多种教学方式齐头并进 切实提高数学课堂教学效率

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(陕西师范大学数学与信息科学学院 陕西西安 710062)

新课标实施多年以来，数学教学改革取得了不少成果，但有些数学课堂的“低效”现象却仍然没有得到很好的解决.如何在数学课堂上采取切实可行的措施，改进并提高数学教学效率，仍然是一个十分迫切的教学研究课题.本文结合文献综述[1]和对多所学校开展高效数学课堂的观察与调查，着重对在课中和课后如何提高数学课堂效率进行一些探讨.

1 针对不同学情和教学内容，构建形式多样的高效数学课堂

在建构主义教学思想的指导下，数学课堂便成为在教师主导下学生积极主动进行学习与认识的主要活动场所.教师通过数学教学目标的制定、教学内容和教学方法的选择、教学活动的组织以及教学过程的控制等，引导学生进行基于自身认知与思维方式的主动学习.而高效的数学课堂是上述理念实现的基本保障.为了实现高效课堂，形式多样的数学课堂构建是关键.而教师根据学情、学习内容等特点，可以有针对性地采用形式多样的教学方法和策略.

(1)针对探究性内容，可以采用“学生探索，师生讨论”的方法.

探究性学习内容，可以调动学生的学习主动性，促进学生思维的创造力.对于探究性问题，可以采用学生主动学习的方式进行．例如，在北师大版必修5第3章第1.2节“不等关系与不等式”中，首先让学生复习以前学过的且比较熟悉的简单的不等式性质：

①若a>b,b>c,则a>c;

②若a>b,则a+c>b+c;

③若a>b>0,则a2>b2;

再在原有不等式的基础上让学生思考，将条件稍作改动，可以得到什么结果.经过思考，学生可能会有如下的探究性结果：

①若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;

②若a>b>0,则an>bn(n∈N+);

在课堂上，教师可以请若干名学生上讲台演示自己探究的结果.对于不同学生各自不同的理解，教师可以让学生互相讨论，以期获得共识．在这种课堂模式里，教师扮演的是引导者的角色.讨论中，教师要把握好进度，对学生思考、介绍以及讨论的时间予以控制，并对难点加以分解，对重点予以强调，从而提高教学的效度．

(2)针对技巧—技能—方法型知识，采用“教师适度引导，学生发现归纳”的方法.

这一教学方法主要强调对数学方法的掌握，要求学生在理解基本知识以后，能熟练地使用相应的基本方法．例如，在“等差数列的前n项和”一节中，教师可以尝试计算出一列简单的等差数列前100项之和：S100=1+2+3+…+98+99+100，从而引出高斯算法：

S100=1+2+3+…+98+99+100，

S100=100+99+98+…+3+2+1，

这2个等式上、下对应项的和均为101，2个等式相加，得

2S100=101+101+101+…+101

即

据此提问学生，你能推断出求一般等差数列前n项和的方法吗？让学生自己思考．教师在学生提出的几种方法中进行必要的点评和抉择，还可以进一步提炼出方法的有效性、普遍性和局限性等.例如“倒序相加法”，作为高斯算法的一种一般化，其普遍性的方法论价值就得以体现：

设Sn是等差数列{an}的前n项和，即

Sn=a1+a2+a3+…+an,

根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成

Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d],

再把项的次序反过来，Sn又可以写成

Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d],

将以上2个式子相加，可得：

可以让学生自己总结等差数列前n项和的计算方法和“倒序相加法”的特点，并把方法的特点总结出来，这样，学生对“倒序相加法”的本质会有更好地认识．

(3)针对习题课内容，采用“学生做练，教师总结”的方法.

习题课是数学课中不可缺少的一种课堂类型.通过处理习题，让学生对知识有更深层次的理解，更加熟练地掌握对应的计算方法，对相应的思维模式也更熟练．

例如，在习题课上有这样一道题目：

学生通常会选择使用正弦定理和余弦定理进行解决，并最终得到等腰直角三角形的结论.习题做完后，教师可以进行解题方法的分析：采用正弦定理，从边到角，运算相对简单；而采用余弦定理，从角到边，运算相对复杂.但殊途同归，要根据题型进行综合判断，选择最佳解题方案.

