基于新阈值函数的小波阈值降噪方法

宋倩倩，双 凯

（中国石油大学（北京），北京，102249）

在信号的降噪问题中，小波降噪得到广泛应用，其中的模极大值和阈值降噪是最常用的两种方法。由于小波阈值降噪方法其实现简单、计算量小，从而在实际中得到广泛研究。小波阈值降噪算法中，小波最优分解层数的确定，以及小波阈值函数的选择，成为小波阈值降噪方法的关键[1-3]。

在小波阈值降噪中，文献[4]提出的传统硬阈值法可以很好地保留信号边缘等局部特征，然而在一些不连续点处有时会存在伪吉布斯现象。文献[5]提出的软阈值法克服了硬阈值存在的连续性差的问题，然而存在过于光滑而失去信号真实性的缺点。文献[6]提出的半软阈值法降噪效果虽略优于硬阈值和软阈值，但半软阈值函数形式与硬阈值、软阈值相同，信噪比改变不大。文献[7]提出的新阈值函数调节因子过多，而且没有给出如何针对不同的信号和噪声选取最合适的值。

本文针对小波阈值算法提出了一种新的阈值函数，在最优分解层数确定的基础上，采用传统阈值函数、改进阈值函数进行小波阈值降噪，通过matlab进行仿真，以信噪比SNR为性能指标，发现改进阈值函数优于传统阈值函数。同时发现，改进阈值函数选用阈值选取规则保守的minimaxi阈值，降噪效果优于其他阈值选取规则。

1 小波分析理论

根据小波Ψ(x)和尺度函数φ(x)为函数f(x)∈L2(R)定义小波序列展开[8]，可知

其中，j0是任意开始尺度，Cj0(k)是近似值或尺度系数，dj(k)是细节或者小波系数。

小波分析，将信号分解到不同的分辨率上，像放大镜一样对信号在不同频带上进行分析。小波分析，解决了傅里叶分析不能解决的许多难题，使得信号可以同时具有时间域和频率域的信息。在低尺度上，具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高尺度上具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。

2 小波阈值降噪

小波变换具有一种“集中”的能力。经过小波变换后，有用信号对应的小波系数有很好的能量集中性，其幅值偏大，并且数量较少；而噪声信号对应的小波系数，能量比较平均，个数较多，但幅值偏小。利用含噪信号的这个特点，就可以通过合适的阈值函数将噪声对应的小波系数置零，从而实现有用信号的提取[9]。

一维含噪信号的小波阈值降噪处理过程步骤如下：

1）小波分解。选择一个合适的小波基，并通过白噪声检验来确定分解层数N，然后对信号进行N层小波分解。

2）小波系数的阈值处理。对第一层到第N层的高频系数，选取合适的阈值，根据相应的阈值函数进行阈值量化处理。

3）小波重构。对阈值处理过的小波系数，进行一维信号的小波重构。

2.1 阈值的选取

阈值的选取有4种原则：Stein风险阈值（rigrsure准则）、通用阈值（sqtwolog准则）、极大极小阈值法（minimaxi准则）、启发式阈值法（heursure准则）[10]。

4种阈值方法中，rigrsure准则和minimaxi准则的阈值选取较为保守，sqtwolog和heursure准则的阈值选取则较为过度，有可能将有用信号的高频部分当做噪声信号去除掉。本文选取保守的minimaxi阈值。

2.2 小波阈值函数

2.2.1 传统硬阈值和软阈值方法

硬阈值方法，是把绝对值小于阈值t的小波系数直接置零，其余的小波系数全部保留，实现信号的重构。硬阈值法的图像如图1（a）所示，公式为：

软阈值方法，是一种基于硬阈值法的改进，将硬阈值中保留的系数，绝对值减少t，再实现信号的重构。软阈值法的图像如图1（b）所示，公式为：

半软阈值方法，是对软、硬阈值法的一种折中方法，其函数值介于软阈值和硬阈值之间，在降噪中起到了很好的效果[11]。半软阈值的图像如图1（c）所示，公式为：

硬阈值函数在阈值处x=t是不连续不可导的，从而影响了信号重构的效果，带来了一些附加振荡，使信号光滑性很差。软阈值光滑性好，克服了硬阈值不够平滑的特点，但同时也由于过于平滑而损失了一些有用的高频信息，影响了重构的真实。半软阈值考虑到软硬阈值的缺点，是一种折中方法，取得了一定的降噪效果。本文针对传统阈值函数的缺点，提出两种改进阈值函数。

