基于三次B样条有限元法的BBMB方程数值解

徐莹莹，周丽萍，樊强，朴光日

(延边大学理学院 数学系，吉林 延吉 133002)

Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBMB)方程

(1)

表示的是小振幅长波在非线性色散介质中的传播[1]，其中α>0,β是任意常数，f是一个外力.在物理学中，系统(1)的色散效应与方程Benjamin-Bona-Mahony(BBM)相似，其损耗效应与Burgers方程相似，并且BBMB方程是Korteweg-de Vries-Burgers(KdVB)方程的另一种形式[2].文献[3-6]、[7-9]和[10-11]分别采用有限元、有限差分和Adomain分解方法研究了该方程的数值解；文献[12-13]应用二次B样条有限元法求解了Burgers方程的数值解；文献[14]采用三次B样条配置法求解了BBMB方程的数值解.本文应用三次B样条有限元法先把BBMB方程转化为非线性常微分方程，然后利用Crank-Nicolson差分法进行时间离散化，从而得到了全离散化的代数方程.

1 数值格式

在整个空间域中，标准的拉格朗日有限元基函数只能提供简单的C0-连续，因而不适合应用于高阶微分方程的离散化，比如三阶或四阶微分方程； 但由于B-样条基函数至少满足C1-连续，因此可用于求解高阶微分方程的近似解.

根据变分方法可将系统(1)转化为弱形式：

(2)

(3)

其中αi(t)是待定系数，Bi(x)是三次B样条有限元基函数.在区间[0,L]上定义Bi(x)为

表1 基函数及其一阶、二阶导数在各结点的值

(4)

(5)

(6)

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将(7)式转化为矩阵形式后得

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(9)

(10)

M,S,C是常数矩阵，由于矩阵G依赖于时间，因此其每一步骤都需要重新计算.向量αn的时间演化确定近似解uh(x,t)的时间演化，当已知初始向量α0的情况下，此演化过程是通过反复计算系统(10)来完成的，其具体过程如下：

1)时间t=0时，首先，根据已知初始向量α0得到近似的G，并由(10)式计算近似的α1.然后，通过α=(1/2)(α0+α1)重新计算G，接着由(10)式再计算α1.反复进行20次左右的这种迭代可以得到比较精确的α1.

2)时间t>0时，首先，通过α=αn+(1/2)(αn-αn-1)求得G，并由(10)式计算得到αn+1的近似值.然后，利用α=(1/2)(αn+αn+1)重新计算G，接着由(10)式再计算αn+1.通过反复迭代10次可以得到精确的αn+1.

2 稳定性分析

根据典型的傅里叶模式的增长因子的Von-Neumann理论，定义

(11)

其中k是模型数，h是区间步长.数值格式(10)的稳定性取决于其线性化.在非线性项u ux中，假设u是局部常数，则其等价于假设对应的值αj也是常数并等于d； 因此，格式(10)相应的线性递推关系式可由下式给出：

(12)

(13)

3 数值验证

为了验证本文算法的有效性和精确性,考虑如下两种情况.

例1 给定参数α=1,β=1，初始条件为u0(x)=4x(1-x)sinπx，Δt=0.05，在不同时间段、结点和区间步长的条件下，观察BBMB方程的数值解.

解例1结果见表2.

表2 不同时刻、区间步长条件下各结点的近似值

解图1和图2分别表示近似解在不同参数下的演化过程.

图1 α=0.000 1，β=2.5时BBMB方程的近似解

图2 α=0.01，β=25时BBMB方程的近似解

通过例1和例2可知，本文提出的方法不仅适合求解BBMB方程的近似解，而且也适合于求解其他方程的近似解.

参考文献：

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