数学美是深奥的美

周晓晖

(江苏联合职业技术学院连云港财经分院，江苏 连云港 222061)

0 引言

古今中外有许多数学家和科学家，提出或论述过数学与美学的关系，明确地提出过美学的概念。数学美的提出在学术界引起了很多争议，不承认数学美的至今还大有人在。数学美的研究是目前美学界、科学界、哲学界关注的热点与难点之一。不承认数学美的理由或原因归纳起来有以下四条:第一，传统的观念认为，美的欣赏只与形象思维有关，极力将逻辑严密的数学美摒弃于审美领域之外。第二，美是一个丰富的、完整和谐的整体观念，而丰富、完整和谐的数学理论体系的创立，又经过了长期跨世纪的工作，这样，数学美相对于其他形式的美就显得姗姗来迟，容易被美学家们所忽视。第三，数学是以抽象的形式反映和谐的自然美感，因此，数学美是最难感受的美。第四，1750年美学从哲学中分化出来，正式割断了美学与自然学的传统联系，也是数学美被历代美学家们所忽视的原因之一。本文针对以上四条原因，从各种不同的角度，论证数学美不但是美，而且是一种深奥的美、崇高的美［1］。

1 美的欣赏离不开逻辑思维

美是人的本质力量形象化而引起的一种愉悦的情感体验。初看起来，它和逻辑思维是格格不入的，似乎情感的培育必然妨碍思维的严格，而严格的逻辑思维又必然导致情感世界枯竭、荒芜。其实，这是一种误解。

首先是由于传统的美学家们常凭他们对自然美和艺术美的欣赏经验来谈审美，但对审美中心理过程的心理机制不清楚。1981年美国加州理工学院的学者罗杰·渥尔考特·斯佩里因提出大脑两半球的高度专门化以及许多较高级的功能集中在右半球而获得诺贝尔生理学、医学奖。斯佩里研究发现:两个分离的大脑半球都有语言机能，都有高度发达的意识，并且在对空间的认识能力方面和对复杂关系的理解能力方面，右半球比左半球更优越，同时由于胼胝体的作用，双方是联合起来作用的。所以人类的各种心理活动，都可以说是自觉性与非自觉性、逻辑与非逻辑、理性与非理性的统一。当然和一般的认识不同，在审美直觉中，逻辑思维是在人们不自觉的情况下起作用的。由于大脑两半球的交叉作用，人们面对审美对象在一瞬间产生的审美直觉中，无疑既具有形象的特征，又具有抽象的性质。也就是说，审美感受虽然是直觉地作出的，可感受的产生却又赖于抽象分析和逻辑推理，因为形象思维、空间定位、整体判断、图形识别、色彩欣赏、感情倾向等，虽然以右脑为主，但同时又离不开左半脑的逻辑功能的辅助和制约［2］。这也正像美国科学家利用X正电子层摄影和放射性示踪原子的方法进行研究所证明了的，右脑解决问题的程序，往往要靠左脑加以存储。换言之，即一个脑半球所学到的知识，可以在顷刻间迅速传递给另一脑半球。而我们之所以常常意识不到这一点，是由于大脑两半球信息交流速度无比迅疾之故。据统计，正常人的胼胝体大约是由两亿条神经纤维组成的，而它联系的大脑半球之间的信息交流，每秒钟可达40亿次之多，人脑对刺激信息的“比较”和“识别”不是依靠线性序列程序，而是可以在百万以上的通道上同时进行。

其次是由于对逻辑的一种过于狭义的看法，没有重视逻辑思维的力量和价值，有的人认为逻辑仅仅是一些三段论式的连接程序，更有人错误地将之等同于形而上学的思维方式。其实对逻辑一词应该给定比较宽泛的内涵和外延。“所谓逻辑，就是人们在实际思维过程中总结和提炼出来的关于思维的模式、规律和规则的学说。正如列宁所指出的:‘人的实践经过千万次的重复，它在人的意识中以逻辑的格式固定下来’［3］。”因而在外延上，逻辑不仅是包括演绎逻辑及其现代发展，而且还包括辩证逻辑、归纳逻辑以及逻辑科学方法在内的一门科学。

逻辑思维沉淀于艺术的构思和创作中，如对作品主题的提炼、结构的安排、表现手法的选择等。日本当代著名的科学美学家川野洋便把这种想法付诸实践，他设计了艺术的控制论模型并使用电子计算机，再现了音乐、造型艺术、文学、诗歌等有关艺术的美学逻辑过程，从而创立了“计算美学”。“计算美学”的出现，一方面有可能在物质上以机械的方式来设定艺术品;另一方面，也可以演绎的方式来规定欣赏的过程［4］。总之，说明逻辑思维在美的欣赏中的重要作用，即在审美中，要深刻领略艺术之美，常常必须在具体感受的基础上，进一步利用逻辑思维工具理解艺术美的内涵，才能产生美感。