图1 传统阈值函数Fig.1 Traditional threshold function

2.2.2 改进阈值函数1

在硬阈值基础上进行改进，使其在保留了硬阈值函数优点的同时，又增加了连续性，以及光滑性。在阈值附近的区间(-(2-α)t, -t)∪(t, (2-α)t)上满足二次抛物线函数x= (1/m)y2+t，在剩余区间(-∞, -(2-α)t)∪((2-α)t, +∞)内满足硬阈值函数，在连接点x= (2-α)t处连续且可导。函数图像如图2所示，公式如下：

其中，m= 4(1-α)t,α∈ (0, 1)。

当α= 0时，接近于硬阈值，在区间(-2t, -t)∪(t, 2t)上满足抛物线函数，在(-∞, -2t)∪(2t, +∞)上满足硬阈值函数；当α= 1时，为软阈值函数；当α= 1/2时，接近于半软阈值，在区间(-3t/2, -t)∪(t, 3t/2)上满足抛物线函数，在(-∞,-3t/2)∪(3t/2, +∞)上满足硬阈值函数。α越接近于1，满足抛物线函数的区间越大，α越接近于0，满足抛物线函数的区间越小。

图2 改进阈值函数1Fig.2 Improved threshold function 1

2.2.3 改进阈值函数2

考虑到改进函数1到达硬阈值函数的区间太长，提出一个更快接近于硬阈值函数的函数。改进阈值函数1在区间(-(4-α)t/3, -t)∪(t, (4-α)t/3)上满足一个四次函数x= (1/m)y4+t，改进阈值函数1在区间(-∞, -(4-α)t/3)∪((4-α)t/3,+∞)上满足硬阈值函数，该函数在x= (4-α)t/3处连续且可导。此函数比改进硬阈值函数1能够以更快的速率连接到硬阈值函数。函数图像如图3所示，公式如下：

其中，m= 256[(1-α)t]3/27,α∈ (0, 1)。

当α= 0时，接近于硬阈值，在区间(-4t/3, -t)∪(t, 4t/3)上满足抛物线函数，在(-∞, -4t/3)∪(4t/3, +∞)上满足硬阈值函数；当α= 1时，为软阈值函数；当α= 1/2时，接近于半软阈值，在区间(-7t/6, -t)∪(t, 7t/6)上满足抛物线函数，在(-∞, -7t/6)∪(7t/6, +∞)上满足硬阈值函数。α越接近于1，满足抛物线函数的区间越大，α越接近于0，满足抛物线函数的区间越小。

图3 改进阈值函数2Fig.3 Improved threshold function 2

阈值附近的系数混杂了干净信号的小波系数和噪声的小波系数，单纯阈值的选取无法改变这一问题。新改进的新阈值函数，将阈值 附近的系数做一定的能量压缩，从而在一定程度上压缩了噪声对干净信号的影响，同时又保留了部分干净信号的信息。两种改进的新阈值函数对阈值附近的系数做了不同程度能量的压缩，改进阈值函数1对小波系数的压缩区间长，而改进阈值函数2对小波系数的压缩区间短，要根据具体情况来选择这两种函数，以及合适的α值。

3 仿真验证

为了比较上述改进阈值降噪方法的降噪效果，引入如下信噪比定义：

其中：f(i)为真实信号，s(i)为含噪声信号，L为信号长度[12]。

采用db6小波函数，在叠加白噪声信噪比为3的情况下，对blocks信号，首先得出其最优分解层数为6层，然后采用改进阈值函数1和2进行降噪，并与传统硬阈值、软阈值、半软阈值进行比较，降噪后的信噪比如图4所示。

图4 blocks信号仿真Fig.4 Blocks signal de-noising of improved threshold function

图4可以看出，minimaxi阈值用在改进阈值函数中降噪效果最优，改进阈值函数总体降噪效果优于传统阈值函数。同时对于不同的α，降噪效果不同。在传统3种方法中，当硬阈值较优时，α贴近于1时效果更好；当软阈值较优时，α贴近于0效果更好。改进函数1和改进函数2总体走势相同，但不同的信号，不同的α值，去噪效果不同。

4 结 论

文中提出了一种压缩能量阈值函数，仿真发现，该函数采用minimaxi阈值可使改进阈值函数信噪比达到最优，两种改进阈值函数与传统阈值法相比，有着明显的降噪效果。在实际应用中，应该根据具体的信号具体的噪声采用不用的降噪策略，使得降噪效果达到最优。

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