乔百杰, 赵 彤, 陈雪峰
(1.西安交通大学 机械制造系统工程国家重点实验室,西安 710049; 2.清华大学 机械工程系,北京 100084)
振动系统能量问题包含两类问题:能量传递和能量分布。能量传递可以用功率流表达,由功能关系可知输入系统的净功率流等于系统耗能(包括结构内部摩擦耗能和对外辐射的声能),可表征系统耗能能力;系统能量分布可由系统振动能量(时域平均动能和势能之和)表达,可表征系统蓄能能力[1]。从因果系统输入激励和输出响应的角度来说,功率流相当于输入激励,而系统振动能量相当于系统输出响应,二者可由损耗因子关联起来,因此损耗因子可以类比系统频响函数,与频响函数一样,系统损耗因子是系统固有属性,与外界的输入输出无关。
自从Goyder等[2]将功率流理论引入到振动系统以来,功率流就成为了振动和噪声控制领域的有力工具。牛军川等[3]通过建立子系统间动力学模型,将功率流理论应用在柔性隔振系统中。功率流理论由于其自身的优越性,被越来越多地应用于工程实践中,但实际应用中,测量界面间的传递功率流远非速度与力乘积那么简单,功率流的测量方法是当前的一个研究重点。如何精确地测量振源输入基座的功率流是主动或被动隔振设计首要考虑的问题。Alberdi-Muniain等[5]在研究电磁隔振器隔振效果时,通过在隔振器两端安装力传感器和加速度传感器,得到两端的传递功率流。为了测量振源传递到圆柱壳体的功率流,Howard等[6]利用电阻应变片设计了六轴测力传感器,并给出了测量角加速度的方法,实现了多自由度振动功率流测量。Singh等[7]在研究结构声传递路径贡献时,采用PCB公司生产的型号288D01阻抗头传感器测量了联结点处的力和加速度信号,直接获得了传递功率流,评价了在各个频点不同传递路径对目标的贡献量。在振动控制中,界面间能量的传递常常出现负功率流的现象[6-7],而仅将负功率流归结为测量精度不够所致,尚难以令人信服。
系统振动能量具有表征设备对外辐射噪声和传递振动的能力,在全局频段均可作为评价系统隔振性能的指标。振动能量参数相比常规的局部隔振评价指标如力、速度或者加速度,可以从整个结构的角度评价振动的控制效果,然而目前还没有仪器可以直接测量得到总能量、动能和势能。通常是尽可能多地测量多个位置的位移、速度或者加速度响应,平均求和只能得到粗略的能量参数[9]。Bobrovnistskii等[10]针对单点激励的多自由度振动系统,分别应用驱动点阻抗和导纳法推导了估计系统总能量、动能、势能以及损耗因子的表达式,数值仿真结果与理论值对比表明该方法在中低频可以有效地估计系统的能量参数。基于驱动点阻抗和导纳法估计系统能量,仅需要事先得到驱动点的阻抗或导纳,而测量系统工作状态只需一个加速度或力传感器。
可知,功率流和振动能量在振动和噪声控制领域有着重要的地位,而将二者结合起来并建立二者间关系的研究却较少。
功率流理论现已为人们所熟知,它实际上是电气网络中有功功率的概念在机械振动领域的延伸。功率即单位时间内力所作的功,若f(t)为作用于结构某点的外力,v(t)为该点对激励力f(t)所产生的速度响应,则输入结构的功率为P(t)=f(t)v(t),它是时间t的函数,称为瞬时功率流。对于振动分析来说,平均功率流在描述结构振动特性方面更具有意义。平均功率流为瞬时功率流P(t)在一个周期T内的时域积分。针对单点激励,输入系统的时域平均功率流为:
Pt=
(1)
(2)
其中,Sfv(ω)为驱动点力和速度的双边互功率谱密度,ω为圆频率。由式(2)可知,功率流在频域的定义与在时域的定义是统一的,这也是广义帕斯瓦尔定理的必然结果。在实际应用中,加速度比速度更加便于测量,由式(2)可得功率流关于加速度的表达式:
