地震条件下挡土墙被动土压力及其分布的微分薄层计算方法

徐利敏，孙若飞，孙　勇

(贵州大学 喀斯特环境与地质灾害防治教育部重点实验室,贵州 贵阳 550003)



地震条件下挡土墙被动土压力及其分布的微分薄层计算方法

徐利敏，孙若飞，孙勇

(贵州大学 喀斯特环境与地质灾害防治教育部重点实验室,贵州 贵阳 550003)

摘要：基于微分薄层法思想推导出被动土压力沿挡土墙墙高的非线性分布公式，研究了地震条件下分层土挡土墙被动土压力的计算方法。文中以墙后均匀填土挡土墙为例计算被动土压力，经与朗肯、库伦土压力理论公式的计算结果比较，有很好的吻合性。文章对被动土压力的分析和计算方法，突破了以往所研究的解析解均是针对单一、均质、各向同性填土的限制，可适用于多层不同性质填土的挡土墙被动土压力的计算。而文章计算得到的被动土压力合力的作用点位置低于朗肯、库伦被动土压力合力作用点位置，与以往多位学者相关研究的结论一致，也应该引起注意。

关键词：地震；挡土墙；被动土压力；分层填土

关于地震条件下挡土墙动力土压力的计算，从20个世纪20年代以来国内外广大学者已经进行了大量的研究[1]，其中以理论研究和模型实验为主，提出较早且到目前依然被广泛采用的就是Mononobe-Okabe(物部-岗部)理论(以下简称M-O理论)，此后的众多地震土压力计算理论中相当一部分也都是以该理论为基础发展而来的。M-O理论基于库伦土压力理论发展而来，M-O理论假设:

(1)挡土墙墙后填土为干的无黏性填料(也称φ土；区别于有黏聚力的c-φ土)；

(2)挡土墙墙后填土表面水平；

(3)挡土墙墙后滑动楔体作为一个刚体整体移动；

(4)挡土墙墙后滑动楔体各处具有相同的加速度；

(5)挡土墙墙后滑动楔体，地震作用简化为一个惯性力系(包括一个垂直于挡墙走向的水平加速度产生的水平惯性力和一个竖向的加速度产生的竖向惯性力)作用在滑动楔体上。

M-O理论将一个复杂的动力学问题简化为一个简单的静力学问题，其正确性和合理性也是得到了大量相关模型实验的验证，所以一段时间以来该理论一直被广大专家、学者及工程设计人员视为是地震土压力计算理论的典范[1-16]。但是M-O理论以及其他的相关的地震土压力计算理论都是针对挡土墙后填土为均质无黏性填料(φ土)而言的，而在实际工程中我们在修建挡土墙时墙后填土很多情况下为非均质的有黏性的土(c-φ土)，需要考虑成层粘性土(c-φ土)土压力的计算问题。

本文在M-O理论的基础上，采用微分薄层法(最早提出微分薄层法理论思想的是前苏联的卡岗，1960年)的思想推导了地震条件下被动土压力合力和沿墙高的非线性分布公式。显然，相比朗肯土压力、库伦土压力(包括主动土压力和被动土压力)，沿墙高线性分布(直线分布)的假设，本文的方法对土压力的计算更加符合实际。

本文的方法适用于如下条件的分层填土挡土墙：

(1)挡土墙墙背倾角α；

(2)挡土墙墙后填土表面坡角β；

(3)挡土墙填土黏聚力ci；

(4)挡土墙填土内摩擦角φi；

(5)挡土墙墙土间摩擦角δ；

(7)挡土墙墙后填土的水平向地震加速度系数Kh；

(8)挡土墙墙后填土的竖向地震加速度系数Kv；

(9)地面超载q0等。

本文以被动土压力的情况进行分析，通过建立微分薄层土体的水平向和竖直向的力平衡条件方程，以及力矩平衡条件方程，进行土压力的求解计算，最终得到一般情况下的成层黏性土(c-φ土)的土压力合力及土压力分布的计算公式。

1　分析模型

1.1拟静力分析法

假设地震过程中产生的作用在滑动土楔体中的

(1)水平向地震加速为αh；

(2)竖直向地震加速度为αv；

则作用在滑动楔体上的水平向地震作用力Fh和竖向地震作用力Fv分别为：

(1)

(2)

式中：Kh为水平向地震拟静力加速度系数(地震系数)；Kv为竖直向地震拟静力加速度系数(地震系数)；Δw为微分薄层土体单元的重力。

通常情况下我们取：

(3)

在设计地震烈度为Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ度时，水平向地震拟静力加速度系数Kh分别取0.1、0.2、0.4，具体可参见《挡土墙土压力计算手册》[9]。鉴于拟静力分析法的特点我们在计算时假设地震不影响土体的基本力学特性(强度，应力—应变关系等)。

