高等数学教学与中学数学教学高效衔接的思考

宋林锋

（濮阳职业技术学院，河南 濮阳 457000）

一、中学数学教学改革背景下教学内容现状

近几年，由于新课标的普遍实行，使中学数学知识发生很大改变。这种变化首先表现在教学内容上。新版中学数学教科书缩减了大量经典内容，如：反三角函数的运算及应用，三角函数中的积化和差与和差化积公式等；同时增加了有关高等数学知识，如：定积分以及数学统计与概率等专题，有些模块是以欧拉公式与闭曲面分类、球面几何、对称与群等为主题，这些教学内容在高等数学中未被列为重点，改革使学生接触到了范围更为广泛的知识，提高了他们的认知水平。然而，事物都有两面性。在新版中学数学教科书中，删去的许多内容与高等数学教学密切相关。例如，由于反三角函数的计算及应用不在考试大纲内，新版教科书将其列为了解内容；在高等数学中，三角函数与反三角函数的求导和积分运算是经典解题工具，这部分内容被视为已知，大学教材中没有相关讲解。再如，极坐标在中学数学教学中是选讲课程，很多学生对极坐标知之甚少；在大学定积分与重积分的应用中，极坐标被视为已知知识，大学教材没有关于极坐标的基础涉猎，如极坐标定义、极坐标运算、极坐标系等。中学教材不解释，大学教材不涉及，这样就产生知识断层，使学生学习时产生空白区。在文理分科的现在，新版中学文科数学教科书同样存在此种现象，删去许多经典内容，如：二项式定理、数学归纳法、空间向量坐标等解题方法和工具。这就增加学生学习高等数学的难度，影响了学生学习的连续性，打击学生学习的积极性，对高等数学的教学造成较大影响。中学数学教学对数学公理、定理的证明过程不作要求，只需学生掌握结论，能够熟练运用结论解题即可，新版中学教科书对数学概念与思维方法有所介绍，但不够详细，不够明确；一些实用的解题方法并未介绍，如：洛必达法则等。在学生学习数学时，按照正思维规律，选择合适而准确的方法进行推理以及证明，是学生奠定基础，提高基本能力行之有效的途径。当学生开始学习高等数学时，由于心中并未建立起追根究底的思想，便难以沉下心来探索公理、定理的证明过程。初学高等数学便要求学生证明公式定理，这对学生来说是一项考验。为此，学生学习的兴趣也或多或少地受到了影响。

二、高等数学与中学数学教学内容上的有效衔接

分析中学数学教学新教改，可以预想学生数学知识面的拓宽度以及对这些知识掌握程度的深刻，新教改方案，使学生在进入大学时有扎实的基础。在学生进入大学后，就可以利用中学数学已介绍的关于极限、导函数以及其相关运用的内容，进行拓展延伸，进一步拓宽学生的知识面，加深其认知程度，使其了解到大学数学对证明过程的重视，从而更加注重严密的数学推理和抽象思维的应用。为了更好地使学生适应大学教学，在高等数学教材中设置相应专题章节是很有必要的。设置的相应专题章节的主要内容：（1）中学教科书中删去的所有有用内容。这些内容可以弥补中学数学教育与大学数学教育的空白区域；（2）数学概念与科学思维方法详细的介绍。其中包括数学概念的产生历程，并通过介绍先辈的研究过程使学生有所领悟，从而使其掌握如何进行科学思考的方法，真正达到授之以渔的目的；（3）常用公式的集合。收集了中学数学主要公式、大学数学主要公式等成表，并将常用极坐标方程曲线单独列出成为专题以供学生学习之用。[1]48学习这些内容的方式主要是：（1）该教材包括详细的中学数学内容，在进入大学学习高数之前学生可自学其所含内容；（2）条件允许的情况下，可以制作课程视频并将之发布于网上。课程包括中学数学删去的有用内容以及数学概念与科学思维方法简介，从而方便学生的学习；（3）教师可用几节专题课讲授其中主要内容，学生自学其细节问题。除此之外，编写其内容还有如下要因：（1）直角坐标系是基础解系。但在高等数学学习中，选择某些曲线的表示工具时，极坐标系等往往更为直观简洁。诸如：在定积分、二重积分、三重积分中，使用极坐标系、球面坐标系、柱面坐标系处理问题会比使用直角坐标系更为简洁、明了。由于中学时期极坐标及极坐标系等有关知识并非必修，许多学生并没学习过相关知识，而在大学时这些知识又被直接运用。这就导致学生知识的断层，以致学生学习困难重重。故而，在教材中增添对极坐标的知识介绍，不仅使学生明白极坐标的重要性，而且能通过该教材产生或加深对极坐标的理解，使其会用甚至更好地使用极坐标这一工具。（2）分析法经常在高等数学教学中被运用。但由于中学数学教学在此不作要求，学生并不经常运用分析法，并不能熟练掌握此种方法。为解决该问题，我们在教材专题中列举基本例题做更好的讲解。例1 证明当X>5时，X+2-2X-8>0成立证明：欲证明X>5时，原不等式成立，只需集合{X|X>5}为原不等式解集的子集：而原不等式解集为4或X<-2>，很显然，条件成立。故当X>5时，X+2-2X-8>0成立。（3）对于初次接触极限的同学，会难以了解假设条件 E>0的作用与意义所在，甚至在学习之前就产生畏惧心理。为此，对同学进行预传授，在正式学习极限之前使其对其有所涉猎，从而理解E>0非凡的作用。例2 设a、b均为常数，任意E>0，证明若|a-b|0成立，令E=|a-b|>0，则有|a-b|<|a-b|，不符合事实。由此明白 E>0是解决问题时的强有力工具。（4）在大学的一些习题中，解决问题的关键并非高等数学中学习的内容，而是中学数学中所学的公式与简单的逻辑运算。例3 设0Xn，故数列单调增大。因为数列Xn单调增大有上界，故limXn存在由此看出，该题关键在于定理：（a+b）/2>ab的算术平方根。（5）在高等数学学习过程中，熟记中学数学中的各种公式、结论是非常有必要的。这对提高解题速度与拓宽解题思维很有帮助。

