BL-代数的余零化算子及其BL同态像

王霞霞, 吴洪博

(陕西师范大学 数学与信息科学学院, 西安 710062)

BL-代数的余零化算子及其BL同态像

王霞霞, 吴洪博

(陕西师范大学 数学与信息科学学院, 西安 710062)

通过在BL-代数中给出单点余零化算子的概念, 研究单点余零化算子的基本性质; 在BL-代数中讨论多点余零化算子的基本性质, 并给出BL-代数的一个子集是多点余零化算子像的充要条件; 研究多点余零化算子BL同态像的性质并分别给出余零化算子的BL同态像和余零化算子的BL同态原像是余零化算子像的充要条件.

模糊逻辑; BL-代数; 单点余零化算子; 多点余零化算子; BL同态

模糊逻辑作为非经典数理逻辑的一个重要分支是人工智能与信息科学等许多领域中推理机制的基础.随着模糊命题逻辑系统的发展, 各种模糊逻辑代数相继出现, 如文献[1-2]将蕴涵算子引入格结构中建立了格蕴涵代数; 文献[3]以MV代数和R0代数为特例建立了BR0代数; Hjek[4]基于连续三角模在剩余格的理论框架提出了一种新的模糊逻辑系统----BL-系统和相应的逻辑代数系统----BL-代数; 文献[5-11]从多角度对BL-代数的性质进行了研究; 文献[12-13]对格蕴涵代数的零化子进行了研究.本文在文献[5,12-13]的基础上, 在BL-代数中提出单点余零化算子和多点余零化算子的概念, 并对其基本性质进行研究, 给出了BL-代数的子集是余零化算子像的充要条件; 研究了多点余零化算子的BL同态像, 并分别得到了BL-代数的余零化算子的同态像是余零化算子像的充要条件和BL-代数的余零化算子的同态原像是余零化算子像的充要条件.

1 预备知识

定义1[14]设P是偏序集, 若下列条件成立:

1) ⊗:P×P→P是单调递增的;

2) →:P×P→P关于第一变量是不增的, 关于第二变量是不减的;

3)a⊗b≤c当且仅当a≤b→c,a,b,c∈P.

则P上的二元运算⊗和→称为互为伴随; (⊗,→)称为P上的伴随对.

定义2[14]若下列条件成立:

1)L上有伴随对(⊗,→);

2) (L,⊗,→)是带单位1的交换半群, 这里1是L中的最大元.

则有界格L称为剩余格.

定义3[3]∀a,b∈L, 若满足下列条件:

1)a∧b=a⊗(a→b);

2) (a→b)∨(b→a)=1.

则剩余格L称为BL-代数.

引理1[5-6]设L是BL-代数, ∀a,b,c∈L, 有:

1)a⊗b≤a∧b≤a∨b;

2)a≤b当且仅当a→b=1;

3) 1→a=a;

4)a∧b≤a→b;

5)a⊗(a→b)≤b;

6)b≤a→(a⊗b);

7) 当b≤c时,a→b≤a→c;

10)a∨b=((a→b)→b)∧((b→a)→a);

11) BL-代数L是分配格.

2 BL-代数的单点余零化算子

d:L→P(L)

定义4设L是BL-代数, 若其满足: ∀a∈L,d(a)={x∈L|a∨x=1}, 则称d:L→P(L)为BL-代数中的单点余零化算子, 这里P(L)指L的幂集(下同).

命题1若d是BL-代数L中的单点余零化算子, ∀a,b∈L, 则下列结论成立:

1)d(1)=L,d(0)={1};

2) 若a≤b, 则d(a)⊆d(b);

3)d(a)∪d(b)⊆d(a∨b);

4)d(a)∩d(b)=d(a∧b)⊆d(a→b);

5)d(a⊗b)=d(a)∩d(b);

6) 若x∈d(a), 则x→0≤a.

证明: 1) ① ∀x∈L, 由x∨1=1知x∈d(1), 即L⊆d(1), 又d(1)⊆L, 因此d(1)=L; ② ∀x∈d(0), 由定义4知x∨0=1, 因此x=1, 所以d(0)={1}.

2) ∀x∈d(a), 由a≤b得b∨x≥a∨x=1, 所以x∈d(b), 于是d(a)⊆d(b).

3) ∀x∈d(a)∪d(b),x∈d(a)或x∈d(b), 即a∨x=1或b∨x=1, 因此(a∨b)∨x=1, 所以x∈d(a∨b), 于是d(a)∪d(b)⊆d(a∨b).

