一类一维p-Laplacian非线性奇异三点边值问题正解的存在性

白 杰, 祖 力

(1.东北师范大学人文学院 国际商务学院, 长春 130117; 2.海南师范大学 数学与统计学院, 海口 571158)

(Φ(w(t)))′=-q(t)F1(u(t))≥-q(t)F2(u(t))=(Φ(w(t)))′, t∈(a,σ],(13)

一类一维p-Laplacian非线性奇异三点边值问题正解的存在性

白 杰1, 祖 力2

(1.东北师范大学人文学院 国际商务学院, 长春 130117; 2.海南师范大学 数学与统计学院, 海口 571158)

利用Leray-Schauder非线性抉择定理和锥不动点定理证明一类一维非线性奇异p-Laplacian三点边值问题

Leray-Schauder抉择定理; 锥不动点定理; 非线性奇异三点边值问题; 正解的存在性

0 引 言

奇异方程作为常微分方程的一个重要分支, 目前已取得了很多研究结果[1-6].同时, 奇异微分方程多点边值问题也受到了广泛关注[7-10], Webb[10]考虑如下p-Laplacian三点边值问题:

利用不动点指数理论证明了该系统至少存在一个正解.目前, 关于非奇异性p-Laplacian三点边值问题的研究较多, 但由于奇异性较复杂, 研究结果很少.本文通过在问题(1)中增加非线性项f具有奇性的条件, 利用Leray-Schauder非线性抉择定理和锥不动点定理证明p>1时问题(1)存在正解.考虑如下奇异边值问题:

1 预备知识及引理

假设：

(H1)q(t): (0,1)→(0,∞)连续, 且存在0≤β

成立;

(H2)f(u)=g(u)+h(u), 其中:g>0在(0,∞)上连续且单调不增;h≥0在[0,∞)上连续, 且h/g在(0,∞)上单调不减;

(H3) 存在一个常数r>0, 使得

(H4) 选择a∈(0,1/2)并固定, 且假设存在R>r, 使得

成立, 其中

注1函数q(t)=t-a(0

∞.

C[0,1]中锥K定义为K∶={u∈C[0,1]:u(t)是非负的凹函数}.

引理2[12]令u∈K且0

当σ=1时,u(t)≥‖u‖t, 0≤t≤1; 当σ=0时,u(t)≥‖u‖(1-t), 0≤t≤1.对任意的t∈[a,1-a],u(t)≥a‖u‖, 其中‖u‖=sup{|u(t)|: 0≤t≤1}, 且存在σ∈[0,1]使得u(σ)=‖u‖.

引理3假设(H1)成立, 则问题

存在唯一的正解V∈C[0,1]∩C1(0,1].

证明: 用比较原理证明两个解等价即可证明唯一性.下面证明存在性.根据边值η的范围在两种情形下讨论.

设

y(t)在(0,η]上连续严格增且y(0+)<0

设

y(t)在[η,1]上连续严格增且y(η)≤0

或

于是,V在(0,1]上有定义, 且在(0,1]上V(t)>0.进一步, 有

对0

则有V(0)=0.类似可得V(1)-αV(η)=0.因此V(t)在[0,1]上连续, 且

V(0)=0,V(1)=αV(η), 0<α<1, 0<η<1,

[Φ(V′(t))]′=-q(t),t∈(0,1).

证毕.

令n≥4是一个固定的自然数.对每个u∈K, 考虑问题:

其中F(u)=g*(u)+h(u), 满足

注3g*(u)≤g(u), ∀u∈(0,∞).

由引理3可得:

引理4对每个固定的u∈K, 边界值问题(10)存在唯一的解w∈K满足w(t)=(Ψu)(t), 其中

或

(11)′

式中σu∈(0,1)是如下方程在0≤τ≤1上的唯一解:

或

由w和Ψ在u∈K中的定义, 有

3)w=Ψu∈K, ‖w‖=w(σu), 表明w(t)是式(10)在[0,1]上定义的唯一凹函数.

引理5令wi(t)分别是F=Fi(i=1,2)时式(10)的一个解.如果F1≤F2, 则w1(t)≤w2(t).

证明: 令z(t)=w1(t)-w2(t).如果结论不成立, 类似于引理3的证明, 存在一个区间(a,σ]⊂(0,1), 使得在(a,σ]上,z(t)>0, 且

注意到

在[s,σ](a

即

(s)≤0,a

则z(σ)≤z(a)=0, 矛盾.证毕.

令VM(t)是h(t)=Mq(t)(M>0)时式(7)的一个正解, 而Vm(t)是h(t)=mq(t)(m>0)时式(7)的一个正解.

由引理3～引理5知:

引理6令[a,1]⊂(0,1]是一个紧区间,w(t)是式(10)满足F(u)≤M的一个解, 则

其中:M是一个正常数;C(a,M)是与a,M有关的正常数.

证明: 易见

其中τ=Φ(w′(1))是方程

且

又由式(15),(17),(18), 可得式(14).证毕.

引理7对任何有界闭子集Ω⊂K, 集合Ψ(Ω)在[0,1]上等度连续.