逻辑思维是人的本质力量之一，它的产生和发展，使人类认识世界和改造世界的能力日益增强，成果日益丰富。在人的一切认识活动中，逻辑思维是最基本、也是运用最广泛的一种思维方式。尤其是在科学家探索过程中，如果没有逻辑思维，那简直是不可思议的。正如列宁赞同黑格尔的话“任何科学都是应有逻辑［3］。”这是因为，任何科学的创立，都有提出和引入概念的问题;进行抽象和概括的问题;进行推理和论证的问题;构成演绎系统的问题;顿悟假说、预测事实并对其进行评价、验证以及发展问题。而所有这些问题的解决都离不开各种逻辑手段和工具。历史上逻辑学的每一次革命性进展，都带来了科学的飞跃:亚里士多德演绎逻辑的诞生，带来了古希腊科学的空前繁荣;培根归纳逻辑的创立掀起了近代科学革命的狂飙;现代逻辑的多元助兴，促进了现代科学和哲学全方位的拓展。……这不能不让人想起恩格斯的精辟断言:“一个民族想要站在科学的最高峰，一刻也不能没有理论思维。”［5］由此可见，逻辑思维对于人们不仅是一种能力，而且更是一种价值，它在洞察现象、探求本质、寻找规律和设计未来等方面的强大力量，使人类体会到了一种精神上的自由感、力量感，产生强烈的情感愉悦，亦即审美感受。科学大师爱因斯坦在探索规律的过程中，由衷地赞美科学是“思想领域最高的神韵”、“一种壮丽的感觉”［6］。庞加莱也根据切身体会谈到:“数学家能够如此获得类似于绘画和音乐所给予的快乐。［7］”

2 迟到的美是完美的美

作为科学语言的数学，具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，这就是数学在其内容结构与方法上都具有某种美，但数学美又有自身的独特含义。什么是数学美呢?历史上许多学者、数学家对数学美从不同侧面作过生动的阐述。

亚里士多德说:“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是‘秩序、匀称和确定性’，这些正是数学所研究的原则。”［8］庞加莱说“数学家把重大意义与他们的方法和他们的结果的美联系起来。这不是纯粹的浅薄涉猎。事实上，在解题、证明中，给我们以美感是什么呢?是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡。”［9］徐利治教授认为“数学在其内容结构上和方法上也都具有其自身的某种美。”数学美是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现［10］。最早提出美学思想的数学家、哲学家毕达哥拉斯，他认为美学的研究对象不仅是艺术，而且包括整个自然界。他还把数学与和谐的原则用于天文学的研究，他们发现弦在振动时所发出的音调的强度与弦长成反比，又发现与正整数(如:1，2，3，…)成比例的弦长所发出的音调最和谐。后来他们又把这个发现推广到无法用实验予以验证的“球体音乐”中。他们把数视为构成宇宙的基本因素，数的和谐构成了宇宙的和谐，美就是从这一和谐中产生出来的。但在古代的这些美学思想，通常都以哲学的论述形式出现，那时的科学和艺术都是属于哲学范畴的［11］。

后来随着人类社会的进步和发展，各门科学的分工越来越细。美学也不例外，由于人类审美心理功能的研究愈来愈深入，审美意识与美学也愈来愈丰富，终于到了1750年，美学也从哲学领域中分化出来，成为一门独立的学科。此时数学与艺术也开始分化，直到成为两个很少发生联系的领域。特别是后来的绝大多数美学都渊源于文学家和艺术家，在他们潜心研究文学与艺术的时候，更是几乎不涉及数学美。随着各门学科专门化的步伐日益加快，艺术和数学的分离也越来越远。真正把数学与美学联系在一起并对数学美本身进行有意识的和自觉的研究，还是近百年来的事情。因此，数学美既是美学殿堂里最早的成员，又是迟到的成员。现代数学的飞速发展，一方面抽象程度越来越高，另一方面既高度分化又高度综合，因而能更深刻、更全面地反映客观世界的运动发展规律。当今的数学科学已是一个庞大的体系，据统计，它已包括近百种分支。一个丰富的、完整的、和谐的数学理论体系已经创立，同时数学中也孕育了最完美的数学美，正如徐本顺等人论述的，若按数学美的内容分类可分为:

结构美:指数学的一种内在的美，它来自各部分和谐秩序，并能为纯粹的理智所体会，正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷美景的骨架。

语言美:数学语言是一种特殊的语言，因为它有一整套世界公认的数学符号系统。数学语言借助于数学符号把思维运算(过程)扼要地表现出来，并能准确地、深刻地把现象的结构表现为其不变式。数学语言，以它的简洁、概括、精确、有序、富于形象化、理想化的美的特征和形式，给人们以美的感受。

方法美:一个美的数学方法或数学证明是指在解答复杂问题中，体现出来的美妙之处使心灵感到一种愉快的惊奇。数学方法的美是以其简洁性、普适性与奇异性为基本特征。

若按数学美的形式分类可分为:

