待定系数法求自然数幂和

李卫高

(漯河医学高等专科学校，河南漯河462002)

自然数幂和是一个很古老的问题，人们很早就熟悉了低次幂求和公式，也提供了低次幂求和的宝贵经验.直到现在，任意次自然数幂求和仍是人们关心的话题，其中所用的方法各种各样，结果也不尽相同.笔者通过利用二项式定理展开一个和式，并加以整理，得到了一个含有任意次自然数幂和的式子.经过赋值合并，给出了隔次自然数幂和组合公式，由此公式，用待定系数法，最终得到了和伯努利公式类似的幂和公式.

由

+…

(1)

令x=-1，得

(2)

(2)-(1)，得

(3)

(3)式是一个关于隔次自然数幂和组合公式，以下为方便起见，在书写与m有关的有限项连加式的时候，因最后一项与m的奇偶性有关，只写前面的项，后面略去.

(3)式左端，

比较左右两端的系数，得

所以

其中λk由如下式子确定：

例如

进一步计算可算出

n=input(′n=′)

A(1,1)=factorial(2);b(1)=1/2-1/3;

for k=2:1:n

for j=1:k

A(k,j)=factorial(2*k)/[factorial(2*(k-j)+1)*factorial(2*j-1)];

end

b(k)=1/2-1/(2*k+1);

end

x(1)=1/12;

for k=2:1:n

for j=1:k-1

b(k)= b(k)-A(k,j)*x(j);

end

x(k)=b(k)/A(k,k);

end

x

输入n=20：

查阅资料可以发现，上述结果和历史上伯努利的幂和公式是类似的.

雅谷·伯努利(1654-1705)在《猜度术》(1713)中得到任意次幂的求和公式，根据他的原著，此式表示为

式中A=1/6,B=-1/30,C=1/42,D=-1/30, …是著名的伯努利数.

[参 考 文 献]

[1] 罗见今.自然数幂和公式的发展[J].高等数学研究，2004，7(4)：56-61.

[2] Heath T L. 阿基米德全集. 朱恩宽，李文铭,等译[M].西安：陕西科学技术出版社, 1998.