(3)
其中,Gfv(ω)和Gfa(ω)分别为力与速度的单边互功率谱密度和力与加速度的单边互功率谱密度。
对于单频简谐激励而言,输入基座的功率流可以进一步简化为:
(4)
其中,F和V分别是简谐激励力和同频速度响应幅值,φ和ψ分别是简谐激励力和同频速度响应的初相位。若输入激励为周期激励信号,将周期信号傅里叶级数展开,推导可得总功率流的表达式:
(5)
式中:下标n为傅里叶级数展开的阶次。式(5)表明周期激励下,输入功率流满足叠加原理,即输入系统的总功率流等于各阶谐波功率流之和,且不同谐波激励力间无能量交换。
功率流表征系统净损耗能量,振动总能量表征系统存储能量,二者可由系统损耗因子关联起来。系统损耗因子的概念已在统计能量分析、能量有限元等领域得到广泛应用,概念的提出是为了解决有限元方法在中低频的局限性[9]。系统损耗因子定义为单位频率(每振动一次)单位时间内结构的损耗能量与结构中存储的平均能量之比。
(6)
其中,ηω为系统损耗因子,Pin为输入系统的功率流,E为系统振动能量。系统损耗因子反映了振动系统在不同频点的耗能能力。如不特别说明,本文涉及的功率流均为时域平均功率流,振动能量均为时域平均能量。
在中低频段,模态比较稀疏,模态损耗因子较为常用。在共振频率附近,系统损耗因子ηω近似等于模态损耗因子ηn,其中模态损耗因子是模态阻尼比的二倍。
(7)
其中,Δω是模态频率对应的系统响应幅值的0.707倍带宽。式(7)为半功率带宽计算模态损耗因子的表达式。
在机械振动噪声测试中,要求描述测试系统的试验数据量最小化,一方面安装过多的传感器即不经济也会给测试系统带来附加质量,另一方面很多情况下在复杂的机械振动系统安装传感器是不方便甚至不可能的。Bobrovnitskii给出了能量参数估计的详细推导过程[10],本文仅给出最终推导结果。其中,总能量参数的阻抗近似表达为:
(8)
其中,v0是驱动点速度,z(ω)是振动系统的驱动点阻抗。对于无阻尼系统,式(8)是精确估计。对于轻型阻尼系统,上式近似相等,且阻尼越小近似估算误差越小。该式给出了系统时域平均总能量在中低频的近似表达。将式(4)和式(8)带入式(6),可得系统损耗因子的驱动点阻抗近似表达:
(9)
同理,易得振动能量和系统损耗因子的驱动点导纳近似表达:
(10)
(11)
其中,f0为驱动点激励力,y(ω)为振动系统的驱动点导纳。值得注意的是,基于驱动点阻抗或者导纳估计系统振动能量和系统损耗因子,仅需测量驱动点处的振动物理量,而无需测量整个结构的振动响应。
功率流测量和振动能量估计试验平台如图1所示。惯性式作动器作为激励源而产生垂向激振力,阻抗头传感器安装在作动器和基座之间,测量联接处的加速度和激振力。信号发生器在10-300 Hz频段产生恒定的控制电压,经由功率放大器驱动作动器对外输出作动力。尽管如此作动器作为激励源而非恒力源,输出激励力随着频率的变化而变化,这是由基座非刚性和作动器自身模态所共同决定的。激励形式为10-300 Hz频段的慢速稳态正弦扫频激励,步长1 Hz,在每个单频点由LMS SCADASIII数据采集系统以2 048 Hz的采样频率采集8 192个数据点。
图1 功率流测量和振动能量估计试验台
直接法测量功率流可以用图2测量功率流流程图表示。首先由阻抗头传感器获得同点同方向的力f(t)和加速度a(t)信号,其次基于傅里叶变换积分性质将加速度信号a(t)转换为速度信号v(t),随后速度信号v(t)与力信号f(t)做乘积运算,得到瞬时功率流P(t),对此计算时域均值,最终获得时域平均功率流Ptt。
图2 功率流测量流程图
