一类食饵-捕食者模型的二阶龙格库塔方法稳定性及分支分析

柯于胜,陈伯山,刘唯一，2

(1.湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 4350022.咸宁职业技术学院 工学院，湖北 咸宁 437100)

一类食饵-捕食者模型的二阶龙格库塔方法稳定性及分支分析

柯于胜1,陈伯山1,刘唯一1，2

(1.湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 4350022.咸宁职业技术学院 工学院，湖北 咸宁 437100)

研究了一类食饵-捕食者模型在R6内的离散化及其动力学行为.首先,利用二阶龙格-库塔方法将一类食饵-捕食者模型离散化,得到一类新的离散奇异系统,然后运用微分代数系统理论与分支理论讨论了系统在平衡点处的局部稳定性与分支问题,证明了Neimark-Sacker分支的存在性,并且选取捕获努力研究了Neimark-Sacker分支及其方向,最后通过数值模拟证明了我们的结论.

食饵-捕食者模型;微分代数系统;龙格-库塔方法

在生态动力系统中,传统的Lotka-Volterra食饵-捕食者模型是一类十分重要的模型,在捕捞业以及生态管理中广泛地应用,具有重要的意义.在食饵-捕食者系统中,对于生命长、世代重叠并且数量很大的种群,常近似地用微分方程来描述[1～2].生命短、世代不重叠或者数量少的种群,均常用差分方程来描述.近年来,这种用差分方程来描述的离散食饵-捕食者系统得到越来越多的关注.学者们研究了离散的Lotka-Volterra食饵-捕食者系统各方面的内容,其中包括平衡点的稳定性,分支情况,周期解的存在性和混沌控制等[3～7].

在差分动力系统的研究中,许多用差分系统所描述的离散模型都是通过连续模型的离散化获得的.然而,对于同样的连续模型,不同的离散化方法可以得到不同的离散模型,进而可以得到不同的定理与结论.大多数文献中的离散化模型都是通过对连续模型进行欧拉方法的离散化而得到的,并没有获得较为精确的离散化系统.因此,本文希望在传统的Lotka-Volterra食饵-捕食者系统的基础上,用一种新的方法对连续模型进行离散化,从而得到一类理想的离散模型,并分析该模型的动力学行为.

1 模型建立

本文将考虑如下Lotka-Volterra食饵-捕食者模型:

(1)

其中x=x(t) 和y=y(t) 分别表示食饵种群和捕食者种群在时刻t的数量,k表示食饵种群的容纳量,r是食饵种群的内禀增长率,b是捕食者的功能性反应,c是食饵向捕食者转化的速率,d是捕食者种群的死亡率,e是捕获努力.

首先,利用无量纲变换,将系统 (1)化简为:

(2)

然后利用二阶龙格-库塔方法对系统 (2)进行离散化,得到下面的离散奇异系统

(3)

通过如上分析,建立了一类定义在R6中的二维流形(坐标轴分别为x,y,f1,g1,f2,g2).其中,

f1(g1) 表示系统 (2)的解x=x(t)(y=y(t)) 在区间段[ti,ti+1] 左端点的斜率,f2(g2) 表示系统 (2)的解x=x(t)(y=y(t))在区间段[ti,ti+1] 右端点的斜率,δ表示步长.

2 平衡点的稳定性分析

容易看出系统(3) 有平衡点E0(x0,y0,f10,g10,f20,g20)其中

x0=(d+e)/c,y0=1-x0

f10=f20=g10=g20=0

现在考虑系统(3) 在平衡点E0(x0,y0,f10,g10,f20,g20) 的稳定性.先求出系统(3) 在平衡点

E0(x0,y0,f10,g10,f20,g20) 的雅可比矩阵为

那么J(E0) 相应的特征方程为

λ2+Pλ+Q=0

(4)

对于特征方程(4),F(λ)=λ2+Pλ+Q, 则

其中

B1=c,B2=2-c

根据系统(3)知道00 .

经过分析,得到离散系统 (3)在平衡点的局部稳定性定理如下:

定理1 系统(3) 的平衡点E0(x0,y0,f10,g10,f20,g20) 为:

1)汇(源)当且仅当F(1)>0并且Q<1(Q>1 );

2)鞍点当且仅当F(1)<0;

3)非双曲的当且仅当如下条件之一成立:

i)F(1)=0; ii)Q=1 .