4) ①x∈d(a)∩d(b)当且仅当x∈d(a)且x∈d(b)当且仅当a∨x=1且b∨x=1当且仅当(a∧b)∨x=(a∨x)∧(b∨x)=1(引理1中11))当且仅当x∈d(a∧b), 所以d(a∧b)=d(a)∩d(b); ② 由引理1中4)知a∧b≤a→b, 结合2)知d(a∧b)⊆d(a→b).

5) 一方面, 若x∈d(a⊗b), 则由引理1中1)知a⊗b≤a∧b, 结合2)得x∈d(a∧b), 再结合4) 知x∈d(a)∩d(b), 即d(a⊗b)⊆d(a)∩d(b); 另一方面, 若x∈d(a)∩d(b), 则x∈d(a)且x∈d(b), 即a∨x=1且b∨x=1, 所以

从而(a⊗b)∨x=1, 即x∈d(a⊗b), 于是d(a)∩d(b)⊆d(a⊗b), 综合得d(a⊗b)=d(a)∩d(b).

6) 若x∈d(a), 则由定义4和引理1中10)知(x→a)→a≥x∨a=1, 从而结合引理1中2)得x→a≤a, 又由引理1中7)知x→a≥x→0, 所以a≥x→0.

定义5设L是BL-代数, ∀a∈L, 定义

则称an为a的n次幂.

推论1设L是BL-代数,d是BL-代数中的单点余零化算子, 则∀a,b∈L, 有d(a⊗b)=d(a∧b).特别地, 有∀n∈,n≥1,d(an)=d(a).

证明: 1) 由命题1中4),5)知d(a⊗b)=d(a∧b).

2) 当n=1时, 结论显然成立.假设n=k时结论成立, 即d(ak)=d(a), 则当n=k+1时, 由1)知d(ak+1)=d(ak⊗a)=d(ak∧a), 又由定义1中1)知ak≤a, 从而d(ak+1)=d(ak)=d(a).

由数学归纳法知结论成立.

定理1设L是BL-代数,d是BL-代数中的单点余零化算子, 则∀a,x,y∈L, 有:

1)d(a)是上集, 即若x∈d(a)且x≤y, 则y∈d(a);

2) 当x∈d(a),y∈d(a)时,x⊗y∈d(a).

证明: 1) 若x∈d(a)且x≤y, 则由d的定义知y∨a≥x∨a=1, 即y∈d(a).

2) 若x∈d(a),y∈d(a), 则a∨x=1,a∨y=1, 因此由d的定义知a∈d(x),a∈d(y), 所以a∈d(x)∩d(y), 再结合命题1中5)知a∈d(x⊗y), 即a∨(x⊗y)=1, 从而x⊗y∈d(a).

定理2设L是BL-代数,d是BL-代数中的单点余零化算子,a,b∈L, ∀x,y∈L, 有:

1) 若x∈d(a),y∈d(a∧b), 则x∨y∈d(b);

2) 若x∈d(a),y∈d(a⊗b), 则x∨y∈d(b);

3) 若x∈d(a),y∈d(a→b), 则x∨y∈d(b).

证明: 1) 由y∈d(a∧b)结合d(a∧b)⊆d(b)知y∈d(b), 再利用定理1中1)知x∨y∈d(b).

2) 由1)及推论1知结论成立.

3) 由x∈d(a),x≤x∨y结合定理1中1)知x∨y∈d(a), 同理由y∈d(a→b)知x∨y∈d(a→b), 所以x∨y∈d(a)∩d(a→b), 再结合命题1中5)知x∨y∈d(a⊗(a→b)), 又由引理1中5)知a⊗(a→b)≤b, 因此由命题1中2)知d(a⊗(a→b))⊆d(b), 所以x∨y∈d(b).

定理3设L是BL-代数,d是BL-代数中的单点余零化算子,a,b∈L, 若x∈d(a),y∈d(b), 则x⊗y,x→y,x∨y,x∧y∈d(a∨b).

证明: 由x∈d(a),y∈d(b)结合d(a),d(b)⊆d(a∨b)知,x,y∈d(a∨b), 再利用定理1中2)知x⊗y∈d(a∨b).又由引理1中1)知x⊗y≤x∧y,x⊗y≤x∨y, 再利用引理1中4)知x⊗y≤x→y, 最后结合定理1中1)知结论成立.

3 BL-代数的多点余零化算子

D: P(L)→P(L)

定义6设L是BL-代数, 若∀A⊆L,D(A)={x∈L|a∨x=1, ∀a∈A}, 则称D: P(L)→P(L)为BL-代数中的多点余零化算子.

