避免因错失分 提升解题能力——高中数学易错问题分析及教学应对策略探讨

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(高淳高级中学 江苏高淳 211300)

据罗增儒先生《数学解题学引论》认为，数学教学离不开解题，没有解题的数学教学是不完整的．数学习题教学是以学生为主体，依照或模仿例题，将自己学过的数学知识应用到解决数学问题的实践性活动中．高中学生面临着高考的升学压力，可以说分分必争，因此高中数学解题教学就显得尤为重要．笔者发现，在日常的教学中，很多学生平时喜欢攻难题，觉得它能体现自己的数学学习能力，有成就感，而对中档题、简单题漠不关心，总觉得自己会做，没有挑战性．结果在考试中却常常因为简单题、中档题失分，致使总分不能与自己的实力相匹配，产生懊恼情绪，想改变，又不知从何处着力．笔者整理学生平时易犯的错误，并作必要分析解读，尝试提出应对策略，以期能引起同行重视，帮助学生减少中低档题的失分．

1 学生解题错误原因分析

解题是对问题中所含信息的提取、组织、加工的过程，是对已有知识、经验的综合应用过程．总的来说，学生在解题中出现的主要错误是陈述性知识错误和程序性错误．

1．1 陈述性知识错误

陈述性知识，也叫“描述性知识”．它是指个人具有有意识地提取线索，而能直接加以回忆和陈述的知识．主要用来说明事物的性质、特征和状态，用于区别和辨别事物．这种知识具有静态的性质．陈述性知识要求的心理过程主要是记忆．陈述性知识错误主要表现为没有正确理解题意即审题不清，对已有的知识(概况、定理、公式、法则等)没有完全掌握．具体表现为：

(1)数学概念理解不到位.

例1已知α是第一象限角，那么3α是第几象限角？

剖析缺少周期概念．

剖析不能区分象限角和轴线角的概念．

错误写成“(-∞，1)∪(1，+∞)”的形式．

剖析单调性定义中要求单调区间必须是定义域中的某个区间，“某个区间”是单调性定义的核心要素之一，很多学生没有认清．

(2)命题的等价性理解不到位.

错误b=-1，c=3或b=1，c=-1，很多学生不检验取舍．

剖析很多学生对于命题“若f(x)在x=x0处取得极值，则f′(x)=0”为真，其逆命题“若f′(x)=0，则f(x)在x=x0处取得极值”为假理解不到位，随意认同原命题与逆命题同真假．

(3)定理条件易疏漏.

例4命题:(1)若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；(2)若α∩β于直线l，且l∥m，则l∥α．

错误多数学生认为它们是正确的．

剖析忽视了证明线面平行的条件之一是线必须不在面内．

(4)解方程时随意约去字母.

剖析很多学生主元意识和因式分解意识不强，特别是因式分解意识极其淡薄.本题如能想到提取公因式解方程，错误就会避免．

(5)数学符号表达不规范.

例6终边落在直线y=-x上的角的集合可以表示为______．

剖析对集合描述法各处符号意义理解不清，适用范围掌握不到位．

1.2 程序性知识混乱

程序性知识是个人没有有意识提取线索，只能借助某种作业形式间接推论其存在的知识．程序性知识是关于“怎么办”的知识.学生程序性知识混乱具体表现为以下几种状况．

(1)端点意识不强.

例7若函数f(x)=loga(1-ax)在x∈(1，2)上为增函数，则实数a的取值范围是______．

剖析问题转化为减函数t(x)=1-ax>0在x∈(1，2)上恒成立，很多学生写成1-a·2>0，在端点上出错，功亏一篑．如果在解题中对端点值进行检验，则可避免错误．

(2)分析角范围的意识不强.

错误因为α，β均为锐角，所以α+β∈(0，π)，产生2个解．

剖析三角求值、求角中对于角范围的分析十分重要，解题程序中就要根据已知角的函数值来估算角范围的步骤，只不过多数学生没有意识到．

(3)三角变形和代数变形不能相互利用.

例9求证：

错误多数学生三角变形为先，结果计算复杂，深陷其中．

剖析三角变形从属于代数变形(提取公因式，因式分解等)，解题程序中应互相利用，不能顾此失彼．

(4)分类讨论混乱.

例10已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+alnx(其中a为常数)．当a>0时，讨论函数y=f(x)在区间(0，1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

错误很多学生不能理清问题实质，从而导致分类讨论不全或错误．

剖析很多学生不清楚求导后需要干什么，属于对基本程序求导后转化为分析方程f′(x)=0根的问题，根据根的有无、大小比较确定f′(x)的符号，对分类的标准认识不到位．

(5)方程思想理解不深.

例8已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k=______．

剖析多数学生方程意识不强，对设出几个未知量就需列几个独立方程的解题程序认识不清．

2 课堂解题教学策略

2.1 注重概念、定理、法则、公式的教学

高中数学课程标准要求：理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的过程．因此在平时学习过程中，教师对每一个概念、定理、法则、公式都要理清前因后果、内在联系，揭示其本质和蕴含的数学思想方法．同时打破章节局限，对知识重新组合进行变式训练，提升陈述性知识应用上的活力．

2．2 注重提升数学思维能力的教学

数学是一门思维科学，思维能力是数学学科能力的核心．数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明的模式建构等，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考与判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体．提高数学思维能力的关键在于掌握数学思维方法．数学思维方法包括分析与综合、抽象与概括、归纳与演绎、类比与猜想、一般化与特殊化等．因此在解题过程中，要充分暴露学生解题的思维过程，突出解题中的探索环节及解题方法被发现的过程，培养学生解题思维中的调控能力．这要求教师从学生的思维角度出发，将解题思路精心设计成符合学生认知结构特点的带有选择的思维过程．注重学生解题的程序性知识构建．

2.3 注重学生自主纠错反思的教学

为了应试，很多教师对学生不放心，凡题都讲精、讲细、讲透，没有给学生留下自由思考的空间．这样就束缚了学生思维的发展，自主学习，合作探究就成了一句空话．因此对于学生的解题错误，教师可以先让学生自查、自纠，并分析反思、讨论讲解错误的原因，然后引导其归纳总结．这样就有利于培养学生发现、分析及解决问题的能力，激发学生的学习热情，最大限度地挖掘每个学生的潜能．

参 考 文 献

[1] 罗增儒．数学解题学引论[M]．西安：陕西师范大学出版社，2004．

[2] 陈辉．考试力:高中数学[M]．南京：江苏凤凰教育出版社，2008.