混凝土应变率型弹塑性损伤本构模型

张 研， 李廷秀， 蒋林华

（河海大学 力学与材料学院，江苏 南京 210098）

混凝土因其良好的力学性能和耐久性能，在土木、水利及军事工程中得到广泛应用.混凝土结构在承受常规荷载作用时，在极端情况下可能受到大范围动态荷载的作用，如地震、爆炸等.为了保证工程结构的安全，有必要对混凝土在动态荷载下的力学特征进行深入研究.

国内外学者用不同方法对混凝土的动态荷载力学行为进行了试验和理论研究.Ross等［1－2］采用SHPB压杆试验、落锤试验和液压加载等方法，研究了较大范围加载速率下混凝土的力学特征；Mu等［3］研究了三轴受压状态下混凝土的应变率敏感性，发现抗压强度随应变率增大而增大不是材料的属性而是加载过程中横向约束的影响.混凝土动态行为的模型研究也取得了进展，从宏观到细观尺度上，将塑性机理、内时理论、断裂和损伤机理的力学理论和经验公式等应用于动态模型构建上.Song等［4］从细观层次研究动力累加效果，得出在超出极限应变率时应力分布是不均匀的结论；Häussler－Combe等［5］结合黏弹性理论和损伤延迟理论构建模型，研究应变率对混凝土拉压性能的影响；Cusatis［6］将应变率作用引入围压剪切离散模型，从细观上研究断裂的传播发展，认为惯性对拉伸的影响远比其对压缩的影响要大；宋玉普等［7］结合内时理论和损伤理论建立了混凝土应变率效应内时损伤本构模型，该模型能够很好地反映混凝土多轴荷载作用下的应变率敏感特性；李庆斌［8］和邓宗才［9］根据双剪应变理论和损伤理论分别推出了不同的动力损伤本构模型.

建立力学概念清晰、模型构建简单而又能较好反映混凝土应变率效应的本构模型是工程人员乐于接受的.结合已有的理论研究，本文提出一种考虑混凝土应变率效应的弹塑性损伤本构模型.该模型摆脱了通常的弹塑性模型参数不易确定的困扰，同时在损伤准则中引入了应变率敏感性参数.本文还运用该模型计算预测了在大范围应变加载情况下的混凝土破坏强度.

1 一般弹塑性损伤本构模型

本文采用弹塑性损伤本构模型来描述混凝土单轴受压时的力学特征.采用小变形假设，状态变量和内变量分别为总应变张量ε，弹性应变张量εe，塑性应变张量εp和损伤变量d.其变形增量（应变率）可表示为：

一般形式的混凝土应力－应变关系为：

式中：σ为应力的张量表达形式；C（d）是材料的四阶有效弹性刚度张量.当材料表现为各向同性时，C（d）可以通过Hill引理［10］表示为一般形式：

式中：μ（d）和k（d）分别为材料的有效体积模量和剪切模量；对称四阶张量J和K分别定义为：

考虑到损伤的存在，增量形式的本构关系可以表示为：

式中：C′（d）表示损伤变量对有效弹性刚度张量的导数：

1.1 力学损伤

不考虑塑性应变的影响，对应损伤变量d的热力学伴随量ξ可以表示为：

为了判别材料是否发生损伤，本文参考Mazars［12］的研究，采用以下损伤准则：

式中：Ad为材料破坏时可达到的最大损伤值，本文取Ad＝1，则材料完全破坏时材料的有效弹性刚度C（d）为0，不能再承受荷载，这符合材料破坏的实际情况；Bd为加载过程中材料损伤的发展速度；ξd为损伤阈值.Bd和ξd可通过经验确定.

1.2 不可恢复（塑性）变形特征

材料在加载过程中，其变形在初始阶段是弹性的，此时塑性变形的影响很小，可以忽略不计.随着荷载不断增加，材料内部应力接近或达到峰值应力后，材料内部微裂缝的发展改变了其微观结构，混凝土不可避免地出现不可恢复（塑性）变形，对内部结构造成影响.建立塑性变形与损伤间的关联如下：

可以看出，尽管塑性的定义非常简单，但也较符合材料受力破坏过程的实际情况：当材料在弹性阶段没有力学损伤时（d＝0），没有塑性变形产生；当损伤达到最大，即材料完全破坏时（d＝1），其变形增量完全表现为不可恢复的塑性变形.

1.3 模型校准和数值模拟

应用弹塑性损伤本构模型，给出混凝土试件在不同应变率下单轴压缩的数值计算结果，并与已有试验结果［13］进行比较，验证弹塑性损伤本构模型的有效性.

弹塑性损伤本构模型中E和υ为材料弹性参数，通过单轴抗压试验应力－应变曲线开始阶段的弹性部分获得；Bd和ξd是与材料损伤相关的参数，主要反映较大荷载作用下以及达到破坏荷载（最大荷载）峰值后下降段材料的变形特征，可通过反演法获得.表1为弹塑性损伤本构模型中不同应变率加载时各参数取值汇总.考虑到动态应变加载试验为单（轴）向，则可表示为，为轴向加载速率标量.