神秘美:即内在美，包含奇异性和思辨性。是指数学美的内容诸要素的内部组织结构，即“从科学深处发展看起来不同的事物在本质上的一致性，看起来无关的事物间深刻的联系，极其复杂的运算结果为——最简单最原始的数，等等。”并由此萌生的一种神秘感所激发的快乐美好的感情。

形态美:是指数学美的内容的外部表现形态。它包含简洁性、统一性、对称性、整齐性、相似性［12］。

3 最难感受的美是深奥的美、崇高的美

自然美体现的是自然界的现象和谐，数学美体现的是自然界的内在和谐。自然美具体、鲜明，活跃，最易体现，而数学美抽象、含蓄、严谨，最难感受。最难感受的主要原因是美感的实现要求主体具有相应的审美心理结构。主体只有建立了相应的审美心理结构，才能将具有一定审美价值的公式、理论、定理纳入自己的审美结构体系，同时也只有在理解的基础上才能对其发生审美体验。这种审美心理结构主要依赖于以下两个因素:

首先，是主体对于数学美对象的充分理解。由于数学美对象大多是以逻辑严谨的概念语言、概括性极强的图表、繁琐复杂的公式来表现的，那么这必然要求主体具备相当程度的理解、判断和推理的逻辑手段，还有舍弃现象、概括本质、洞察规律的能力，以及通过专门教育和训练所获得的知识技能。显然，这一条并非人人具备，因此有一部分人就被摒弃在外了。

其次，审美心理结构的形成也是由人们对于美的本质的理解以及相应的审美态度决定的。美的本质是多层次的，大致可归结为两类:一是事物以其外在的感性形式所呈现的美，如自然美、艺术美等;二是事物以其内在的结构的和谐、秩序而有的理性美、抽象美、深奥美，主要指科技美、数学美。前者由于是外在的、易感受的，因而生动而具体，很容易唤起人们内心中的和谐共鸣;而后者除了需要借助专门知识、精巧的实验外，还需丰富的想像力、理解力，因此这种美不是人人都能感受得到的。

4 数学与美学的结合是历史发展的必然趋势

我国著名科学家钱学森就曾经提出过一个观点:“数学应该与自然科学和社会科学并列，而称为数学科学。”［13］他认为在人类整个知识体系中，数学不应该被看成是自然科学的一个分支，而是应该提高到与自然科学和社会科学同等重要的地位。数学在自然科学和社会科学中的应用已经达到了人们称之为“科学的数学化”的程度。数学方法已经成了一般的科学方法。数学向科学各领域的渗透结果，不仅导致了一系列新的研究领域和交叉学科的建立，而且数学自身的发展水平也在影响着人们的思维方式和社会的进步。

在美学处于尴尬境地的今天，那些明智的美学家们都呼吁“美学需要科学”，因为只有科学才能解决那些使美学家们感到说不清楚的问题。又由于科学的数学化，所以数学与美学的结合既有利于数学的发展，又有利于美学的发展。数学美是评价数学理论的重要标志。正如冯·诺依曼说:“我认为数学家不论是选择题材还是判断成功的标准主要都是美学的。”［14］数学美是数学发展的内驱动力，正如法国数学家阿达玛说:“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了发明家。”［15］未来数学的发展的方向就是真、善、美的统一。数学方法应用于美学，可以解决美学家们想说又说不清楚的基本理论问题，使美学从现在的定性研究，走向定量的研究，能充分发挥美学的社会效益。然而数学与美学的彻底结合不是短时间就能达到的，需要美学家和数学家长期协同研究，优势互补，共创美好未来。

［1］卢锷.试论数学美因与数学美［J］.辽宁师范大学学报(自然科学版)，1990，(03).

［2］王延光.斯佩里对脑裂人的研究及其贡献［J］.中华医史杂志，1998，(01).

［3］列宁.哲学笔记［M］.人民出版社，1974.233.

［4］李心峰.日本当代美学思潮概观［J］.文艺研究，1990，(06).

［5］恩格斯.马克思恩格斯选集［M］.人民出版社，1995.467.

［6］沈葹.思想领域中最高的音乐神韵——略论爱因斯坦对量子理论的评价和贡献［J］.世界科学，1995，(07).

［7］李醒民.论科学的精神功能［J］.厦门大学学报(哲学哲学社会科学版)，2005，(05).

［8］吴军.数学之美［M］.人民邮电出版社，2012.2.

［9］陈治友.张琼.浅谈数学教学过程中数学思维的再现［J］.贵阳学院学报(自然科学版)，2012，(03).

［10］任禾元.数学美在数学教学中的意义探讨［J］.科技风，2013，(03).

［11］闫伟.理性与非理性——古代文明影响下的毕达哥拉斯美学思想［J］.文学界(理论版)，2012，(12).

［12］徐本顺.数学中的美学方法［M］.大连理工大学出版社，2008.81.

［13］毛敏康.试谈钱学森的地理科学思想［J］.数学通报，1993，(04).

［14］冯·诺依曼.数学在科学和社会中的作用［M］.大连理工出版社，2009.167.

［15］严加安.数学如诗［J］.科技导报，2013，(13).