本文着重研究系统(3) 的平衡点E0(x0,y0,f10,g10,f20,g20) 在参数经历一个阀值时发生Neimark-Sacker分支的动力学形为.事实上,不妨选定系数c和d,取满足条件

的适合参数值c,d,便可以找到相应的e值,令其为e0.

3 平衡点E0 的Neimark-Sacker分支分析

选取参数(c,d,e)∈H,令e=e0+e*,并且选取e*为分支参数,系统(3) 在微小扰动下变为

(5)

其中 |e*|≪1,为一个很小的扰动参数.

运用中心流形定理和微分代数系统理论,我们得到系统(5) 的标准型:

(6)

系统(6)在(z1,z2)=(0,0) 处的线性化系统的特征方程为

λ2+P(e*)λ+Q(e*)=0

通过化简我们可以得到系统(6)在e*=0 的范式为

(7)

系统(7)中的G(u,v) 和K(u,v) 为

G(u,v)=a11u2+a12uv+a22v2+a111u3+a112u2v+a122uv2+a222v3+O((|u|+|v|)4)

K(u,v)=b11u2+b12uv+b22v2+b111u3+b112u2v+b122uv2+b222v3+O((|u|+|v|)4)

由G1(z1,z2) 和G2(z1,z2) 可以计算系统(6)在 (0,0)处的二阶,三阶导数分别为

Guu=2a11,Guv=a12,Gvv=2a22,Guuu1=6a111,Guuv=2a112,Guvv=2a122,Gvvv=6a222,

Kuu= 2b11,Kuv=b12,Kvv=2b22,Kuuu=6b111,Kuuv=2b112,Kuvv=2b122,Kvvv=6b222,

如果系统(7)发生Neimark-Sacker分支,必须要求下面的判定值不为零:

其中

经过分析,有如下结论:

定理2 设(c,d,δ,e)∈H,若β≠0,则当参数e在e0的小范围内变化时,系统(3)的平衡点E0会经历一个Neimark-Sacker分支;若β>0 时,则当e>e0时平衡点E0不稳定且有一个渐进稳定的周期轨道;当ee0时平衡点E0是渐近稳定的.

4 数值模拟

我们令c=12,d=8.5,δ=1,根据前面分析知道方程Q=1有且只有一个正根e0≈0.405,此时系统有一个平衡点E0(0.7421,0.2579,0,0,0)当参数e在e0的范围内变化时会经历一个Neimark-Sacker分支,经过计算得

因此,若e>e0,则平衡点E0渐近稳定,若e

在图1中,e=0.5,则平衡点E0(0.7421,0.2579,0.,0.,0,0) 渐近稳定.

在图2中,e=0.3,则平衡点E0(0.7421,0.2579,0,0,0,0) 不稳定.

在图3中,e=0.405,则在平衡点E0(0.7421,0.2579,0,0,0,0) 处产生一个渐近稳定的周期轨道.

图1 当c=12,d=8.5,δ=1,e=0.5 时的Neimark-Sacker分支图

图2 当c=12,d=8.5,δ=1,e=0.3 时的Neimark-Sacker分支图

图3 当c=12,d=8.5,δ=1,e=0.405 时的Neimark-Sacker分支图

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StabilityandbifurcationanalysisofasecondorderRunge-Kuttamethodforaprey-predatormodel

KE Yu-sheng1, CHEN Bo-shan1,LIU Wei-yi1,2

(1. College of Mathematics and Statistic,Hubei Normal University,Huangshi 435002,China;2.Institute of Technology,Xianning Vocational Technical College,Xianning 437100,China)

This paper investigate the discretization and the dynamical behavior of a prey-predator model in R6, First, applying the second order Runge-Kutta method, we obtain a new discrete system. Second, by using the differential-algebraic theory and bifurcation theory, the local stability and bifurcation of the proposed model around an interior equilibrium is discussed, and prove the Neimark-Sacker bifurcation exist. Then we analysis the Neimark-Sacker bifurcation and its direction by choosing the harvesting effort as the bifurcation parameter. Finally, a numerical simulation is presented to illustrate the theoretical results.

prey-predator model; local stability; Runge-Kutta method

2014—01—02

柯于胜(1987— )，男，湖北黄石人，硕士研究生，主要从事微分方程与控制论.

O193

A

1009-2714(2014)03- 0068- 06

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.03.016