说出困惑，走出迷茫

许华存

高中数学教学到了高三阶段基本都是复习课，常规模式的复习课对于老师来说已经有了教学“疲劳”，学生也有了听课“疲劳”。怎么样让高三的复习课活起来，让老师和学生都有新鲜感？笔者在高三二轮复习时做了一些尝试，主要把背景差不多的题目做成小专题的形式，收到了不错的效果。以下是《立体几何中的轨迹问题》的课堂实录。

师：同学们，这几次作业中我们经常会遇到涉及到空间的点的轨迹问题，今天我们一起来探究一下这类问题，希望能帮大家解决一些困惑。

例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面ABCD内的动点，若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）

A.抛物线B.双曲线C.椭圆D. 直线

师：请同学们先在草稿本上画个图吧！

生甲：这道题不是做过了吗？

师：那好！请你说一下怎么做。要不你上来？（学生笑）

生1：还是下面说吧！在平面ABCD上随便取一点P，过P作PM⊥AD于M，过M作MN⊥A1D1于N，连接PN，再过P作PG⊥CD于G，则PN=PG。而PN2=PM2+MN2=PM2+1，∴PG2-PM2=1。这样就可以得到轨迹是双曲线了。

师：这么快？

生1：那就坐标系好了。分别以DA，DC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），则有x2-y2=1，所以轨迹是双曲线。（老师在黑板上画图）

生2：那还不如直接建立坐标系。

师：同学们以为呢？

生3：我认为直接建系的话，P到A1D1的距离比较麻烦。还是先转化，建立平面直角坐标系好一点。

师：大家都说得有道理。这个题目表面上看涉及空间点的轨迹问题，其实点在面ABCD上运动，所以我认为先转化为平面点的轨迹问题，然后再建系，也就是用解析几何的方法解决了。主要体现从空间问题到平面问题的转化。

例2、如图2，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，P是平面α上的一个动点，且有∠APD=∠BPC，则四棱锥P-ABCD体积的最大值是（）

A.48B.16C.243D.144

师：这道题上次也做过，但做得不好。先找个同学问一下。生3，你上次怎么考虑这个问题的？

生3：我是做了点，做到后来是猜的。（不好意思了）

师：那你把自己的想法说一下吧！能说多少是多少。（老师黑板上画图）

生3：这两个平面是互相垂直的。四棱锥的底面是一个直角梯形，面积是36，所以主要是求高。∠APD=∠BPC，可以得到PB=2PA。（老师打断：为什么啊？）

生3：ΔADP和ΔBCP都是直角三角形，这两个三角相似，BC=2AD，所以PB=2PA。感觉最大值是4。

师：谁能接下去吗？

生4：因为这两个平面互相垂直，所以P到平面β的距离就是P到l的距离。以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（-3，0），B（3，0），设P（x，y），则有（x-3）2+y2=2（x+3）2+y2，（老师黑板上板书）化简得，x2+y2+10x+9=0，（x+5）2+y2=16，这表示圆心为（-5，0），半径等于4的圆，所以有-4≤y≤4，所以P到x軸的最大距离是4，所以体积为48。

师：回答的非常好！看样子我这个老师是多余的了。（学生笑了）其实这道题也可以理解为一个空间轨迹问题，P在面α上运动，求出P到直线l距离的最大值。先把两个角相等转化为两条边之间的数量关系，再把数量关系转化为轨迹，再根据曲线方程求变量的取值范围。

例3、如图3，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得ΔABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线

师：这是2008年浙江省的高考理科卷第10题。大家熟悉吧！说实话，刚拿到题时我也没思路啊！只能建系，但这道题建系也很麻烦啊！现在我们都知道用什么方法了？

学生一起：交轨法！

师：再解释一下吧！有些同学还不是很清楚。我们先求出P的轨迹。线段AB的长是定值，ΔABP的面积也是定值，所以什么也是定值啊？

生：P到AB的距离。

师：在平面内到定直线的距离等于定值定长的点的轨迹是两条平行直线。（黑板上画图）

那么在空间这样的点的轨迹就是把这两条直线绕已知直线旋转了，所以轨迹就是以定直线AB为轴的圆柱，又P在平面α上，所以P的轨迹就是平面与圆柱的交线了。题目还有一个条件说AB是斜线段，所以是用平面斜的去截圆柱，轨迹就是椭圆了。所以如果将本题看成空间两个轨迹的交线，这个问题就简单多了，这叫居高临下。

师：时间过得很快，今天我们一起学习了求空间轨迹的几种常用方法，如转化，建系，模型，交轨等，其实还有其他想法，如类比。

本文是笔者在高三二轮复习中的一节课的课堂实录。教学内容来自于平时做的综合卷中的一些作业，以及同类型的题目。这个专题主要涉及空间点的轨迹问题，这堂课主要归纳了这类问题的几种常见做法，有转化法、坐标法、交轨法、类比法和几何模型等方法；由于这类题目都以小题形式出现，课堂上也渗透了特殊值法和端值思想。从教学效果上看，这堂课给枯燥的二轮复习课带来了生气，引发了学生的思考，激发了学生的兴趣；从课后与部分同学的交流来看，有的同学反映这堂课的内容与方法有的知道，但没有归类；有的知识点模糊，有些题目感到比较迷茫，只会特殊值法，通过这样的小专题让他们说出困惑，从而帮助他们解决问题，他们表示这种课可以多尝试。