命题2若D是BL-代数L中的多点余零化算子, 则∀A,B⊆L, 下列结论成立:

1)D({1})=L,D(L)={1};

3) 若A⊆B, 则D(B)⊆D(A);

4)A⊆D(D(A)),D(A)=D(D(D(A)));

5)D(D(A))∩D(A)={1};

6)D(A∪B)=D(A)∩D(B);

7)D(A)∪D(B)⊆D(A∩B).

证明: 1) ①由命题1中1)的证明过程知D({1})=L; ② ∀x∈D(L), 又0∈L, 由定义6知x∨0=1, 即x=1, 所以D(L)={1}.

3),4)证明过程参见文献[5].

5) 若x∈D(D(A))∩D(A), 则由定义6知x=x∨x=1, 即D(D(A))∩D(A)⊆{1}, 而由∀a∈A, 1∨a=1知1∈D(A), 同理1∈D(D(A)), 从而1∈D(D(A))∩D(A).所以结论成立.

6) 一方面, 由A⊆A∪B,B⊆A∪B结合3)知D(A∪B)⊆D(A)且D(A∪B)⊆D(B), 所以D(A∪B)⊆D(A)∩D(B); 另一方面, ∀x∈D(A)∩D(B), 则有x∈D(A),x∈D(B), 所以∀c∈A∪B, 总有c∨x=1, 即x∈D(A∪B), 所以D(A)∩D(B)⊆D(A∪B).综合得6)成立.

7) 因为A∩B⊆A,A∩B⊆B, 因此利用3)知D(A)⊆D(A∩B),D(B)⊆D(A∩B), 所以7)成立.

定理4设L是BL-代数,D是BL-代数的多点余零化算子,A是L的非空子集, 则∀x,y∈L, 有:

1)D(A)是上集, 即若x∈D(A)且x≤y时,y∈D(A);

2) 当x∈D(A),y∈D(A)时,x⊗y∈D(A).

证明: 1) 若x∈D(A),x≤y, 则由∀a∈A,y∨a≥x∨a=1知y∈D(A).

定理5设L是BL-代数,D是BL-代数中的多点余零化算子,A,B是L的非空子集, ∀x,y∈L, 若x∈D(A),y∈D(B), 则: 1)x∨y∈D(A∪B); 2)x∧y∈D(A∩B).

证明: 1) 若x∈D(A),y∈D(B), 则由定理4中1)及x∨y≥x,x∨y≥y知,x∨y∈D(A)且x∨y∈D(B), 因此x∨y∈D(A)∩D(B), 再结合命题2中6)知结论成立.

2) 若x∈D(A),y∈D(B), 则由A∩B⊆A,A∩B⊆B结合命题2中3)知x∈D(A∩B),y∈D(A∩B), 再利用定理4中2)知x⊗y∈D(A∩B), 又因为x⊗y≤x∧y, 所以由定理4中1)有x∧y∈D(A∩B).

定理6设L是BL-代数,A,B是L的子集,D是L的多点余零化算子, 则D(A)∩D(B)={1}的充要条件是D(A)⊆D(D(B))且D(B)⊆D(D(A)).

证明: 必要性.∀x∈D(A), ∀y∈D(B), 由定理4知D(A),D(B)是上集, 再结合x∨y≥x,x∨y≥y知x∨y∈D(A),x∨y∈D(B), 因此x∨y∈D(A)∩D(B).而由D(A)∩D(B)={1}知x∨y=1, 所以由BL-代数的多点余零化算子D的定义知x∈D(D(B))且y∈D(D(A)), 从而得D(A)⊆D(D(B))且D(B)⊆D(D(A)).

充分性.若D(A)⊆D(D(B))且D(B)⊆D(D(A)), 则D(A)∩D(B)⊆D(D(B))∩D(B).而由命题2中5)知D(D(B))∩D(B)={1}, 所以有D(A)∩D(B)⊆{1}, 又由定理4知1∈D(A)∩D(B), 所以D(A)∩D(B)={1}.

定理7设L是BL-代数,F是L的非空子集,D是L的多点余零化算子, 则存在A⊆L, 使得F=D(A)的充要条件是F是上集, 且D(D(F))=F,F∩D(D(A))={1},D(A)∩D(F)={1}.

证明: 必要性.若F=D(A), 则由定理4中1)知F是上集, 由命题2中4)得D(D(F))=D(D(D(A)))=D(A)=F, 由命题2中5)知

F∩D(D(A))=D(A)∩D(D(A))={1},D(A)∩D(F)=D(A)∩D(D(A))={1}.