2 合理使用信息技术，扩大数学教学的覆盖面

信息技术与多媒体在数学课堂上使用得当，会为课堂效率加分不少，在使用的过程中要注意合理使用，避免偏差，使多媒体的使用达到最佳状态[2].通过扩大数学教学的覆盖面，进而提高教学效率.

(1)针对适合的内容应用多媒体课件，增大课堂容量与授课的效率.

在数学课堂上，一些内容若辅之以多媒体演示，则会收到事半功倍的效果，既加大了课堂容量，又能让学生易于理解．例如，在研究“二次函数图像的性质”一节，如果采用几何画板来研究，就能快速实现相应的教学目标：

①画出y=x2和y=2x2的图像，再作出y=ax2的图像，其中a是变量，通过a值的变化，观察a>0和a<0分别对图像有什么影响？

如果顺利实现第一步，还可以进入较深入的讨论：

②画出y=2x2与y=2(x+1)2的图像，再作出y=a(x+h)2的图像，其中a,h是参数，观察a,h对图像的影响．

这样可以用较少的时间讨论更多的内容，比在黑板或小黑板上展示的效果要好.不仅能够激发学生的学习兴趣，还可以让学生更直观地观察参数的变化对图像变化的影响．

(2)发挥多媒体课件的直观与动态效果，增强学生的探究发现意识.

多媒体课件具有直观性和动态性等特点，充分发挥其特点可以优化教学过程，进而提高课堂效果．在“任意角”的教学中，对于“终边相同的角”这一概念，教师有时用传统方法在黑板上面演示很多遍，但是还有不少学生感觉难以理解.如果制作一个课件，使始边的运动和方向同步进行，通过颜色、动画正确地展示概念产生的过程，可降低学生接受的难度．

对《几何画板》这样的数学软件的合理使用还可以促进学生对问题的探究意识，提高解决问题的效率.例如在北师大版教材必修5第3章第4.2节“简单线性规划”中，有这样一道题：

解由题设可知，满足每个不等式的解集都可以用一个平面区域来表示，而满足不等式组的解集是这些平面区域的公共区域(交集)(如图1).

图1

(3)熟悉使用多款软件，发挥多媒体课件的延伸功能.

随着学生思维水平的不断提高，在数学教学中不能仅仅停留在突出直观和形象化的层次上，而要深化至数学知识产生的过程、运算、数量关系和逻辑关系等层面，使课件发挥出黑板、粉笔等传统教具起不到的作用，这样才能真正做到课件的高度有效.针对不同的教学任务、对象、难度和环境，采用不同形式和功能的软件，是构建课堂教学的必要形式.像《几何画板》作为一款数学软件，在探索图形关系、构造关系、测量与计算等方面都具有很好的使用价值.在《Z+Z超级画板》中，除了《几何画板》的基本功能之外，还具有智能推理等功能.“SPSS”软件则具有较强的数据处理和分析功能.对这些数学软件的合理使用，会相应地提高数学教学的放大效应，延伸传统教学的范围和界限，进而对提高数学教学效率有很好的作用.

3 运用并发展元认知策略，提高数学教学效率

元认知，简单地说就是对于认知的认知.元认知是建立在认知基础之上的一种较为高级的认知活动.包括个体关于自己认知过程的追问、回溯和调节等过程，以及对思维和学习活动的回顾、反思与控制.自我意识和自我认知的调节水平是元认知能力高低的2个重要指标.在数学教学课堂之后，学生、教师以及师生之间必要的元认识活动是十分必要的.其中数学思想方法的总结和归纳是一个最活跃的教学因子.

(1)在教学过程中采用多种方式，促进学生元认知思维的发展策略.

