工科“积分变换”课程教学改革探索

陈晓红+唐月红+刘萍+王丽平

一课程简介

“积分变换”是对工科专业本科生开设的一门数学基础课[1-2]。作为重点工科院校的南京航空航天大学有许多专业都与之密切相关，比如工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统与自动控制等。对这些专业来说，积分变换既是理论基础课程，又是解决实际问题的有力工具。通过“积分变换”这门课程的学习，使学生掌握积分变换的基本理论和方法，增强对课程内容的本质理解和实际工程应用，并为后续专业课程的学习和解决实际问题奠定必要的数学基础，进而引导学生从纯数学的学习转变到数学与实际问题的紧密结合，提高学生数学认知能力和应用数学知识解决实际问题的能力。

“积分变换”具有概念晦涩难懂、知识点多、抽象度高、逻辑推理严密等特点。学过该课程的同学普遍认为该课枯燥无趣、难学难记。在实际教学过程中，由于学时有限，教师只能把基本积分变换的概念、性质与常用函数的变换传授给学生，没有时间介绍每种变换产生的原理与应用的场景，这影响了学生的学习兴趣，更谈不上进一步深入研究。如何将学生们的工科专业知识融入“积分变换”，如何让学生对其产生兴趣并在有限的时间内高效地学好这门课程，正是我们对“积分变换”进行教学改革探索的内容和目标。

二问题与剖析

目前的“积分变换”教学存在以下三个方面的问题：

1理论与实践相脱节

“积分变换”的理论性强，严密的数学推导过多，教学中难免出现从公式到公式、从数字到数字的传授方式，而枯燥的理论推导恰是学生在学习过程中的拦路虎。教学内容偏重理论推导，忽视实践应用，整个教学过程缺少实际应用的背景。教材虽几经变化，但没有质的区别，大部分院校还在采用西安交大的教材，我们学校也不例外。现行教材的一个最大缺陷就是过分强调理论的科学性、严谨性、系统性，却忽视基本概念的物理背景和理论在实际中的应用。教学内容离实际越来越远，学过的用不上，要用的又没学，给学生造成一种积分变换用处不大的错觉，因而学生的学习积极性不高，教学效果较差。

2教学内容与专业课程相脱节

积分变换是一门应用性很强的数学基础课，它和我们学校开设的许多工科专业息息相关：比如对自动化学院的学生可介绍积分变换在电工技术和电磁学中的应用，对电子信息学院的学生则要结合无线电技术、信号系统与自动控制来讲解积分变换的用途等。而实际上，教师在授课过程中往往只是介绍积分变换的基本概念和常用函数的变换，根本做不到针对不同专业的学生一一介绍积分变换在其专业课程中的应用，造成积分变换的教学内容与学生的专业课程相脱节，影响了学生对积分变换知识体系的理解，从而使教学效果大打折扣。

3多媒体教学与数学软件的实时演示相脱节

尽管现在已有越来越多的教师注意到上述两个问题，并在课堂教学中加以改进，比如穿插一些应用实例，但这通常是教师在课前做好功课，课堂上只是展示给学生看，学生只是在形式上感知，没有亲自动手演算的机会，无法体会积分变换的强大功能。

三探索与改革

针对上述“积分变换”教学中存在的“三脱节”现象，通过剖析问题实质，提出以下具体教学改革思路：

1课程内容兼顾理论与应用，培养学生扎实的数学基本功和应用数学知识解决实际问题的能力

“积分变换”比先前所学数学课程比如复变函数有其更广泛的专业背景。积分变换主要介绍傅立叶变换和拉普拉斯变换，其中傅立叶变换多应用于信号分析，拉普拉斯变换则常见于分析系统。教学时紧紧抓住这一特点并结合应用背景，就会使教学变得生动，真正让学生看到学以致用的魅力。比如讲授傅立叶变换时，可介绍其在信号消噪过程的工作原理（先对信号进行傅里叶变换，分离出高低频信息，根据需要找到最佳消噪方法进行去噪），而不是孤立地、支离破碎地讲授一些抽象的数学概念和公式。许多科技前沿诸如语音识别、虹膜识别等技术的实现都是类似的道理。这种与实际应用相结合的教学方法，切实解决理论与实践相脱节的问题，可帮助学生建立明确的学习目标，从而提高学生学习数学的积极性，全面系统培养他们的实际应用能力，为后续课程的学习打下扎实的数学基础，达到事半功倍的教学效果。

在“积分变换”教学中采用类比建构的方法介绍傅立叶变换和拉普拉斯变换的区别与相似之处。傅立叶变换是在函数绝对可积的条件下定义的，拉普拉斯变换是在更宽泛的前提下给出的，拉普拉斯变换是傅立叶变换的拓展，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例，但两种变换的实质都是映射，它们将信号从时间域映射到频率域，然后研究信号的特征，逆变换则相反。如此一来，复杂的数学定义及公式就被简单地提炼出实质，有利于学生透过现象看到事物的本质，帮助学生建立看问题的数学角度，培养学生数学的思维，实现知识从厚到薄的转换。

