别样风景——中考尺规作图题新探

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(湖州市第五中学教育集团 浙江湖州 313000)

《课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》)指出：“在尺规作图题中，了解作图的道理，保留作图的痕迹.”这就是说要让学生了解尺规作图中作法的来龙去脉，其意义在于使学生更好地理解几何语言，提升逻辑推理能力，积累数学活动的经验，培养空间观念.正如史宁中在《义务教育数学课程标准(2011年版)解读》中指出：“作图也要做到有根有据……这种要求有助于发展学生的理性精神，应当予以重视.”2013年和2014年的中考题中关于尺规作图的命题呈现出不少的“新意”和“深意”.为释其意，笔者举例如下，并尝试从教学的角度提出针对性建议，不当之处请同仁斧正.

图1

1 命题形式与赏析

1．1 不给作法，按要求作图并利用所作图形计算

例1实践操作如图1，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．

(1)作∠BAC的角平分线，交BC于点O；

(2)以O为圆心、OC为半径作圆．

综合运用在你所作的图中，

(1)AB与⊙O的位置关系是______(直接写出答案)；

(2)若AB=13，BC=12,求⊙O的半径．

(2013年江苏省盐城市数学中考试题)

点评此题作图并不难，难点在于如何利用所作图形解答综合运用中的2个小题，考查了直线与圆的位置关系、勾股定理和面积法.

赏析1本题一改过去只要求学生根据要求动手作图的单一命题思路，而是先作图再结合图形进行推理运算.纵观近2年来的中考尺规作图题，此类先作图后计算的题型为数不少，体现了“四基”中提出的“基本数学活动经验”.这里考查尺规作图倒是其次，更重要的是体现了以形引数的命题思路，真可谓“醉翁之意不在酒”.

1.2 给出作法和图形并保留痕迹，依据所得图形证明

例2如图2，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A,B为圆心、大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C,D，则直线CD即为所求．联结AC,BC,AD,BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是

( )

A．矩形 B．菱形

C．正方形 D．等腰梯形

(2014年浙江省丽水市数学中考试题)

图2 图3

例3如图3，已知△ABC，按如下步骤作图：

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E,D，联结CE；

③过点C作CF∥AB交PQ于点F，联结AF．

(1)求证：△AED≌△CFD；

(2)求证：四边形AECF是菱形.

(2014年新疆维吾尔自治区数学中考试题)

点评同样是垂直平分线的尺规作法，以上2个例子的命题形式却迥然不同.不禁让人联想到一题多解、一图多用，上述2个例子可谓“一法多题”.

赏析2以上2个例子将尺规作图与几何证明“双剑合璧”，主要考查学生认识与理解作法.利用作图结论进行几何演绎推理的能力，为近2年来中考尺规作图题命题思路之主旋律，此种命题方式给人以“珠联璧合，相得益彰”之感.

1.3 给出作法和图形并保留痕迹，依据所得图形推理计算

例4如图4，以△ABC的顶点A为圆心、以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心、以AB长为半径作弧，2条弧交于点D；联结AD,CD．若∠B=65°，则∠ADC=________.

(2013年吉林省长春市数学中考试题)

图4 图5

( )

A．a=bB．2a+b=-1

C．2a-b=-1 D．2a+b=1

(2013年湖北省咸宁市数学中考试题)

图6 图7

例6小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：

①作⊙O的2条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图6；

②以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，联结BD，如图7．

若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是

( )

(2013年浙江省绍兴市数学中考试题)

点评以上3个例子以尺规作图为背景知识，或建立图形推理运算，或融合坐标、方程等数学思想，考查学生综合运用所学知识解决数学问题的能力，具有一定的区分度.

赏析3由上3个例子可见中考尺规作图命题逐渐向对作法的理解与综合运用的思路上转变，已成为近2年来的一种命题趋势.上述3个例子一般都给出大段作法，直至读到最后才理清整个题目的概貌(如例6)，可谓“千呼万唤始出来”.

1.4 给出作法和图形并保留痕迹，依据作法判断结论正误

( )

A．射线OE是∠AOB的平分线

B．△COD是等腰三角形

C．点C,D关于OE所在直线对称

D．点O,E关于CD所在直线对称

(2013年云南省曲靖市数学中考试题)

图8 图9

( )

A．①②③ B．①②④

C．①③④ D．②③④

(2014年浙江省湖州市数学中考试题)

点评同样是给出作法和保留痕迹，上述2个例子的命题思路并不拘泥于推理运算和演绎证明，而是给出多种关于所作图形的结论，考查学生明辨作法是非的能力.尤其是例8，并不是完整的中垂线尺规作图，实质上却作出了BC的中垂线PD，这就需要学生有理解作法的数学本质结构的能力.

赏析4这类题型从一些基本作图出发，但并不仅仅停留在基本作图层面，而是围绕这些基本作图进行改头换面.比如例7添加一条线段CD，例8只呈现基本作图的部分作法步骤.不得不说，这里似乎呈现出一种“似曾相识燕归来”的命题取向.

