变力作用下的动能定理分析

陈亚兰

（兴义市第五中学 贵州 兴义 562400）

众所周知，在《全日制普通高中物理新课程标准》中，三维目标的过程与方法提到［1］：通过物理概念和规律的学习过程，了解物理学的研究方法，认识物理实验、物理模型和数学工具在物理学发展过程中的作用.可见，对用数学方法处理物理问题提出了较高的要求.高中学生已经具备了微积分的初步知识，用微积分求解有关高中物理习题成为可能［2］.曾经有的教师在课堂上应用微积分进行题解，出现了学生反而听得更加精神的状况［1］.课后了解不少学生也反映.用微积分解题感觉很新鲜，感叹说“爽”.在平时作业中，个别聪明的学生也会用微积分进行题解.

本文利用微积分导出变力作用下的动能定理，从而拓展动能定理的推导新条件和教学新环境.主要围绕两个方面进行论述，一是物体运动轨迹为直线时，变力作用下动能定理的理解；二是物体运动轨迹为曲线时，变力作用下动能定理的分析.

1 直线运动的动能定理

高中物理课本中的动能定理，是根据牛顿第二定律和匀变速运动的规律推导而得的［3］.外力对物体做功是一个过程量，直接度量为状态量的动能改变量，即W＝ΔEk.只要考虑这一点，就很容易把问题解决.

一质量为m的金属球从离地面高h处自由落下，陷入沙坑中L深处，如图1所示.在陷入沙子的过程中，用动能的状态量值可以求出平均阻力为f（变力）.综合知识得

根据动能定理，可以得

图1

2 曲线运动的动能定理

能量是物体状态的单值函数［4］，力对物体所做的功是空间积累效应的过程量.如果物体的运动轨迹为曲线，则空间积累量的功不考虑其复杂的运动过程，只考虑状态动能的改变量即可确定其值.在此，复杂的曲线运动过程，为使问题一目了然，得引入元功，利用积分导出变力作用下的动能定理.

当物体在变力F作用下，从a点沿曲线运动到b点，我们用va和vb分别表示起始速度，如图2所示.物体在F的作用下发生一无限小的位移（其大小为dr），则元功为dA＝Fcosθdr.物体从a点沿曲线运动到b点的过程中，变力F做的功通过积分可以得

图2

根据牛顿第二定律，进行微分处理，其中

经过整理得变力作用下，物体沿曲线轨迹运动的动能定理，即

3 总结

在直线和曲线运动中，变力作用下，都可以利用动能定理进行处理问题.这是一个可用状态量求解过程量的物理问题，使问题处理简单化，具体复杂的过程不要考虑.当A＞0时，作用于物体上的合外力做正功，结果是使物体增加了动能；当A＜0时，作用于物体上的合外力作负功，结果是使物体减少了动能.

以上分析表明，动能定理适用于物体的任何运动过程，物体在外力的持续作用下，经历某一段路程，不管外力是不是变力，也不管物体运动状态如何复杂，合外力对物体作的功总是取决于物体始末动能之差的负值.功可以被看作是物体在相互作用过程中交换的能量，能量也可被看作是物体在某一状态下储存起来的、潜在的功.

1 张振.在高中物理中应用微积分的研究.物理教师，2010，31（9）：6～7

2 蒋军，袁海泉.用微积分解答高中物理问题的价值.物理通报，2010（10）：30～32

3 普通高中课程标准实验教科书.物理·必修2.济南：山东科学技术出版社，2010.25～26

4 程守洙，江之永.普通物理学（上册）.北京：高等教育出版社，2009.69～71