1.2分析模型

微分薄层法又称为薄层分析法或土压力的非线性分布解法。其源于卡岗(1960年)的水平层分析法，卡岗的水平层分析法针对的是分层填土面为水平的情况，而本文的微分薄层可以为倾斜的情况，如图1所示。图中：

(1)挡土墙墙高为H；

(2)挡土墙墙背倾角为α；

(3)挡土墙墙后填土面倾角为β；

(4)挡土墙墙后填土黏聚力为ci；

(5)挡土墙墙后填土内摩擦角为φi；

图1被动土压力分层计算模型

2　理论推导

2.1基本假定

(1)挡土墙墙后填土为成层黏性土，各自具有黏聚力ci和内摩擦角φi，但同一土层内土体密度ρi是单一各向同性体；

(3)挡土墙墙后滑动楔体ABC作为一个刚体整体移动即滑动楔体各处加速度相同；

(6)不考虑挡土墙墙后填土的层间剪力；

(7)挡土墙墙后填土的地震加速度沿墙高不变

2.2分层土的基本关系式

从破裂楔体中取一平行于挡土墙墙后填料表面的微分单元体(见图2)。几何关系有：

(4)

图2挡土墙计算模型(被动土压力)

2.3地震作用时微分单元的基本平衡方程

2.3.1微分单元形心的确定

如图2所示，假设平行四边形efgd的形心在平行四边形efgd的中线上，平行四边形efgd的形心到gd中点的水平距离为x,把平行四边形efgd分成三部分，分别为三角形efm,矩形mfgn和三角形ngd,并设三角形efm的形心到gd中点的水平距离为x2,矩形mfgn的形心到gd中点的水平距离为x3,三角形ngd的形心到gd中点的水平距离为x1,对gd的中点取矩，则：

Sefgd·x=Sefm·x2+Smfgn·x3+Sngd·x1

(5)

其中：

解得：

(6)

2.3.2水平方向的静力平衡方程

(7)

2.3.3竖直方向的静力平衡方程

(8)

2.3.4力矩平衡方程

cosβ-(1-Kv)·Δwi·x=0

(9)

2.4计算过程

联立三个平衡方程解得：

(10)

(11)其中：i1=(H-h-Δh)·sin(θ+α)cosβcos(α+θ-φ)-(2H-2h-Δh)·sin(θ+α)cos(α-β)cos(θ-φ)+Δhsinθcos(α-β)cos(α+θ-φ)i2=(H-h-Δh)sin(θ+α)sin(φ+δ-α-θ)cosβ-(H-h-Δh)cosβsin(θ+α)sin(α+δ+θ+φ)+Δh·sinθcos(α-β)sin(φ+δ-α-θ)

i3=(H-h-Δh)cosβcosφsin(θ+α)cos(α-β)+Δhsinθcos(α-β)cosφcos(α-β)

i4=(H-h-Δh)sin(θ+α)sin(φ+δ-α-θ)cosβcos(θ+β)-(H-h-Δh)cosβsin(θ+α)sin(α+δ+θ+φ)cos(θ+β)+Δhsinθcos(α-β)sin(φ+δ-α-θ)cos(θ+β)

i5=2sinθcosαcos(α-β)cos(θ-φ)-cosαcosβsin(θ+α)cos(θ-φ)

i6=(H-h-Δh)cosαcosβsin(θ+α)sin(θ-φ)+Δhsinθcosαcos(α-β)sin(θ-φ)+2x·tanβcos2αcos(θ-φ)cos(θ+β)

i7=(H-h-Δh)cosαcosβsin(θ+α)cos(θ-φ)+Δhsinθcosαcos(α-β)cos(θ-φ)-2x·cos2αcos(θ-φ)cos(θ+β)

3　计算实例

为了验证以上公式的合理性和正确性，下面将通过具体的算例，对比相同工况条件下本文所推导计算公式与经典的库伦和朗肯土压力计算理论以及地震条件下的M-O理论的计算结果，并根据计算结果判定其吻合度。计算实例选取清华大学陈希哲《土力学与地基基础》[8]以及《挡土墙计算手册》[9]。

3.1验证本文公式与朗肯土压力计算理论的一致性

【算例1】已知某挡土墙高度H=60 m，墙背倾角α=0°，墙后填土倾角β=0°，墙背与填土摩擦角δ=0°。墙后填土为中砂，中砂重度γ=18 kN/m3，内摩擦角φ=30°，计算作用在此挡土墙上的被动土压力。

