C 3⊗C 8中不可拓展的最大纠缠基和互不偏基

苑普光,张秀丽,杨潇,栾秀萍,张军

(延边大学理学院 数学系，吉林 延吉 133002)

0 引言

量子信息学是一门涉及量子力学、密码学、信息学等多门学科的交叉学科，它以量子纠缠态为信息载体，研究信息的储存和传输，以期达到经典信息所不能达到的计算速度和安全性.自C.H.Bennett等[1]提出多体量子系统中不可拓展的直积基(UPB)概念以来,已获得了大量具有实际应用价值的理论成果,例如:文献[2]研究表明,包含UPB的态是不能被局部测量和经典计算所区分的，并且在与一组UPB互补的子空间上的混合态是一个束缚纠缠态.文献[3]将UPB推广到不可拓展的最大纠缠基(UMEB)，即UMEB是一个Cd⊗Cd′上由标准正交的最大纠缠态构成的集合，这个集合含有向量不超过d2个，除此之外不再存在与它们都正交的最大纠缠态.当d=2时，UMEB并不存在；当d=3和d=4时，分别找到了含有6个向量和12个向量的UMEB的具体例子.

1 C 3⊗C 8中的UMEBS

定义1[3]一组态{|φi〉∈Cd⊗Cd,i=1,2,…,n,n

现考虑d=3,d′=8时,有

(1)

整理得

故V不可能是酉矩阵，与假设矛盾，所以|ψ〉一定不是最大纠缠态.综上所述，(1)式是C3⊗C8的一组不完备的18元UMEB.

2 用C 3⊗C 8的UMEBS构造MUBS

在(1)式中加入6个直积态：

即得C3⊗C8的一组完备的UMEB：

(2)

现构造C8的一个标准正交基，用矩阵形式表示为

由此基出发，重复使用上述方法可得C3⊗C8的另一组完备的UMEB：

(3)

故两个完备的UMEBS(2)和(3)是MUBS.

参考文献：

[1]Bennett C H,Divincenzo D P,Mor P W,et al.Unextandible product bases and bround entanglement[J]. Phys Rev Lett,1999,82(26):5385(4).

[2]CHEN Bin,FEI Shaoming. Unextandible maximally entangled bases and mutually unbiased bases[J]. Phys Rev A,2013,88(3):034301(4).

[3]Bravyi S,Smolin J A. Unextandible maximally entangled bases[J]. Phys Rev A,2011,84(4):042306(3).

[4]Wootters W K,Fields B D. Optimal state-determination by mutually unbiased measurements[J]. Ann Phys (NY),1989,191:363-381.

[5]Adamson R B A,Steinberg A M. Improving quantum state estimation with mutually unbiased bases[J]. Phys Rev Lett,2010,105(3):030406(4).

[6]Fernández-Pérez A,Klimov A B,Saavedra C. Quantum process reconstruction based on mutually unbiased basis[J]. Phys Rev A,2011,83(5):052332(6).

[7]Cerf N J,Bourennane M,Karlsson A,et al. Security of quantum key distribution usingd-level systems[J]. Phys Rev Lett,2002,88(12):127902(4).

[8]YU I C,Lin F L,Huang C Y. Quantum secret sharing with multilevel mutually (un)biased bases[J]. Phys Rev A,2008,78(1):012344(5).

[9]Brierley S,Weigert S. Maximal sets of mutually unbiased quantum state in dimension 6[J]. Phys Rev A,2008,78(4):042312(8).