证明: 对任何u∈Ω, 令M>0且满足F(u)≤M.对任意的ε>0, 由VM(t)在[0,1]上的连续性及VM(0)=0 知, 存在δ1∈(0,1/4), 使得VM(t)<ε/2,t∈[0,2δ1].令u∈Ω. 因为(Ψu)(t)-1/n≤VM(t), 则对任意的t1,t2∈[0,2δ1], |t1-t2|<δ1, 有

由引理6, 当t∈[δ1,1]时, |(Ψu)′(t)|≤C(δ1,M)=∶L.令δ2=ε/L, 则当t1,t2∈[δ1,1]且|t1-t2|<δ2时, 有|(Ψu)(t1)-(Ψu)(t2)|≤L|t1-t2|<ε.设δ=min{δ1,δ2}, 则当t1,t2∈[0,1]且|t1-t2|<δ时, 有|(Ψu)(t1)-(Ψu)(t2)|<ε.即Ψ(Ω)在[0,1]上等度连续.证毕.

引理8对任何有界闭子集Ω⊂K, 映射Ψ:Ω→K是连续的.

证明: 当u∈Ω时, 存在M>0, 使得F(u)≤M.假设u0,uj∈Ω且当j→∞时, ‖uj-u0‖→0, 则有

或

其中σuj(j=0,1,…)分别满足如下方程:

或

假设σ*∈[0,1]是{σuj}的任意一个聚点, 则{σuj}存在一个子列{σuj(m)}收敛于σ*.将σuj(m)分别代入式(19),(19)′, 并令m→∞, 则有

或

表明σ*=σu0, 因此σuj→σu0.由控制收敛定理得

或

即Ψ是从Ω到K的连续映射.证毕.

综合引理4～引理8可得:

引理9Ψ:K→K是全连续的.

如果函数u(t)满足下列条件, 则称u(t)是问题(2)的一个正解:

1)u∈C[0,1]∩C1(0,1];

2)u(t)>0对任意的t∈(0,1], 有u(0)=0,u(1)=αu(η), 0<η<1, 0<α<1;

3)Φ(u′(t))在(0,1)上一致绝对连续, 且(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0

2 主要结果

定理1假设(H1)～(H4)成立, 则存在正常数r,R, 使得问题(2)存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 在(0,1]上u>0且r<‖u‖≤R.

证明: 选择ε>0, 由Leray-Schauder非线性抉择定理和条件(H3)易知, 当ε

对∀n∈N+, 为了证明式(21)存在解, 需先考虑如下边值问题:

固定n∈N+.定义Ψ:K→K为

其中σu是如下方程的唯一解:

或

其中σu是如下方程的唯一解:

由引理9可知Ψ:K→K是全连续的, 结合式(20)易得对λ∈(0,1),u∈∂Ωr∩K,

其中Ωr定义如上.下面证明

‖Ψu‖>‖u‖, ∀

令u∈∂ΩR∩K, 则‖u‖=R.因为u∈K, 所以由引理2知, 当s∈[a,1-a]时,u(s)≥aR, 因此有

g*(u(s))+h(u(s))=g(u(s))+h(u(s)).

特别地, 当s∈[a,1-a],u(s)∈[aR,R].从而当a≤σu≤1-a时,

当σu>1-a时,

当σu

表明

进一步可得

即式(21)存在一个正解un(t).同时可知, 存在N+的列N, 使得当n→∞时,un(t)在[0,1]上一致收敛于u(t).易证u(t)∈C[0,1]∩C1(0,1]是式(3)的一个正解, 且r<‖u‖≤R.证毕.

3 实 例

例1奇异三点边值问题

应用定理1, 令q(s)=σ,g(u)=u-α,h(u)=uβ+1.显然(H1)～(H2)成立.再注意到

因为

则

因此(H3)成立(r=1).

又由于(因为β>p-1, 令a=1/4)

所以存在R>1使得(H4)成立.即定理1成立.

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ExistenceofPositiveSolutionforOne-DimensionalSingularp-LaplacianThree-PointBoundaryValueProblems

BAI Jie1, ZU Li2
(1.SchoolofInternationalBusiness,CollegeofHumanitiesandSciencesofNortheastNormalUniversity,Changchun130117,China; 2.SchoolofMathematicsandStatistics,HainanNormalUniversity,Haikou571158,China)

Using nonlinear Leray-Schauder alternative theorem and fixed point theorem in cones, we obtained the one-dimensional nonlinear singularp-Laplacian three-point boundary value problem

Leray-Schauder alternative theorem; fixed point theorem in cones; nonlinear singular three-point boundary value problem; existence of positive solution

2014-04-02.

白 杰(1979—), 女, 锡伯族, 硕士, 讲师, 从事常微分方程的研究, E-mail: 794773975@qq.com.通信作者: 祖 力(1979—), 女, 汉族, 博士, 副教授, 从事常微分方程和随机微分方程的研究, E-mail: 13504313763@139.com.

国家自然科学基金(批准号： 10971021).

O175.14

A

1671-5489(2014)06-1136-09

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.06

赵立芹)