[解]首先按照本文计算公式进行求解，考虑到题目中朗肯土压力所限条件令：

c=0,c′=0,Kh=0,Kv=0,q0=0

墙后滑动楔体破裂角按照郎肯土压力理论的计算公式可得：

为计算方便起见填土厚度均匀分层，填土分层厚度Δh取0.25 m，本文计算结果见表1，计算过程通过计算机程序(C语言)实现。

由表中计算结果可得被动土压力：

Pp1=4045.4092×0.25=1011.37 kN/m

由朗肯土压力公式计算所得的被动土压力为：

表1　算例1被动土压力分层计算结果

比较计算结果可知，本文计算结果比朗肯计算结果偏大约为：

本文方法得到的被动土压力合力作用点位置离墙踵的高度：

Z0p=

3.2验证本文公式与库伦土压力计算理论的一致性

【算例2】已知某挡土墙高度H=6.0 m，挡土墙墙背倾角α=10°，挡土墙墙后填土倾角β=10°，挡土墙墙背与填土摩擦角δ=20°。挡土墙墙后填土为中砂，中砂重度γ=18 kN/m3，内摩擦角φ=30°，计算作用在此挡土墙上的被动土压力。

图3成层黏性土挡土墙地震被动土压力分布

[解]首先按照本文计算公式进行求解。库伦土压力理论所限条件，令：

c=0,c′=0,Kh=0,Kv=0,q0=0

墙后滑动楔体破裂角由以下公式求得为θ=61°

为计算方便起见填土厚度均匀分层，填土分层厚度Δh取0.25 m，本文计算结果见表2，计算过程通过计算机程序(C语言)实现。

表2　算例2被动土压力分层计算结果

由表中计算结果可得被动土压力：

Pp1=7808.4964×0.25=1952.12 kN/m

由库伦土压力公式计算所得的被动土压力：

其中库伦被动土压力系数可由清华大学陈希哲《土力学地基基础》[8]图5.18查得。比较计算结果可知本文计算结果比库伦被动土压力计算结果偏小。

本文方法得到的主动土压力合力作用点位置离墙踵的高度：

Z0p=

图4成层黏性土挡土墙地震被动土压力分布

4　结　论

(1)本文基于微分薄层法思想推导出被动土压力沿挡土墙墙高的非线性分布公式，研究了地震条件下分层土挡土墙被动土压力的计算方法，突破了以往所研究的解析解均是针对单一、均质、各向同性填土的限制，可适用于多层不同性质填土的挡土墙被动土压力的计算。

(2)经与朗肯、库伦土压力理论公式的计算结果比较，文中以墙后均匀填土挡土墙为例计算被动土压力数值吻合很好，保证了其合理性和正确性。

参考文献：

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[4]王立强,王元战,迟丽华.挡土墙地震土压力及其分布[J].中国港湾建设，2007,(5):1-5.

[5]杨剑,高玉峰,程永锋，等.地震条件下倾斜挡土墙被动土压力研究[J].岩土工程学报，2009,31(9):1391-1397.

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[9]顾慰慈.挡土墙土压力计算手册[M].北京：中国建材工业出版社,2005.

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DifferentialMethodofThinLayerforPassiveEarthPressureandItsDistributionofRetainingWallunderSeismicCondition

XU Li-min,SUN Ruo-fei,SUN Yong

(KeyLaboratoryofKarstEnvironmentandGeologicalHazardPrevention,MinistryofEducation,GuizhouUniversity,Guiyang,Guizhou550003,China)

Abstract：Based on the thin layer method,the non-linear distribution formula of retaining wall height under passive earth pressure was deduced,and the calculation method for passive earth pressure under seismic condition was discussed.By comparing the test results with those of the Rankine theory and Coulomb theory,it was found that the results were in consistency.Therefore,the calculation formula and method are suitable for calculating passive earth pressure of retaining wall of different multilayer nature filling.This break the limit of the previous works,of which the analytical solutions are only for single homogeneous isotropic filling.Here,the conclusion is consitstent with that of other researchers' work on this field,namely the point position of passive earth pressure determined by this method is lower than that of Rankine theory and Coulomb theory,which should also be noticed.

Keywords：earthquake;retaining wall;passive earth pressure;filling by layers

DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2014.06.006

中图分类号：TU432

文献标识码：A

文章编号：1672—1144(2014)06—0032—06

通讯作者：孙勇(1963—)，男，贵州铜仁市人，博士，教授，主要从事岩土工程和建筑结构工程的设计、教学与科研工作。

作者简介：徐利敏(1989—)，女，河南许昌人，硕士研究生，研究方向为基础工程。

基金项目：贵州省科学技术基金资助项目(黔科合J字[2010]2245)；贵州省优秀教育人才省长基金资助项目(黔省专合字2011-35)；国家自然科学基金资助项目(51168009)

收稿日期：2014-07-21修稿日期：2014-08-23