角的一个三角函数值求它的其他三角函数值时，忽视角的范围.

△数列题

（1） 已知Sn求an时，没有考虑初始项a1.

（2） 数列求和时不注意项数.

（3） 在运用数学归纳法求递推数列通项时，只有归纳或猜想，没有证明.

△概率题

（1） 求概率时没有必要的文字说明，用到的符号也没作出交代.

（2） 写分布列时，没有交代变量的取值，每个取值的概率的计算过程也没有，只有表格或结果.

△立体几何题

（1） 随意使用数学符号.如将PB⊂平面PBC错写成PB∈平面PBC.

（2） 平行、垂直关系的证明中条件缺失，没有必要的文字说明.

（3） 利用几何法求角时只有计算，没有必要的作图和证明.

△函数与导数题

（1） 在利用导数求函数最值时，没有指明函数单调性，直接将极值等同于函数的最值.

（2） 求函数单调性时，最后没有用集合将单调区间表示出来.

数学解答题虽然力求简洁明快，但每一次转化、每一步推理均应提供合理的依据.只有答题过程逻辑思路清晰、详略得当，才能避免不必要的失分.