表1 不同应变率下弹塑性损伤本构模型参数Table 1 Model parameters under different strain rates

应用本文提出的弹塑性损伤本构模型，对应变率为10－2～10－5／s下混凝土单轴受压情况进行模拟.图1为试验实测数据［13］与模拟应力－应变曲线的对比图.由图1可以看出，混凝土强度随应变率的增加而增大，达到破坏荷载时的临界应变几乎不变.由图1还可看出模拟结果与试验结果比较吻合，能较好地反映混凝土试件在受压过程中的弹塑性损伤特征：在荷载较小时，试件处于弹性变形阶段；随着荷载不断增加，材料的应力－应变关系不再呈现线性，说明不可恢复变形随着荷载的增加而增加.可以看出，在不同加载速率下，本文所采用弹塑性损伤本构模型均可较好地描述材料应力－应变关系.

图1 不同应变率加载下混凝土的单轴压缩试验数据［13］与模拟曲线对比Fig.1 Comparison between experimental results［13］and numerical simulation of general elastoplastic damage model at different strain rates

2 应变率型弹塑性损伤本构模型

一般认为，材料的力学特征参数是材料属性，与试验加载过程关联不大.由表1可以看出，随着应变率的变化，混凝土力学性能参数有一定变化，其中E和ξd变化显著，这与材料内在属性不符.同时，通过已有的有限试验数据获得的模型参数（表1），利用一般弹塑性损伤本构模型无法对其他应变率加载下的应力－应变关系进行广泛而有效的描述.宋玉普等［7］的研究发现，随着应变率不断降低，材料的力学性能变得愈加稳定.因此认为在拟静态应变率0加载时，E和ξd值可认为是材料的内在属性，用E0和来表示拟静态应变率加载时的弹性模量和损伤阈值.任意动态应变率时的模型参数E和ξd都可用E0和进行描述.图2是不同应变率时混凝土弹性模量变化曲线.由图2可以看出，混凝土弹性模量与应变率呈线性关系.对图2进行曲线拟合，得到：

式中：a为应变率敏感性参数，反映了混凝土弹性模量对应变率变化的敏感性.

图2 弹性模量与应变率的关系Fig.2 Relationship between elastic modulus and stain rate

图3为整理得到的损伤阈值ξd随应变率变化的关系.对图3进行曲线拟合，得到：

式中：b1，b2是曲线拟合参数，反映了混凝土损伤阈值对应变率的敏感性.

图3 ξd与应变率之间的关系Fig.3 Relationship betweenξdand stain rate

表2 材料和模型参数Table 2 Material and model parameters

为了验证模型与试验的一致性，用表2中的参数进行了应变率在10－5～10－2／s时的模型数值计算，得到图4.由图4可见，当考虑了应变率敏感性参数后，模型数值计算结果与试验结果基本吻合，参数a反映了弹性模量对应变率的敏感性，参数b1和b2则反映了破坏强度对应变率的敏感性，这3个应变率敏感性参数的引入有效反映出材料在达到破坏荷载时应变略有增加的弹塑性特征.

图4 不同应变率下混凝土的单轴压缩试验数据［13］与应变率型模型结果对比Fig.4 Comparison between experimental results［13］and numerical simulation of rate－depedent modelling at different strain rates

本文提出的应变率型弹塑性损伤本构模型只包含7个参数，却能对不同应变率加载下的混凝土破坏强度进行有效预测.采用表2中的数据，利用该模型进行了应变率为10－7～102／s条件下的破坏强度预测，得到图5.由图5可见，当应变率较小时，混凝土破坏强度增长较缓慢，随着应变率的增加，破坏强度迅速增加，这个结果与已有研究［14］的试验结果相符，符合混凝土实际受压破坏的情况.因此，本文所建立的应变率型弹塑性损伤本构模型能够合理地体现大范围应变率加载情况下混凝土的主要力学特征.对比其他同类型模型［7］，在采用相同的迭代算法和有限元结构时，应变率型弹塑性损伤本构模型在整个有限元计算中所占比例较小.因此，采用该模型进行的数值计算在计算时间上与其他模型差别不大.应变率型弹塑性损伤本构模型参数分为弹性参数、损伤参数和应变率敏感性参数，这3类参数都具有简洁的形式和明确的物理概念.因此该模型的使用相对容易，如结合互交式的模型软件应用，可进一步方便工程技术人员使用.

图5 破坏强度和应变率的关系Fig.5 Relationship between strength and stain rate

应变率型弹塑性损伤本构模型同样可用于单轴拉伸，具体调整为：根据拉伸试验结果，模型参数Bd和重新通过反演法获得.如本模型用于拉／压荷载变化情况时，可分别确定拉／压荷载作用下的Bd和值，分别标记为Bd，T和ξ0d，T，Bd，C和ξ0d，C.此时损伤准则可表达为：

式中：下标T，C分别对应拉应力，压应力状态.

当混凝土材料受到拉伸作用时，d＝dT，当受到压力作用时，d＝dC，并且满足˙d≥0，以保证拉－压状态变化时损伤的不可逆特征.

3 结论

（1）应变率型弹塑性损伤本构模型的7个参数是材料内在属性，与加载过程关联不大.

（2）应变率型弹塑性损伤本构模型中的3个应变率敏感性参数与材料弹性参数和损伤参数相关.与试验数据对比表明，该模型能够对混凝土的主要力学特征，如力学损伤、弹塑性变形和应变率敏感性进行有效描述.

（3）只需2～3组单轴压缩试验即可获得应变率型弹塑性损伤本构模型参数，该模型可反映大范围加载速率下混凝土的主要力学特征，且该模型预测的破坏强度变化规律与已有试验研究规律一致.

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