在课堂上，小组探究和合作学习是课程标准所倡导的学习方式之一，教师要在教学中适时采取这些学习方式.在课堂上采用小组探究和合作学习等形式，既增加学生之间的交流，也能促进学生的元认知发展.例如，在学生基础知识已经初步形成的基础上，可以引导学生进行小组讨论或合作探究来解决有一定难度的问题．此时，运用提出猜想、情境设置等手段，激发学生的问题意识和探究愿望，对问题各抒己见、充分展示基思维过程，并对其他同学的想法发表见解，让学生在合作讨论中互相协作，发展学生的独立评判能力和协作精神．

在课后，教师要鼓励学生养成解题后回顾与反思的习惯，逐步提高问题解决的元认知意识.著名数学家波利亚在“怎样解题表”中，特别提出了把回顾作为解题的一个必要阶段，就说明回顾对解题具有重要的价值.波利亚还具体给出了“你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？”等操作性建议[3].在数学教学过程中，很多学生在解决完数学题目后，就以为万事大吉了.其实解题后的回顾与反思是十分必要的.教师要逐步培养学生在完成题目后的回顾与反思习惯.长此以往，学生的元认知能力和解题效率都会得到提高.

(2)教师要提高自身的元认知水平，进而促进师生主体间性的元认知活动.

数学教学既不是上课铃声响起才开始，也不是随着下课铃声就结束的.要做一个真正的教学有心人，就要在课前和课后，针对课程内容、教学方法、多媒体制作等各个教学环节进行反思.在反思中才能有所收获，有所成长，教师的反思活动可以促进教师专业化的发展.教师的元认知水平对于师生主体间性的元认知活动的开展具有重要价值.所谓主体间性，就是一种建立在主体之间的互动关系.充分激发师生主体间性的元认知意识，是营造高效数学课堂教学氛围的一个重要步骤.良好的教学氛围是数学高效课堂的关键，是让学生能全身心投入到学习过程的保证．作为教学的双主体，适宜的师生主体间性能够使师生双方处于智力和情感的最佳状态，进而创造出促进数学教学交流的最佳效果.在数学教学中，主要就是师生之间的交流与互动，也包括生生之间的交互作用.其中，除了认知方式的互动之外，情感上的交流也是必不可少的.利用情感教育构建良好的高效课堂是提高数学课堂教学效率的基础．

(3)重视数学思想方法的提炼和概括，提高学生的元认知解题水平.

数学思想方法是一种数学的元知识.在数学教学中，善于运用并总结数学思想方法，常常可以起到事半功倍的作用.数学教学中善于提炼数学思想方法是提高数学教学效率的一个有效途径.

例2求数列{2n-1·(2n-1)}的前n项和Sn.

分析观察可知数列cn=2n-1·(2n-1)是一个等比数列an=2n-1和一个等差数列bn=2n-1的乘积.怎么计算这样一个数列前n项的和呢？之前学生学过了等差、等比数列的求和公式，能不能把这个数列的求和转化到学过的知识和方法上去.

解试着把Sn写出来：

Sn=1·1+ 2·3+22·5+23·7+…+

2n-2·(2n-3)+2n-1·(2n-1),

式子2边同时乘以2

2Sn=2·1+22·3+23·5+…+

2n-2·(2n-5)+2n-1·(2n-3)+

2n·(2n-1),

2个式子相减，可得

-Sn=1+2·2+ 22·2+23·2+…+2n-2·2+

2n-1·2-2n·(2n-1),

整理得

-Sn= 1+22+23+24+…+2n-2n·(2n-1)=

2n(3-2n)-3,

因此

Sn=3+(2n-3)2n.

只有把新课改理念真正融入到实际教学过程中，以学生为主体，教师为主导，从课堂内、外2个方面重视每一个环节以及上下环节的联系，通过全程化的数学教学活动，才能切实提高数学课堂的教学效率.

参 考 文 献

[1] 王光明，胡庆玲.提高数学教学效率的教学措施[J].中学教研(数学),2005(10):1-5.

[2] 蒋国平.数学课堂教学中多媒体设计存在的偏差及分析[J].中学教研(数学)，2004(5):6-8.

[3] 波利亚.怎样解题[M].阎育苏,译.北京：科学出版社，1982.