充分性.若F∩D(D(A))={1}, 则由F是上集结合定理6必要性的证明过程知F⊆D(D(D(A))), 又由命题2中4)知D(D(D(A)))=D(A), 所以F⊆D(A).又若D(A)∩D(F)={1}, 则由定理6知D(A)⊆D(D(F)), 又D(D(F))=F, 所以D(A)⊆F, 综合得F=D(A).

4 BL-代数多点余零化算子的BL同态像

定义7[5]设L,K是BL-代数,f:L→K是L到K的映射, 若∀x,y∈L,f(x→y)=f(x)→f(y),f(x⊗y)=f(x)⊗f(y),f(0L)=0K, 则称f为从L到K的BL同态.

若BL同态映射f是一一映射, 则称f为BL同构映射.

引理2[5]设L,K是BL-代数,f:L→K是L到K的BL同态, 则∀x,y∈L, 有： 1)f(x∨y)=f(x)∨f(y); 2)f(x∧y)=f(x)∧f(y).从而BL同态是剩余格同态.

定义81) 设L,K是BL-代数,f:L→K是L到K的BL同态,A⊆L, 令f(A)={f(x)|x∈A}, 则称f(A)为A的BL同态像.

2) 设L,K是BL-代数,f:L→K是L到K的BL满同态,B⊆K, 令f-1(B)={x∈L|f(x)∈B}, 则称f-1(B)为B的BL同态原像.

定理8设L,K是BL-代数,f:L→K是BL同态,D是BL-代数的多点余零化算子,A是L的非空子集, 则f(D(A))⊆D(f(A)).

证明: ∀y∈f(D(A)), ∃x∈D(A), 使得f(x)=y, 又∀z∈f(A), ∃a∈A, 使得f(a)=z, 所以由引理2知y∨z=f(x)∨f(a)=f(a∨x).而由定义6知a∨x=1L, 再利用BL同态定义知

f(a∨x)=f(1L)=f(0L→0L)=0K→0K=1K,

所以y∨z=1K, 即y∈D(f(A)).

图1 L的结构Fig.1 Structure of L

例1多点余零化算子的BL同态像不必是多点余零化算子的像, 即设L,K是BL-代数, 映射f:L→K是一个BL同态,A是L的非空子集,D是BL-代数的多点余零化算子, 则f(D(A))不必是K中多点余零化算子的像.

证明: BL-代数L={0,a,b,1}, 其结构如图1所示, 其中“→”和“⊗”运算列于表1.BL-代数K={0,1/2,1}, 其中“→”和“⊗”运算列于表2.

表1 例1中L的运算Table 1 Operation of L for example 1

表2 例1中K的运算Table 2 Operation of K for example 1

1) 取f(1)=f(a)=1,f(0)=f(b)=0, 则可验证f:L→K是一个BL同态.

2) 取A={a}, 则D(A)={b,1},f(D(A))={0,1}, 可见f(D(A))不是K中的上集, 从而由定理4知不存在B⊆K, 使得f(D(A))=D(B).

定理9设L,K是BL-代数,f:L→K是BL满同态,B是K的非空子集,D是BL-代数的多点余零化算子, 则f-1(D(B))⊇D(f-1(B)).

证明: 设x∈D(f-1(B)), ∀b∈B, 由f是满同态知存在a∈L, 使得f(a)=b, 即a∈f-1(B), 由定义6知x∨a=1, 所以由引理2知

f(x)∨b=f(x)∨f(a)=f(x∨a)=f(1)=1.

因此由定义6知f(x)∈D(B), 即x∈f-1(D(B)), 所以f-1(D(B))⊇D(f-1(B)).

例2多点余零化算子的BL同态原像不必是多点余零化算子的像, 即设L,K是BL-代数, 映射f:L→K是一个BL满同态,B是K的非空子集,D是BL-代数的多点余零化算子, 则f-1(D(B))不必是L中多点余零化算子的像.

证明: BL-代数L={0,1/2,1}, 其中“→”和“⊗”运算列于表3.BL-代数K={0,1}, 其中“→”和“⊗”运算列于表4.

表3 例2中L的运算Table 3 Operation of L for example 2

表4 例2中K的运算Table 4 Operation of K for example 2

1) 取f(1)=f(1/2)=1,f(0)=0, 则可验证f:L→K是一个BL满同态.

2) 取B={0}, 则D(B)={1},f-1(D(B))={1,1/2}, 可验证f-1(D(B))是L的一个上集, 所以由定理7知不存在A⊆L, 使得f-1(D(B))=D(A).