分别应用时域平均法、基波频域法和二次谐波频域法计算作动器输入基座的功率流如图3和图4所示。时域平均法计算流程如图2所示,该方法充分利用了所测的力和加速度的信息,而基波频域法通过FFT变换仅仅提取力和加速度信号的基波信息,二次谐波频域法考虑了力和加速度信号的基波和二次谐波信息。三种方法所得功率流在10-300 Hz频段均出现两个明显的峰值,分别对应于铅垂方向的两阶模态频率。在64-68 Hz频段,三种计算方法均出现了负功率流(注:在功率流分布图中,若采用对数坐标,负功率流一般不画出来,以区分正功率流和负功率流),初步分析在64-68 Hz为其他自由度(如力矩激励)作用导致铅垂方向输出负功率流,即振动能量由基座反向传至作动器;对比图3和图4,可知在105 Hz、168 Hz等频点(与模态频率有整倍数或者分倍数关系)附近基波频域法较时域平均法光滑,而在这些频点时域平均法和谐波频域法吻合度很好,可知在这些频点谐波激励占有重要分量。考虑二次谐波的影响,功率流在整个频段均与时域平均法吻合。由此可知在主动隔振控制中,当激振频率为各阶模态频率分倍频时,其谐波振动需要加以控制。
图3和图4显示功率流在64-68 Hz频段为负值,而仅仅将之归结为测量误差是不足够的。本文力图从多自由度振动角度揭示负功率流成因。实际上,阻抗头传感器测量的力信号为铅垂方向的激振力,而加速度信号则是多个自由度方向的激励在铅垂方向响应的叠加。因此,利用阻抗头测量得到的功率流用如下公式表示:
(12)
图3 功率流时域均值法与基波频域法对比
本文1.2小节给出了计算功率流的表达式,1.3小节从理论上阐述了功率流和振动能量参数间的关系,并通过系统损耗因子建立了二者间的关系。2.3小节从试验的角度研究了功率流的不同计算方法。基于驱动点阻抗和导纳法的振动系统能量估计如图5所示,两种方法在所关注的10-300Hz频段所得结果基本一致。同时,两种估算方法互相验证了对方计算方法的有效性。本小节重点在于验证振动能量参数估计方法,以及功率流和振动能量参数间的关系。综合输入基座的功率流和基座的振动能量,结合式(6),可得如图6所示的随频率变化的系统损耗因子。
图6 基于驱动点阻抗法和导纳法系统损耗因子估计
图6显示在10-100 Hz频段系统损耗因子值较高,这是由系统损耗因子的计算式所决定的。式(6)的分母包含变量圆频率ω,致使在ω较小时,式(6)变得相当的大。尽管如此在100-300 Hz频段,系统损耗因子与模态试验所得到的模态损耗因子η=0.004一致,特别是在第二阶铅垂方向的模态频率228 Hz附近吻合度较高。这是由于在模态频率附近,仅当前模态占据主导地位,而远离模态频率,系统损耗因子是多阶模态共同作用的结果。
本文通过在振源与能量接受体之间插入阻抗头传感器,测量联接点力和加速度信号,在10-300 Hz频段分别运用时域平均法、基波频域法和二次谐波频域法计算作动器输出或者输入基座的功率流,并对三种计算方法进行对比,分析功率流的传递规律。试验结果表明,从振动能量控制的角度而言,当激励频率为系统模态频率的分倍频时,激励频率的谐波应该加以控制。针对功率流测量中出现的负功率流现象,从多自由度振动的角度给出解释。
针对多自由度连续振动系统,当仅有一点受到外界激励,系统的振动能量参数可通过驱动点阻抗和导纳法估计而得。该方法测量振动能量较为经济,只需测量激励点处的力或加速度,以及事先通过模态试验获得的驱动点频响函数,无需在整个系统布置传感器。同时,由系统损耗因子建立了输入功率流和系统振动能量间的关系,并通过试验在中低频段验证了二者间的关系。
参 考 文 献
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