整个授课过程按照如下方式展开：背景问题———产生、建立概念———发现定律———建立体系———发展理论———应用理论，强调概念的产生过程所蕴含的思想方法。在完成了概念的产生到理论体系的建立之后，又以回到实际问题的解决来收尾，从而培养学生对数学是怎样经过抽象、简化和假设等方法来描述问题、分析问题和解决问题的全过程有一个综合了解，使学生在掌握知识的基础上学会数学思维，并用之解决实际问题，从而让学生感觉到数学并非多么抽象，它就在现实之中。

2“积分变换”教学与后续专业课程的紧密结合

由于“积分变换”的授课对象是全校不同专业的工科学生，所以必须从专业需求出发，修订教学内容。学生来自不同的专业，他们对积分变换的要求必然有所不同，所以教学内容必须进行改革。为此，可尝试在所选教材的基础上，适当地做些“增”和“减”的调整，精简一些传统的教学内容，增加与各专业背景有关的应用实例，以满足各专业学生的不同需求。通过这些实例，使学生认识到积分变换在相应专业课中的作用，进而深入了解积分变换应用的方法和技巧。

“积分变换”教学改革的第二项措施就是从教学效果出发，增加实践教学。在教学过程中将现实的实际问题引入课堂，把积分变换和后续专业课程融合起来，解决二者脱节的问题，使积分变换不再晦涩难懂，提高学生的学习兴趣，进而让学生尝试通过自己动手和观察实验结果去发现和总结其中的规律，并进一步学习新的数学知识，渗透现代的数学思想[3]。例如，为了让学生能从实践中深切地感受到傅里叶变换理论的意义和应用价值，我们设计频谱分析这一实验内容，通过实践，一方面让学生了解到傅里叶变换是信号频谱分析的一种极有力的工具，另一方面也让学生了解到傅里叶变换不具有时频局域化的特点，激励学生勇于探索，科学无止境。对于来自信号处理专业的学生，引导其利用傅里叶变换进行图像处理，实现图像去噪和压缩，体会傅里叶变换的效果，鼓励学生进一步分析实验结果并提出改进形式。

3传统教学方式与多媒体教学相结合，将实践教学引入课堂

在课堂教学中把传统教学模式难以表现的教学内容通过多媒体技术形象化地、可交互性地展现出来，呈现出知识建立的过程。课前专门创设若干问题，利用学生的好奇心，引导他们多方位、多角度地思考，加深他们对知识的理解，增强其思维能力和创新精神。实验与实践环节既是教学实验中的关键所在，也是课程建设的重要内容。在课程建设中，实践教学的设计思想就是使学生能更加深刻地理解、掌握该门课程的理论和方法；引导学生对一些概念、公式和结论所含物理意义有形象直观的认识，并为后继专业课程打下良好的基础。为此，我们进行以下工作：

利用计算机及数学软件（如Maple、Matlab、Mathematica）的数值功能和图形功能展示课程的基本概念和结论，使学生能直观地了解课程内容，加强对基本概念和结论的认识与理解。比如利用Matlab实现函数的傅里叶变换、傅里叶逆变换、拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换等。要求学生自己总结规律，亲自体验解决问题的过程，激发学习兴趣，提高应用能力，增强学习效果。

采用开放式的课后作业机制，让学生亲身体验初级科研的全过程，达到学以致用的效果。每章内容结束时给出应用案例，将问题交给学生，自行查阅文献、选择积分变换，借助数学软件将学到的数学知识应用到实际问题的解决中，并完成案例分析报告，体会积分变换的实用性和数学软件的操作性，从而加深学生对基本概念的理解，掌握现代计算工具的应用，了解所学知识的多样性和应用性，逐步提高学生学习该课程的兴趣。

四教改实施

目前，我校将“积分变换”作为公选课对全校理工科生开放，面对来自不同专业的学生，我们根据“积分变换”课程特点与工科学生不同专业的需求，按照上述改革思路，尝试在教学过程中改进教学方式方法，加强实践教学与理论教学的结合、加强教学内容与专业课程结合、加强多媒体教学与数学软件的实时演示的结合，提高了学生学习兴趣，得到了专业教师的认可，达到了预期的教学效果。

参考文献

[1]高宗升，腾岩梅.复变函数与积分变换[M].北京：北京航空航天大学出版社，2006.

[2]张元林.工程数学-积分变换[M].江苏：高等教育出版社，2012.

[3]朱敏慧，崔艳.工科复变函数与积分变换课程教学改革的探索[J]. 2013， 27（1）： 82-84.