1.5 给出保留痕迹的图形，推断某些作法或依据

( )

图10

A．以点B为圆心、OD为半径的圆

B．以点B为圆心、DC为半径的圆

C．以点E为圆心、OD为半径的圆

D．以点E为圆心、DC为半径的圆

(2013年江苏省南通市数学中考试题)

点评该例直接考查学生对“作一个角等于已知角”的某一步作法的理解，应该说难度不大，但若未深入学习、理解，则易出错.

赏析5由于《课标》弱化了对作图的理论证明且不要求写出作法，此类题型在近几年的尺规作图题中不多见，大都来自于《课标》规定的基本作图.这类题型考查尺规作图作法的依据，呈现出一种反璞归真的命题取向，真可谓“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.

1.6 给出多种作法，按要求判断作法正误

例10已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．

以下是甲、乙2位同学的作业：

甲： (1)以点C为圆心、AB长为半径画弧；

(2)以点A为圆心、BC长为半径画弧；

(3)2条弧在BC上方交于点D，联结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图11)．

图11 图12

乙：(1)联结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；

(2)联结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，联结AD，CD，四边形ABCD即为所求，如图12．

对于甲、乙的作业，下列说法正确的是

( )

A．两人都对 B．两人都不对

C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

(2013年河北省数学中考试题)

图13

例11如图13，已知△ABC(AC

( )

A. B.

C. D.

(2014年河北省数学中考试题)

点评例10详细地给出了2种不同的作法，把作法的正确性问题抛给学生，就是要求学生在平时的学习中要“了解作图的道理”，理解作法中的语言并运用.例11则直接给出了4个保留痕迹图，要求学生按要求依据图中所保留的痕迹来识别选择一种正确的方法，可谓匠心独运.

赏析6这2道例题同出河北，一改过去只要求学生能够掌握基本作图并深谙其道地运用解作图题的命题思路.现在的命题减少了要求学生作图的部分，而直接给出多种保留痕迹的图，要求学生根据作法来推断、证明，这种尺规作图的命题趋势值得注意.如果没有对尺规作图作法的深刻认识和其他几何知识的独到理解，这样的题目对学生来说也并不轻松.这类题型让作法本身成为考查手段，命题方式给人无限遐想空间，似有意境幽远之感，真可谓“曲径通幽处，禅房花木深”.

2 对教学的启示

课改至今关于尺规作图的教学要求也几经变迁，相对2005年的课标，2011年版的课程标准对尺规作图提出了更高的要求，具体如下：(1)进一步完善了基本作图的要求，增加了过一点作已知直线的垂线；(2)增加了直角三角形的作图；(3)提高了与圆有关的作图要求；(4)明确规定尺规作图的要求——弱化了作图的理论证明，只需保留作图痕迹，不要求写出作法.

2.1 对作法的教学建议

诚然，我们平时教学中不强调写作法而只求保留痕迹，看似降低了要求，学生在作业中的表现也不错，但在遇到上述题型时却往往差强人意，笔者以为这与没有充分理解作法的本质不无关联.因此，在教学中教师应当创造机会让学生说作法、想作法、议作法.对于基本作法应进行一定的板演、示范，甚至应当考虑在教基本作图时要求学生写出作法.这就好比书法入门者必先从基本的一笔一画和熟读颜、柳、赵、王等各种名家字帖学起一样，待到可以将字形的体态、结构和笔法熟谙于心时方可做到运用自如乃至力透纸背、行云流水.

2．2 对数学本质结构教学的启示

教师在平时的教学中注重作图技能教学的同时，更应注重教学生理解作法的数学本质.也就是说，教师不仅要教作图的技能，而且要教对作法的理解、阐释与运用，让学生懂得一种作法的数学本质结构及其联系，以点带面形成体系，从而贯通整个初中平面几何.如作一条线段的中点，一方面，这个基本作图同样可用于作一条线段的中垂线、一个三角形的中线、过一点作已知直线的垂线、已知2条线段作以这2条线段为对角线的菱形等；另一方面，作线段中点本质上来说是依据中垂线定理逆定理作图的，因此，又能产生一些非常规的作法，如图14和图15.尺规作图中像这样能够揭示数学本质结构的例子还有许多.波利亚曾说：“一个专心、认真备课的老师往往能够拿出一个有意义但又并不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门，把学生引入一个完整的理论领域.”这样看来尺规作图教学就犹如那道题，而整个平面几何领域就是那个“完整的理论领域”.

图14 图15

3 写在最后

近读有关数学慢化教育的文章，如《中学数学教学参考》2014年第1～2期刊登了2篇题为《人文学习时代下的数学慢教育——“图形的平移”教学设计与思考》、《拉长过程慢中求真——“求根公式”的案例设计》，并向全国征稿讨论.笔者以为在尺规作图的教学中急需这样的慢教育，现行课标虽不要求写作法，但增加了“了解作法的道理”，这对教师的教学提出了更高的要求，那些只传授怎么做，而不讲明其中原由和不讲解其他作法的尺规作图教学时代将一去不返，取而代之的是注重学习过程的经历，注重作法的理解与运用，注重学生操作、体验和感悟，注重“再发现”、“再创造”的教学大行之道.

参 考 文 献

[1] 刘芳．对尺规作图教学的三个思考[J]．中学数学杂志，2009(10)：11-13．

[2] 高波．明理得法 水到渠成——以“作一个角的平分线”为例浅析初中尺规作图教学[J]．中学数学，2013(1),18-20．