定理10设L,K是BL-代数,f:L→K是BL同态,A是L的非空子集,D是BL-代数的多点余零化算子, 则f(D(A))=D(f(A))的充要条件是:

1)D(D(f(D(A))))=f(D(A)); 2)D(f(A))∩D(f(D(A)))={1}.

证明: 必要性.若f(D(A))=D(f(A)), 则结合命题2中4)知

D(D(f(D(A))))=D(D(D(f(A))))=D(f(A))=f(D(A)),

由命题2中5)知

D(f(A))∩D(f(D(A)))=D(f(A))∩D(D(f(A)))={1}.

结论成立.

充分性.由定理8知f(D(A))⊆D(f(A)).而由2)成立, 再结合定理6得D(f(A))⊆D(D(f(D(A)))), 又由1)成立, 所以D(f(A))⊆f(D(A)).综合得f(D(A))=D(f(A)).

定理11设L,K是BL-代数,f:L→K是BL满同态,B是K的非空子集,D是BL-代数的多点余零化算子, 则f-1(D(B))=D(f-1(B))的充要条件是f-1(D(B))∩D(D(f-1(B)))={1}.

证明: 必要性.若f-1(D(B))=D(f-1(B)), 则由命题2中5)知

f-1(D(B))∩D(D(f-1(B)))=D(f-1(B))∩D(D(f-1(B)))={1}.

充分性.首先f-1(D(B))是L中的一个上集.事实上, 设x∈f-1(D(B)),y∈L, 若y≥x, 则f(y)≥f(x), 又f(x)∈D(B), 所以由定理4知f(y)∈D(B), 即y∈f-1(D(B)).因此由f-1(D(B))∩D(D(f-1(B)))={1}， 再结合定理7充分性的证明可得f-1(D(B))⊆D(f-1(B)).又由定理9知f-1(D(B))⊇D(f-1(B)).综合得f-1(D(B))=D(f-1(B)).

定理12设L,K是BL-代数, 映射f:L→K是一个BL同构,D是BL-代数的多点余零化算子,A是L的非空子集,B是K的非空子集, 则f(D(A))=D(f(A)),f-1(D(B))=D(f-1(B)).

证明: 1) 由定理8知f(D(A))⊆D(f(A)), 因此只需证明D(f(A))⊆f(D(A)).事实上,y∈D(f(A)), 则由f是BL同构知f是满射, 即∃x∈L使得f(x)=y.又∀a∈A有f(a)∈f(A), 因此由引理2及定义6得f(x∨a)=f(x)∨f(a)=y∨f(a)=1K, 进而由f是单射知a∨x=1L, 所以有x∈D(A), 从而有y∈f(D(A)), 故D(f(A))⊆f(D(A)).综上得f(D(A))=D(f(A)).

2) 由定理9知f-1(D(B))⊇D(f-1(B)), 因此只需证明D(f-1(B))⊇f-1(D(B)).事实上,x∈f-1(D(B)), 则f(x)∈D(B), 又∀a∈f-1(B),f(a)∈B, 因此由引理2知f(x∨a)=f(x)∨f(a)=1K, 进而由f是单射知a∨x=1L, 所以有x∈D(f-1(B)), 从而D(f-1(B))⊇f-1(D(B)).综上得f-1(D(B))=D(f-1(B)).

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Co-annihilatorOperatorofBL-AlgebrasandItsImageofBL-Homomorphism

WANG Xiaxia, WU Hongbo
(CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062,China)

Firstly, the definition of single-point co-annihilator operator was given in the BL-algebras, then some properties of single-point co-annihilator operator were studied.Secondly, some properties of multiple-point co-annihilator operator were discussed, and the necessary and sufficient conditions were given for a subset being an image of multiple-point co-annihilator operator in the BL-algebras.Finally, some properties of multiple-point co-annihilator operator’s image of BL-homomorphism were discussed, and the necessary and sufficient conditions were given when co-annihilator operator’s image of BL-homomorphism and its inverse image of BL-homomorphism are the images of multiple point co-annihilator operator.

fuzzy logic; BL-algebra; single-point co-annihilator operator; multiple-point co-annihilator operator; BL-homomorphism

2014-02-20.

王霞霞(1989—), 女, 汉族, 硕士研究生, 从事格上拓扑与模糊逻辑的研究, E-mail: 767558905@qq.com.通信作者： 吴洪博(1959—), 男, 汉族, 博士, 教授, 从事格上拓扑与模糊逻辑的研究, E-mail: wuhb@snnu.edu.cn.

国家自然科学基金(批准号: 11171196).

O141.1

A

1671-5489(2014)06-1112-07

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.02

赵立芹)