非奇异H-矩阵的一组新判定

邰志艳, 李庆春

(1.吉林医药学院 数学教研室, 吉林 吉林 132013； 2.北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013)

非奇异H-矩阵的一组新判定

邰志艳1, 李庆春2

(1.吉林医药学院 数学教研室, 吉林 吉林 132013； 2.北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013)

根据α-对角占优矩阵理论, 运用不等式的放缩技巧, 得到非奇异H-矩阵的几个新判定条件, 推广并改进了已有的对H-矩阵的判定方法, 并用数值算例说明了所给判定方法的优越性.

非奇异H-矩阵； 对角占优矩阵； 正对角矩阵；α-对角占优矩阵

0 引 言

非奇异H-矩阵在控制论及神经网络大系统的稳定性、线性时滞系统的稳定性研究中应用广泛, 然而其实际判别却很困难[1-9].文献[1]给出了一种判别方法, 改进了一些已有的结果.本文进一步改进文献[1]的结果, 给出了新的判定条件.

本文记Mn()是n阶复矩阵的集合,={1,2,…,n}.设A=(aij)∈Mn(), 又记

定义1[1-2]设A=(aij)∈Mn(), 若|aii|>Λi(A), ∀i∈, 则称A为严格对角占优矩阵, 记A∈D.若存在正对角阵X, 使得AX∈D, 则称A为广义严格对角占优矩阵, 记A∈D*.也称A为非奇异H-矩阵, 记为A∈H.

定义2[3-4]设A=(aij)∈Mn(), 若∃α∈(0,1], 使得

|aii|>αΛi(A)+(1-α)Ri(A), ∀i∈,

则称A为严格α-对角占优矩阵, 记为A∈D(α).

引理1[3-4]设A=(aij)∈Mn(), 若∃α∈(0,1], 使得A∈D(α), 则A∈D*.

若存在N1,N2⊂满足N1∩N2=Ø, 且N1∪N2=, 则称N1和N2为集合的划分, 记作=N1⊕N2.

1 主要结果

定理1设A=(aij)∈Mn(), 若=N1⊕N2,α∈(0,1], 对p,q>1,+=1, 下列两个条件成立：

其中

且

则A是非奇异H-矩阵.

证明： 由已知条件知, 对∀i∈有01, 由文献[1]知,

令D=diag(d1,d2,…,dn),B=AD=(bij)n×n, 则:

1) 对∀i∈N1, 由Hölder不等式, 有

即

则

进而

|bii|>αΛi(B)+(1-α)Ri(B).

（3）

2) 对∀i∈N2, 由Hölder不等式, 有

即式(1)成立, 从而式(2)成立, 进而式(3)成立.

综上可知,B是严格α-对角占优矩阵, 又由文献[3]知B是非奇异H-矩阵, 进而知A是非奇异H-矩阵.

定理2设A=(aij)∈Mn(), 若=N1⊕N2,α∈(0,1], 且下列两个条件成立：

则A是非奇异H-矩阵.

证明： 设

则由条件(i),(ii)知, 当i∈时, 0

令D=diag(d1,d2,…,dn),B=AD=(bij)n×n, 则:

1) 对∀i∈N1, 有

即式(1)成立, 从而式(2)成立, 进而式(3)成立.

2) 对∀i∈N2, 有

即式(1)成立, 从而式(2)成立, 进而式(3)成立.

综上可知,B是严格α-对角占优矩阵, 又由文献[3]知B是非奇异H-矩阵, 进而知A是非奇异H-矩阵.

注1易见文献[1]中定理1和定理2是本文定理1和定理2当α=1时的特殊情形, 因此本文改进了文献[1]的主要结果.

2 数值算例

例1设

[1]侯进军, 李斌.H-矩阵的一组新判定 [J].应用数学学报, 2008, 31(2): 266-270.(HOU Jinjun, LI Bin.Some New Conditons for Nonsingular H-Matrices [J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2008, 31(2): 266-270.)

[2]徐仲, 路全.判定广义对角占优矩阵的一组充分条件 [J].工程数学学报, 2001, 18(3)： 11-15.(XU Zhong, LU Quan.A Set of Sufficient Conditions for Identifying Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices [J].Journal of Engineering Mathematices, 2001, 18(3)： 11-15.)

[3]孙玉祥.广义对角占优矩阵的充分条件 [J].高等学校计算数学学报, 1997(3)： 216-223.(SUN Yuxiang.Sufficient Conditions for Generalized Diagonally Dominant Matrices [J].Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities, 1997(3)： 216-223.)

[4]张月朗, 莫宏敏, 刘建州.α-对角占优与广义严格对角占优矩阵的判定 [J].高等学校计算数学学报, 2009, 31(2): 119-128.(ZHANG Yuelang, MO Hongmin, LIU Jianzhou.α-Diagonally Dominant and Criteria for Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices [J].Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities, 2009, 31(2)： 119-128.)

[5]邰志艳, 李庆春.局部α-双对角占优矩阵及其应用 [J].吉林大学学报: 理学版, 2013, 51(2): 207-211.(TAI Zhiyan, LI Qingchun.Localα-Double Diagonally Dominant Matrices and Their Application [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2013, 51(2): 207-211.)

[6]谢清明.关于H-矩阵的实用判定的注记 [J].应用数学学报, 2006, 29(6): 1080-1084.(XIE Qingming.A Note on the Practical Criteria for H-Matrices [J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2006, 29(6): 1080-1084.)

[7]Varga R S.On Recurring Theorems on Diagonal Dominace [J].Linear Algebra and Its Appl, 1976, 13(1/2): 1-9.

[8]李庆春, 张树功, 孙玉祥.矩阵对角占优性的推广 [J].吉林大学学报: 理学版, 2006, 44(5): 700-704.(LI Qingchun, ZHANG Shugong, SUN Yuxiang.Generallization of Diagonal Dominance of Matrices [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2006, 44(5): 700-704.)

[9]李庆春, 张树功.矩阵C-特征值的包含区间 [J].吉林大学学报: 理学版, 2008, 46(6): 1037-1041.(LI Qingchun, ZHANG Shugong.Inclusion Interval of Coneigenvalues of a Matrix [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2008, 46(6): 1037-1041.)

ASetofNewCriteriaforNonsingularH-Matrices

TAI Zhiyan1, LI Qingchun2
(1.DepartmentofMathematics,JilinMedicalCollege,Jilin132013,JilinProvince,China;
2.CollegeofMathematicsandStatistics,BeihuaUniversity,Jilin132013,JilinProvince,China)

Based on the theory ofα-diagonally dominant matrices and some techniques for inequlities, several new sufficient conditions to determine non-singular H-matrices were obtained and thus the corresponding results were improved and generalized.These conditions have improved and generalized some relate existed results for H-matrices.A numerical example was given to show the advantages of our results.

nonsingular H-matrices； diagonlly dominant matrices； positive diagonally matrices；α-diagonal dominant matrices

2014-02-07.

邰志艳(1976—), 女, 汉族, 硕士, 副教授, 从事矩阵代数的研究, E-mail: taizhiyan@126.com.通信作者: 李庆春(1959—), 男, 汉族, 博士, 教授, 从事数值计算的研究, E-mail: liqingchun01@163.com.

国家自然科学基金(批准号： 11171133)和吉林省教育厅“十一五”科学技术研究项目(批准号： 2010130).

O151.21

A

1671-5489(2014)06-1171-05

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.12

赵立芹)