三、高等数学与中学数学教学方法上的有效衔接

（一）第一堂课的重要性

讲好第一堂课，对以后的教学工作有很好的帮助。教师应重视高等数学的第一节课，精心备课，设计课堂流程，将高等数学的重要性、主要内容与特点、学习中可能遇到的问题等向同学言简意赅的介绍，使学生对这门课有大致了解，从而使他们对如何学习这门课程有自己的规划，提高其学习自主性，为其以后大量的自主学习提供基础。在第一堂课上首先应提醒同学们高等数学与中学数学的差别所在。例如：极限思想是高等数学的基础思想，在高等数学的学习中始终可见极限思想的应用。极限思想的基础是无限，它以研究函数为载体，表现了数据变化的动态过程。极限的无限性与动态性注定它与数学解决问题的方法（以有限性和静态性为主）有本质区别，但同在数学范畴，它们又有千丝万缕的联系。高等数学与中等数学是研究函数的不同阶段。中等数学仅仅简单涉及函数的基本类型以及解答方法，而高等数学不仅涉及更为广泛的函数而且在解答问题的技巧上也有更深层次的探索。为使学生明白高等数学相对中学数学的深入和广泛性，三大特点是必被强调的：逻辑的严密、抽象的思维，应用的广泛。

在上第一堂课时教师应向学生简要介绍学好该课程的重要性以及如何学习这门课程，该课程中重要的章节是什么。从而使学生有自己的学习计划。大学学习与中学学习大不相同。学生学习大多靠自主性。为此，教师应帮助他们建立良好的学习习惯。首先应帮助学生培养他们的预习能力。可以通过几次课后要求预习使学生建立起预习的意识从而建立起预习的能力。预习是大学学习的一项重要能力。由于课时有限，大学的一堂课会讲授一本教材几页甚至几十页的内容；而在中学时期由于课程较多，教师一节课涉及的内容很少，解释会更清楚。因此，培养学生的预习能力十分重要。通过预习，学生对新内容有所了解，有什么问题也可在课堂上有针对性地提出。不仅教师提高了讲课的效率，而且学生也更好的接受了新知识，一举两得。[2]128然后要培养学生整理笔记的能力。大学课堂节奏快，内容多，仅靠学生的记忆力是不可能学会教师传授的所有内容，所以必须要求学生的记笔记能力。课堂上的内容比如如何引出问题、如何分析问题、解决问题的关键所在以及重要的结论和对该堂课所学内容的疑问与心得等。记笔记要学会去轻就重，比如题目的论证过程及细节可以省去，在学会主要内容后，这些知识是可以由学生自己推理论证而来。接着应鼓励学生积极提问，及时解决他们的问题。事实证明，拖延只会拖累他们的成绩。最后，要求学生复习所学内容。仅靠课堂上的时间是不够的，课下复习不仅会使学生加深对新知识的印象，融会贯通新内容，更会增加学生的自主学习能力。

（二）三“基”的重要性

数学最基础的内容是基本概念、基本理论、基本方法：简称三“基”。任何数学问题的解决方法都基于这些内容。很多大学新生只注重如何解题而忽略基础，这导致他们在面对某些问题时思维混乱，解决方法繁琐。为改变这种情况，三“基”的教学必须被重视。由于这些基础知识过于抽象，教师可通过讲解例题、找寻恰当的比喻来讲解，并通过当堂练习、课后习题练习等方式引导学生进一步理解这些理论概念和思想。在教学过程中教师应不断强调三“基”的重要性，通过耳濡目染的教导，从而使学生养成追求严谨的科学探索精神，拥有熟练计算的能力，为以后难度较大的课程，培养出良好学习基础；使学生在高等数学的思想方法氛围中不但不知不觉接受数学知识，并能使用它们解决实际问题。

[1]苏德矿.高等数学教学如何与中学数学内容及教学方法有效地衔接[J].中国大学教学，2013，（05）.

[2]马书燮.数学教学改革的困境与对策[J].黑龙江高教研究，2011，（6）.